作者：Hermes（xxx@example.com）

二重积分是数二下册的最后一章，也是高等数学的收口。它和定积分的关系是升维：定积分在一条线段上把无数个小条加起来，二重积分在一块平面区域上把无数个小块加起来。整章就四件事——概念（定义、几何意义、存在性）、性质（积之前能做的比较与拆分）、计算（直角坐标与极坐标两套定限方法），再加一组必须记住的曲线。

二重积分的概念

定义

设 $f(x,y)$ 是有界闭区域 $D$ 上的有界函数。把 $D$ 分成 $n$ 个小区域，记第 $k$ 个小区域的面积为 $\Delta\sigma_k$，在第 $k$ 个小区域上任取一点 $(\xi_k,\eta_k)$，作乘积 $f(\xi_k,\eta_k)\Delta\sigma_k$ 并求和，再令 $\lambda$ 为各小区域直径的最大值、让 $\lambda\to0$ 取极限：

四个动作要分清：分割区域、任取一点、作积求和、取极限。其中 $\lambda$ 度量的是"每个小区域小到什么程度"，取的是「直径」的最大值，不是面积最大值——这是老师课上没展开的动机层，记住"直径"这个词就够用，知道有这回事即可。

三个要点：

1. 极限存在时，这个极限值就是二重积分，与分割方式、取点方式都无关
2. 元素 $\mathrm{d}\sigma$ 是面积元素，直角坐标下 $\mathrm{d}\sigma=\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y$
3. 一元里用分点间隔控制细分，二元里用"小区域直径"控制细分——升维之后，控制细分的尺子要更强

几何意义

一元：$\displaystyle\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x$ 是曲边梯形面积的代数和，$x$ 轴下方算负。二元：以 $D$ 为底、以 $z=f(x,y)$ 为顶的「曲顶柱体」体积的代数和，柱体在 $xOy$ 面上方取正、下方取负。

存在性

$f(x,y)$ 在有界闭区域 $D$ 上「连续」 $\Rightarrow$ 二重积分一定存在。

一元那三条可积条件的思想可以直接平移过来：连续是可积的「充分」条件，不是必要条件；只要函数有界、间断只发生在有限条曲线上，积分同样存在。可积的必要条件仍是"函数有界"。

注意：这里最容易被说成「不连续就一定不存在」——那是错的。不连续只意味着「连续」这条保证用不上了，要换别的条件（有界 + 有限个间断点）来保证，不是直接判死刑。

设 $f(x,y)$ 连续，且 $f(x,y)=\sqrt{4-x^{2}-y^{2}}+\displaystyle\iint_D f(x,y)\,\mathrm{d}\sigma$，其中 $D:x^{2}+y^{2}\leqslant4$，求 $f(x,y)$

关键认识：「二重积分是一个数」，它不随 $x,y$ 变化。所以把它整个记为 $A$：

两边同时在 $D$ 上积分。左边就是 $A$ 本身；右边第一项是曲顶柱体的体积，底 $D$ 是半径 $2$ 的圆盘，顶是上半球面，所以这一项是上半球体体积

右边第二项是常数乘面积：

于是

注意：常数项提出来积分必须乘上区域面积。$\displaystyle\iint_D A\,\mathrm{d}\sigma=A\cdot S_D$，这一步漏了，整题答案就只是一个"没乘面积的 A"。这题里 $S_D=4\pi$，不是 $1$。

二重积分的性质

线性与区域可加性

1. 线性：$\displaystyle\iint_D\left(f\pm g\right)\mathrm{d}\sigma=\iint_D f\,\mathrm{d}\sigma\pm\iint_D g\,\mathrm{d}\sigma$
2. 数乘：$\displaystyle\iint_D kf\,\mathrm{d}\sigma=k\iint_D f\,\mathrm{d}\sigma$，$k$ 是常数
3. 与变量字母无关：$\displaystyle\iint_D f(x,y)\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y=\iint_D f(u,v)\,\mathrm{d}u\,\mathrm{d}v$
4. 区域可加性：把 $D$ 分成 $D_1$、$D_2$ 两部分，则 $\displaystyle\iint_D f\,\mathrm{d}\sigma=\iint_{D_1}f\,\mathrm{d}\sigma+\iint_{D_2}f\,\mathrm{d}\sigma$

注意：第 4 条除了「$D=D_1\cup D_2$」之外，还必须要求 $D_1$、$D_2$ 「除公共边界外没有公共部分」。两块重叠的区域会被算两遍，等式就不成立——后面做分块积分时，这一条是分块合法的依据。

比较与绝对值不等式

$f\leqslant g$ 于 $D$ 时

取 $g\equiv0$ 得到保号性：$f\geqslant0$ 时积分 $\geqslant0$。绝对值版本：

理由很直观：左边是代数和，正负部分先互相抵消；右边是绝对值的和，永远不抵消——所以右边不会更小。

（教材上还有一条估值定理 $mS_D\leqslant\displaystyle\iint_D f\,\mathrm{d}\sigma\leqslant MS_D$，按课程范围这次不展开，知道教材有这一条即可。）

中值定理

$f(x,y)$ 在有界闭区域 $D$ 上连续，则至少存在一点 $(\xi,\eta)\in D$，使

其中 $S_D$ 是 $D$ 的面积。取 $f\equiv1$，立刻得到面积公式

比较大小类题目：先把区域翻译成一个量的范围

被积函数只通过某个组合量（$x^{2}+y^{2}$、$x+y$ 之类）依赖 $x,y$ 时，比较大小根本不用算积分：把区域翻译成这个组合量的取值范围，再逐点比较被积函数，最后用比较性质。区域给的范围是全题的关键，它决定了幂次、对数、三角之间的不等式往哪个方向走。

比较 $I_1=\displaystyle\iint_D\cos\sqrt{x^{2}+y^{2}}\,\mathrm{d}\sigma$、$I_2=\displaystyle\iint_D\cos\left(x^{2}+y^{2}\right)\mathrm{d}\sigma$、$I_3=\displaystyle\iint_D\cos\left[\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}\right]\mathrm{d}\sigma$ 的大小，其中 $D:x^{2}+y^{2}\leqslant1$

记 $t=x^{2}+y^{2}$。$D$ 是单位圆盘，所以

在这段范围里，三个被积函数的自变量分别是 $\sqrt t$、$t$、$t^{2}$，而 $[0,1]$ 上

$\cos$ 在 $[0,1]$ 上单调递减，自变量越大函数值越小，于是

被积函数逐点比较完，用比较性质两边积分：

注意：这题不给任何数值也不需要积分技巧，全部靠 $t\in[0,1]$ 这一个范围。范围一变结论就废——比如把区域换成 $x^{2}+y^{2}\leqslant4$，$t\in[0,4]$，那 $\sqrt t\geqslant t$ 只在 $t\leqslant1$ 成立，逐点比较直接失效。所以做这类题，第一步永远是把区域翻译成组合量的范围。

本文2026-10-10首发于Hermes 的博客，最后修改于2026-10-10

作者：Hermes（xxx@example.com）

本节是数二下册第七章的收官。同一件事在这里分成两个词：极值说的是局部——只在某点附近比大小，比周围大（或小）就算；最值说的是全局——要在整个区域上比出最大（或最小）。加上约束 $g(x,y)=0$ 之后，无条件极值那套判别法不再够用，工具换成拉格朗日乘数法；最后把区域内与边界上两块拼起来，就是有界闭区域上的最值。

无条件极值

定义

极值是局部的概念，它只在某点的一个小范围内比较函数值。设 $z=f(x,y)$ 在 $P_0(x_0,y_0)$ 的某个邻域内有定义，若对该邻域内异于 $P_0$ 的一切点 $(x,y)$，恒有

则称 $f$ 在 $P_0$ 处取得极大值 $f(x_0,y_0)$；若恒有 $f(x,y)>f(x_0,y_0)$，则称在 $P_0$ 处取得极小值。

三个要点：

1. 比较的范围是去心邻域，点本身不参加比较，远处的情形与极值无关
2. 定义只用函数值说话，不要求 $f$ 可导，甚至不要求连续
3. 极大值、极小值指的是函数值，对应的点叫极大值点、极小值点

注意：不等式方向是最容易说反的一处。极大值的含义是周围都比它小，所以 $f(x_0,y_0)$ 要写在大的那一侧；极小值相反。定义这一句在选择题里常常就是答案本身。

必要条件

一元函数里，可导的极值点必然是驻点（费马引理）。二元没有新东西，把两个方向分别冻结成一元，同一结论直接搬过来。

设 $z=f(x,y)$ 在 $P_0(x_0,y_0)$ 处偏导数存在，且 $P_0$ 是极值点，则

理由是：固定 $y=y_0$，函数 $f(x,y_0)$ 是一元函数，它在 $x_0$ 处取极值，由一元费马引理，它的导数就是 $f_x(x_0,y_0)$，必为零；固定 $x=x_0$ 看 $f(x_0,y)$，同理得 $f_y(x_0,y_0)=0$。

由此得到极值可疑点只有两类：

1. 驻点，即 $f_x=f_y=0$ 的点
2. 偏导数不存在的点

注意：上面这条是必要条件，不是充分条件。正确的方向是「偏导存在且取极值，则偏导为零」；反过来由偏导为零推不出这里取极值。这两句话的标签换错一位，后面整套推理都会反着走。

充分条件

判别法。设 $f(x,y)$ 在 $P_0$ 的某邻域内有二阶连续偏导数，且 $f_x(P_0)=f_y(P_0)=0$，记

则按 $AC-B^{2}$ 的符号分三种情况：

1. $AC-B^{2}>0$：$P_0$ 是极值点。此时 $A>0$ 取极小值，$A\lt 0$ 取极大值
2. $AC-B^{2}\lt 0$：$P_0$ 不是极值点
3. $AC-B^{2}=0$：判别法失效，是否有极值不确定，只能回到定义

三种情况对应三种曲面形状：$AC-B^{2}>0$ 且 $A>0$ 时，曲面在 $P_0$ 附近是一只开口朝上的碗，$P_0$ 在碗底；$A\lt 0$ 时是倒扣的碗，$P_0$ 在碗顶；$AC-B^{2}\lt 0$ 时曲面是马鞍面，沿一个方向是谷、沿另一个方向是脊，所以既不是极大也不是极小。

判别法本身的三种走向，以及失效时的两条退路，画成一张图：

注意：判别法失效有两扇门，不能只记住第一扇。第一扇是数填不进去——偏导或二阶偏导不存在；第二扇是填进去了却不给答案——$AC-B^{2}$ 恰好等于 $0$。两种情况都只能回定义，在 $P_0$ 的去心邻域内把 $f(x,y)$ 与 $f(x_0,y_0)$ 比大小。

回到定义怎么比

定义就是判据，不需要新工具：在 $P_0$ 的去心邻域内，若恒有 $f(x,y)\lt f(x_0,y_0)$ 就是极大值，恒有 $f(x,y)>f(x_0,y_0)$ 就是极小值；若沿某个方向比它大、沿另一个方向比它小，就不是极值点。

注意：这里不要写成「取极限」。定义要的是不等式在去心邻域内恒成立，写成极限就把「邻域内处处成立」降级成了「趋近时的极限值」，两者不是一件事。

求 $f(x,y)=x^{2}(2+y^{2})+y\ln y$ 的极值

第一步（求一阶偏导并置零）：

第一式中 $2+y^{2}\geqslant 2$ 恒不为零，所以只能 $x=0$。代入第二式得 $\ln y+1=0$，即 $\ln y=-1$，所以 $y=\dfrac{1}{e}$。函数的定义域由 $\ln y$ 限定为 $y>0$，这个驻点落在定义域内。驻点为 $\left(0,\dfrac{1}{e}\right)$。

第二步（求二阶偏导）：

第三步（代入驻点并判别）：

且 $A>0$，所以在驻点处取极小值：

注意：$\ln y+1=0$ 必须先移项成 $\ln y=-1$ 再解，$y=\dfrac{1}{e}$ 这种「看着不整」的答案，正是紧张时最容易被写成 $y=1$ 的地方，一步之差整题作废。代回检验也很快：把 $y=1$ 代进 $f_y$ 得 $0+0+1=1$，不满足方程。

求 $f(x,y)=xe^{\cos y}+\dfrac{x^{2}}{2}$ 的极值

第一步（一阶偏导置零）：

$e^{\cos y}$ 恒大于零，可以放心约掉。由 $f_y=0$ 分成两条路：

• 若 $x=0$，代回 $f_x$ 得到 $e^{\cos y}=0$，无解，这条支路舍去；
• 若 $\sin y=0$，即 $y=k\pi$（$k$ 为整数），再由 $f_x=0$ 得 $x=-e^{\cos y}$。其中 $\cos y$ 又要分两种：$y=2k\pi$ 时 $\cos y=1$，得 $x=-e$；$y=(2k+1)\pi$ 时 $\cos y=-1$，得 $x=-\dfrac{1}{e}$。

第二步（二阶偏导）：

本文2026-10-01首发于Hermes 的博客，最后修改于2026-10-01

作者：Hermes（xxx@example.com）

这一节的战场是多元函数求导的两大主力：复合函数怎么求导、隐函数怎么求导。复合这一块的关键不在公式，而在符号——什么时候写偏导、什么时候写全导数，写错了整道题就废了。隐函数那一块则要分清两种方法各管什么局面，最后落到隐函数存在定理：它不只是一句「存在」，而是一把可以判"谁能被解出来"的尺子。

复合函数求导法则

情形一：中间变量都是一元函数

这是最简单的一种，本质上是把一元链式法则搬过来。设中间变量 $u = u(x)$、$v = v(x)$ 都只依赖 $x$，而 $z = f(u,v)$ 是这两个中间变量的函数，那么复合之后 $z$ 最终只依赖 $x$ 一个变量，于是可以用全导数：

这个式子里出现三种符号，各有各的道理：左边是 $\mathrm{d}$，因为 $z$ 最终只依赖一个变量；$\dfrac{\partial z}{\partial u}$ 是 $\partial$，因为 $f$ 是二元的，它对某个变量求导必须固定另一个；最后 $\dfrac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}$ 又是 $\mathrm{d}$，因为 $u$ 只依赖 $x$。

图中每条路径对应一项，路径上的偏导相乘，所有路径相加。

三个要点：

1. 情形一的判别标志是中间变量全都只依赖一个自变量
2. 符号规则：$z$ 和中间变量用 $\mathrm{d}$，$f$ 用 $\partial$
3. 一项对应一条路径，两个中间变量就是两项

设 $z = f\!\left(\ln x + \dfrac{1}{y}\right)$，其中 $f$ 可微，求 $x\dfrac{\partial z}{\partial x} + y^{2}\dfrac{\partial z}{\partial y}$

令中间变量 $u = \ln x + \dfrac{1}{y}$，则 $z = f(u)$。

先求 $u$ 的两个偏导。对 $x$ 求偏导时，$\dfrac{1}{y}$ 与 $x$ 无关，视为常数，导数为零：

对 $y$ 求偏导时，$\ln x$ 视为常数，导数为零，只剩 $\dfrac{1}{y}$ 求导：

再由链条 $\dfrac{\partial z}{\partial x} = f'(u)\cdot\dfrac{\partial u}{\partial x}$，得

代入所求的组合：

注意：这题的设计机关在 $\ln x$ 和 $\dfrac{1}{y}$ 的分工——$\ln x$ 对 $x$ 求导出 $\dfrac{1}{x}$，正好被外层的 $x$ 约掉；$\dfrac{1}{y}$ 对 $y$ 求导出 $-\dfrac{1}{y^{2}}$，正好被外层的 $y^{2}$ 约掉。题目给的两个系数 $x$ 和 $y^{2}$ 是专门来配这两个结果的，不是随便写的。做题时若得到 $0$，不妨回头看分母有没有约干净。

情形二：中间变量都是二元函数

设 $u = u(x,y)$、$v = v(x,y)$ 都依赖两个变量，$z = f(u,v)$。这时 $z$ 也依赖 $x$ 和 $y$，所以只能谈偏导：

这里全部是偏导符号，一个 $\mathrm{d}$ 都不出现。原因是中间变量 $u$、$v$ 本身是二元的，它们对 $x$ 求导时，$y$ 是被固定住的另一个自变量，所以只能叫偏导，写成 $\dfrac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}$ 就是错的。

本文2026-09-26首发于Hermes 的博客，最后修改于2026-09-26

作者：Hermes（xxx@example.com）

本节的核心悬念是一元的"可微 ⟺ 可导"到二元不再成立：二元里可微是更强的条件，它要求"整片邻域上的误差都是距离的高阶无穷小"。今天的路线是：定义 → 必要条件 → 求法 → 判定方法 → 与连续、偏导存在的关系。

一元可微的回顾

一元函数的可微定义是

其中 $A=f'(x)$ 就是该点处的斜率，而 $A\Delta x$ 称为线性主部。

三个要点：

1. 可微的意思是：函数增量能拆成"线性主部 + 比 $\Delta x$ 高阶的无穷小"
2. $A\Delta x$ 是增量的主要部分，余项 $o(\Delta x)$ 是次要部分
3. 几何意义：当 $\Delta x$ 足够小时，可以用切线（直线）近似代替曲线，进而估算 $\Delta y$

全微分的定义

设 $z=f(x,y)$ 在点 $(x,y)$ 的某邻域内有定义，给自变量增量 $\Delta x$、$\Delta y$，使 $(x+\Delta x,y+\Delta y)$ 仍在该邻域内，则

称为全增量。若全增量可表示为

其中 $A$、$B$ 与 $\Delta x$、$\Delta y$ 无关，则称 $z=f(x,y)$ 在该点可微，而 $A\Delta x+B\Delta y$ 称为全微分，记作

三个要点：

1. 余项必须是 $o(\rho)$，其中 $\rho$ 用两点间距离 $\sqrt{\Delta x^2+\Delta y^2}$——二元趋近靠距离度量，写成 $o(\Delta x)$ 或 $o(\Delta y)$ 只能管一个方向
2. $A$、$B$ 与增量无关（只依赖定点 $(x,y)$），这才是"线性"的含义：主部是 $\Delta x$、$\Delta y$ 的一次齐次式
3. 一元里"可微 $\iff$ 可导"，二元里这个等价关系不再成立

可微的必要条件

若 $z=f(x,y)$ 在点 $(x,y)$ 处可微，则 $\dfrac{\partial z}{\partial x}$、$\dfrac{\partial z}{\partial y}$ 必定存在，且

三元函数同理：

证明 $A=\dfrac{\partial z}{\partial x}$：

第一步（令 $\Delta y=0$，只沿 $x$ 轴方向给增量）：

（此时 $\rho=\sqrt{\Delta x^2+0}=\lvert\Delta x\rvert$，所以余项从 $o(\rho)$ 退化为 $o(\lvert\Delta x\rvert)$）

第二步（两边除以 $\Delta x$，令 $\Delta x\to 0$）：

第三步（算余项）：$\dfrac{o(\lvert\Delta x\rvert)}{\Delta x}=\dfrac{o(\lvert\Delta x\rvert)}{\lvert\Delta x\rvert}\cdot\dfrac{\lvert\Delta x\rvert}{\Delta x}$，前一个因子趋于 $0$、后一个因子是 $\pm 1$（有界），所以整个余项趋于 $0$。又左边正是 $\dfrac{\partial z}{\partial x}$ 的定义，于是

同理令 $\Delta x=0$ 可得 $B=\dfrac{\partial z}{\partial y}$。

注意：证明的关键招式是取特殊路径（$\Delta y=0$）把二元问题降成一元，这与二重极限里"沿坐标轴方向考察"是同一套思路；由逆否命题还可得一条实战判据——偏导不存在，则必不可微。

求 $z=xe^{x+y}+(x+1)\ln(1+y)$ 在 $(1,0)$ 处的全微分

对 $x$ 的偏导，先代入 $y=0$：

本文2026-09-25首发于Hermes 的博客，最后修改于2026-09-25

作者：Hermes（xxx@example.com）

数二下册只有两章：本章（多元函数微分学）与二重积分。本章是"一元到多元"的思维升级，重点不在计算量，而在概念上的跳跃。考情：只考二元，最多三元。

多元函数的概念

定义域

一元函数的定义域是数轴上的区间；二元函数的定义域是平面上的点集——直观上说，就是 $x$、$y$ 能活动的范围。

例：$z=\sqrt{4-x^2-y^2}$

根号要求被开方数非负：

所以它是上半球面（$z\geqslant 0$ 的那一半），而它的定义域是这个半球面在 $xy$ 平面上的投影——半径 $2$ 的圆盘。做题时只画底面（定义域区域）就够了，考试不需要画完整曲面。

元数

判断"几元函数"的标准是独立自由变量的个数，不是式子里出现几个字母。

$z=f(x,y)$，而 $y=g(x)$，这叫不叫二元函数？

不是二元函数，最终是一元函数（复合函数）。

$z=f(x,y)$ 形式上像两个变量，但 $y=g(x)$ 把 $y$ 完全绑定在 $x$ 上，$y$ 不再是自由变量。代入后 $z=f(x,g(x))$，能独立变化的只有 $x$ 一个，所以是一元复合函数。

判断标准：能不能改变一个变量而保持另一个不变。这里做不到——想动 $y$ 就必须动 $x$，两个变量绑死了，只剩一个自由度。

精确地说：$f$ 这个映射本身是二元函数（它活在整个平面区域上），但我们把它限制在曲线 $y=g(x)$ 上使用，得到的 $z$ 作为 $x$ 的函数是一元的。

注意：代入关系式后变量个数可能退化，判断元数要先看有没有变量被绑定。

二重极限

定义

设 $z=f(x,y)$ 的定义域是 $D$，$P_0(x_0,y_0)$ 是 $D$ 的聚点。若对任意 $\varepsilon>0$，存在 $\delta>0$，使对满足

的一切点 $P(x,y)\in D$，都有 $\lvert f(x,y)-A\rvert\lt\varepsilon$ 成立，则称 $A$ 是 $f$ 当 $(x,y)\to(x_0,y_0)$ 时的二重极限。

三个要点：

1. 趋近用两点间距离公式刻画，不是一元那种 $\lvert x-x_0\rvert$ 单边
2. 必须是去心邻域（距离严格大于 $0$）：$P_0$ 点本身在不在定义域、取什么值，与极限无关
3. 任意 $\varepsilon$ 找 $\delta$，与一元一致

路径

一元极限只有左右两条路，两条都趋同就完事；二元极限有无数条路（直线的、曲线的），必须所有路都趋向同一个 $A$ 才算极限存在。只要有两条路径给出不同结果，极限就不存在——这是二重极限比一元难成立的根本原因。

累次极限

累次极限是先固定 $y$ 对 $x$ 求极限，再让 $y$ 趋近：

它和二重极限不是一回事。经典反例 $f(x,y)=\dfrac{xy}{x^2+y^2}$ 在 $(0,0)$：两个累次极限都存在，都等于 $0$；但二重极限不存在。

存在性判断

正面：二重极限存在，则每一条路径逼近时极限都存在，且都等于同一个 $A$。

逆否（实战用）：只要存在一条路径极限爆掉，或者两条路径极限不相等，二重极限就不存在。

判断流程：先试直线 $y=kx$——同次结构代入后 $x$ 的幂次会消掉，剩下纯 $k$ 的表达式；含 $k$（随斜率变）就判不存在。直线都趋同时不能急着说存在，还要试曲线（$y=x^2$、$y=kx^2$）；曲线也趋同仍不能断定存在，需要夹逼或极坐标证明所有路径都趋同。

求 $\lim_{(x,y)\to(0,0)}\dfrac{xy}{x^2+y^2}$

沿直线 $y=kx$ 代入：

这个值与 $x$ 无关，但随 $k$ 变：$k=1$（沿 $y=x$）得 $\dfrac{1}{2}$；$k=2$（沿 $y=2x$）得 $\dfrac{2}{5}$；$k=0$（沿 $y=0$）得 $0$。

两条路径结果不相等，所以二重极限不存在。

注意：这个函数两个累次极限都等于 $0$，容易误判为存在。

整体代换

思想：观察表达式是不是只通过某个组合量（$xy$、$x^2+y^2$、$x+y$、$\dfrac{y}{x}$ 等等）依赖 $x$、$y$。是的话，把这个组合量记作新变量 $u$，$u\to 0$，二重极限就降成一元极限，然后一元的所有武器（等价无穷小、有理化）都能搬过来用。

求 $\lim_{(x,y)\to(0,2)}\dfrac{\sin(xy)}{x}$

$x\to 0$、$y\to 2$，所以 $xy\to 0$，可用等价无穷小 $\sin(xy)\sim xy$：

求 $\lim_{(x,y)\to(0,0)}\dfrac{\sqrt{xy+1}-1}{xy}$

令 $u=xy\to 0$，用 $\sqrt{1+u}-1\sim\dfrac{u}{2}$：

求 $\lim_{(x,y)\to(0,0)}\dfrac{xy}{2-\sqrt{xy+4}}$

分母有理化（分子分母同乘 $2+\sqrt{xy+4}$）：

注意：有理化后分母是 $-xy$，负号不要丢。

等价无穷小与无穷小乘有界

原理：$\lvert f\rvert\leqslant M$ 时 $f$ 有界；无穷小乘有界仍是无穷小。

$\dfrac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}$ 的值就是极角 $\theta$ 的余弦 $\cos\theta$——$\theta$ 再怎么转，$\cos\theta$ 都落在 $[-1,1]$ 里，所以这个量天然有界；$\dfrac{x^2}{x^2+y^2}$ 里分母永远不小于分子，所以比值也不超过 $1$。这两族是常考的有界量，要一眼认出：

本文2026-09-23首发于Hermes 的博客，最后修改于2026-09-23

作者：Hermes（xxx@example.com）

这本是什么

考研英语（二）翻译题的逐句批改档案。每次做完新题就往后面追加一篇，旧内容不动。

颜色约定

判分基准：参考答案（15 分制，英二翻译满分 15）。只挑与参考译文的实质差异；同一个词／结构在多句出现时只扣一次分。

每篇结构：原文章 → 参考译文 → 我的译文 → 逐句批改 → 翻译过程中的难点 → 小结

篇目索引

另：真题 P1《超市设计原则》（2026-09-08）缺参考译文，暂未收录。

P1：追逐美国梦的陷阱（威廉森演讲）

得分：5.56 / 10（约 5560%）

原文章

Para. 1　Spiritual teacher Marianne Williamson urged college graduates in a speech not to fall into the “trap” of pursuing the American dream without serving the greater good. With a college degree comes a great amount of opportunity and privilege, Williamson said. Many people, she continued, will walk away from graduation thinking they can go out and do whatever they want. They measure success by personal gain and set out to realize their dreams.

Para. 2　But according to Williamson, this thinking is flawed. If your freedom means to you that there’s no higher good than going out there and making happen what you want to make happen, then you are not free," she said. Just as a seed is programmed to grow into a tree, she argued that we are all programmed to become the best versions of ourselves. But we are also programmed, she said, to work toward the greatest good for society — not only for ourselves.

本文2026-09-18首发于Hermes 的博客，最后修改于2026-09-18

作者：Hermes（xxx@example.com）

今日学习地图

认识论第四篇（一整节，不分篇）：价值 → 价值评价 → 真理与价值的辩证统一 → 认识世界和改造世界（从必然走向自由）→ 规律的分寸。

一、价值

Important

价值：反映主体和客体之间关系的哲学范畴，是客体对个人乃至整个社会的生活和活动所具有的意义。

⚠️ 这个概念其实不重要，重要的是它的特征。

Important

价值的四个特征：

1. 主体性——因人而异：对于不同的人，答案是不一样的
2. 客观性——价值不以人的意识为转移
3. 多维性——每个主体的价值关系都具有多样性
4. 社会历史性——不同的历史阶段，这个东西的价值是不同的

Note

多维性的例子（我自己举的）：你考上了研究生——

• 你自己高兴
• 你的父母也可能跟着高兴（有书读了）
• 你的母校也可能为你高兴（多了就业率——考上研就算就业）

同一个事，不同的主体有不同的价值关系——这就是多维性。

二、价值评价

Important

价值评价：一种关于价值现象的认识活动，是主体对客体的价值以及价值大小所做的评判或判断——因而也被称为价值判断。

Important

价值评价的四个基本特点：

1. 以主客体之间的价值关系为认识对象
2. 评价的结果与评价主体直接相关
3. 评价结果的正确与否依赖于对客体状况和主体需要的认识
4. 价值评价有科学与非科学之分——即有对错之分

Note

第 2 点的例子（我自己举的）：一个东西你喜欢，但别人不喜欢——比如我喜欢吃番茄炒蛋，可你吃番茄炒蛋会犯恶心（“怎么会有这么难吃的东西？它存在的意义是什么？"）。同一个客体，评价主体不同，评价结果就不同。

Important

评价作为一种价值判断活动，虽具有主观性，但并不是一种主观随意的认识活动——只有正确反映价值的评价才是正确的评价。

价值评价要：

• 以真理为依据
• 与人类主体的生存和发展、与社会发展的客观规律相一致
• 推动社会进步，以最广大人民的需要和利益为根本

三、真理与价值在实践中的辩证统一

Important

人们的实践活动总是受真理尺度和价值尺度的制约：

• 真理尺度：在实践中，人们必须遵循正确反映客观事物本质和规律的真理——只有按照真理办事，才能在实践中取得成功
• 价值尺度：在实践中，人们都是按照自己的尺度和需要去认识世界和改造世界——这一尺度体现了人的活动的目的性

Important

任何实践活动都是在这两种尺度共同制约下进行的；任何成功的实践都是真理尺度和价值尺度的统一，是合规律性和合目的性的统一。

Important

辩证统一关系的两方面表现：

1. 价值尺度必须以真理为前提
2. 人类自身需要的内在尺度，推动着人们不断发现新的真理

Note

我的理解锚点（对照表）：

尺度	上位	实践中要做什么	性质
真理尺度	规律	遵守、遵循	合规律性
价值尺度	能动	该怎么做、想怎么做、愿意怎么做	合目的性

“真理与价值在实践中的统一” = “合规律性和合目的性的统一” = “规律和能动的统一"。

⚠️ 但答题要写原文术语（真理尺度/价值尺度、合规律性/合目的性）——锚点只用于理解，不能替换原文词。

四、认识世界和改造世界：从必然走向自由

Important

• 自由：哲学上的自由是表示人的活动状态的范畴，指人在活动中通过认识和利用必然所表现的自觉自主的状态
• 必然：必然性即规律性
• 认识必然和争取自由，是人类认识世界和改造世界的根本目标，是一个历史性的过程
• 由必然到自由表现为人类不断从必然王国走向自由王国

Important

自由是历史发展的产物，自由是有条件的：

1. 认识条件——认知越多越自由
2. 实践条件——要求尊重规律、遵守规律
3. 不能牺牲别人的自由

Note

① 认识条件的例子（蘑菇题）：现在给你 9 个蘑菇，其中只有 1 个无毒，剩下 8 个全都有剧毒，吃一口就挂了。

• 没有认知的人：笑呵呵快快乐乐地吃掉——他没有自由！他看不出来哪颗有毒，横竖都是死，选择权根本不在他手里
• 菌类专家：虽然"这不能吃、那不能吃"像限制，但他能精准认出哪颗有毒、哪颗无毒——他掌握了生的权利，只有他能活下来

所以：认知越多越自由。

Note

③ 不能牺牲别人的自由的例子（受虐狂/施虐狂）：假如我是受虐狂、你是施虐狂，我俩刚好凑到一起、一拍即合，你可以疯狂地打、把我抽死打死都没事——这有问题吗？

肯定有问题，不能用"我们心甘情愿"来辩护。三条理由（对照自由的三条件）：

1. 违背"不能牺牲别人的自由”：施虐者"实现自己"的方式是把对方当手段，而且是把对方的自由连根消灭（“打死我”=对方作为人的自由被彻底摧毁）。自由的实现不能以摧毁他人自由为代价。更进一步，“自愿放弃自由"本身就不成立——自由是人的本质性状态，人无法通过"同意"把自己变成纯粹的物/手段；就像"自愿为奴"不是自由的表现，而是自由的丧失。
2. 违背实践条件（尊重规律——包括社会规律与法律）：这种行为违反社会的基本规范和法律，实践上必然失败，连"成功的实践"都算不上，更谈不上自由。
3. 最狠的一层：这根本不是自由，而是被必然奴役：自由是通过认识和利用必然获得的自觉自主状态；而受虐/施虐的欲望作为一种必然性在支配着他——他既没有认识这种必然，也没有驾驭它，只是被它推着走。所以"心甘情愿"恰恰说明他被支配得很深，不说明他自由。

一句话：自由以认识必然为前提（③）、以尊重规律为条件（②）、以不牺牲他人自由为边界（①）。

五、规律：改不了规律，但能改它起作用的条件和方式

Important

我们需要认识规律、遵守规律、利用规律——但能不能改变规律？

不能这么说。因为规律是客观存在的，它不以人的意识为转移——规律本身无法改变（不能创造、不能消灭）。

但是：我们可以改变规律起作用的条件和方式（形式）。

Note

例子：

• 万有引力规律改不了——但人造飞机就能飞起来（改变的是起作用的条件：升力＞重力）
• 水往低处流改不了——但人修水渠、建水库、用水泵抽水，让水流向人需要的地方
• 农作物生长的规律改不了——但建大棚改变温度条件，冬天也能种

本质：人改的是条件，规律照旧以它自己的方式起作用——只是作用结果朝着人需要的方向变了。

Important

与"规律 vs 能动"的闭环：

• 规律本身不可改 → 必须遵守（真理尺度：合规律性）
• 条件和方式可改 → 正是能动的用武之地（价值尺度：合目的性）

所以"改变规律起作用的条件和方式”，本质上就是真理尺度与价值尺度统一在人对待规律上的具体表现。

六、背诵卡区

必记关键词：

• 价值：反映主体和客体之间关系的哲学范畴；客体对个人乃至整个社会的生活和活动所具有的意义
• 价值四特征：主体性（因人而异）/ 客观性（不以人的意识为转移）/ 多维性 / 社会历史性
• 价值评价：关于价值现象的认识活动；主体对客体的价值及价值大小所做的评判 = 价值判断
• 价值评价四特点：①以主客体价值关系为认识对象 ②结果与评价主体直接相关 ③正确与否依赖对客体状况和主体需要的认识 ④有科学与非科学之分（有对错）
• 评价虽主观但非主观随意；只有正确反映价值的评价才是正确评价；要以真理为依据、与社会发展客观规律一致、以最广大人民的需要和利益为根本
• 真理尺度：遵循真理、按真理办事才能成功（合规律性）
• 价值尺度：按自己的尺度和需要改造世界、体现目的性（合目的性）
• 成功实践 = 两尺度的统一 = 合规律性和合目的性的统一
• 两表现：①价值尺度必须以真理为前提 ②需要的内在尺度推动发现新真理
• 自由：通过认识和利用必然所表现的自觉自主状态；必然性即规律性
• 认识必然和争取自由 = 认识世界和改造世界的根本目标（历史性过程、从必然王国走向自由王国）
• 自由三条件：①认识条件（认知越多越自由）②实践条件（尊重规律）③不能牺牲别人的自由
• 规律本身不可改（客观、不以意识为转移）；可改规律起作用的条件和方式（形式）

帽子对照表：

例子速记表：

本文2026-09-14首发于Hermes 的博客，最后修改于2026-09-14

作者：Hermes（xxx@example.com）

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认识论第三篇：真理。

主线：真理的客观性 → 真理的一元性 → 绝对性与相对性 → 真理与谬误 → 检验标准（实践）→ 实践标准的确定性与不确定性。

一、真理的客观性

Important

真理具有内容、标准和形式三方面：

• 内容和标准都是客观的
• 形式是主观的

所以：从整体上把握，真理是客观的；如果从各方面分别把握，只有形式是主观的。

真理的客观性 = 人们对客观事物及其规律的正确反映——凡是真理都是客观真理。

Important

真理的客观性（客观真理）有两层含义：

1. 真理的内容是客观的——真理中包含不依赖于人和人的意识的客观内容
2. 真理的标准是客观的——客观的社会实践是检验真理的唯一标准

承认真理的客观性，就是坚持了真理问题上的唯物主义。

1.1 主观真理论的两种表现

Important

流派	主张
马赫主义	认为真理是思想形式、是"社会地组织起来的经验"——多数人承认的就是真理
实用主义	认为"有用即真理"，把真理的有用性与真理本身等同起来

⚠️ 它们的共同错误：否定真理的客观性。

二、真理的一元性

Important

真理的客观性决定了真理的一元性：

同一条件下，对特定认识客体的真理性认识只有一个——它不因主体的认识差别和变化而改变。

三、真理的绝对性和相对性

3.1 真理的绝对性

Important

绝对性：指主观与客观统一的确定性和发展的无限性。两个方面的含义：

1. 任何真理都必然包含同客观对象相符合的客观内容，都同谬误有原则的界限，否则不称其为真理——这一点是无条件的、绝对的
2. 人类认识按其本性来说，能正确认识无限发展着的物质世界，每前进一步都是对无限发展的物质世界的接近——这一点也是无条件、绝对的

3.2 真理的相对性

Important

相对性：人在一定条件下对客观事物及其本质和发展规律的正确认识总是有限度的、不完善的。两个方面的含义：

1. 从客观世界的整体来看：任何真理都是对客观世界某一阶段、某一部分的认识，人类达到的认识广度总是有限度的——因此有待扩展
2. 对特定事物而言：任何真理都只是对客观对象一定方面、一定层次和一定程度上的认识，任何真理只能是主观对客观事物近似正确、相对正确的反映

3.3 绝对性和相对性的辩证关系

Important

相互依存、相互包含——“没有你就没有我，你中有我，我中有你”。

Important

真理发展的规律：任何真理性的认识都是由真理的相对性向绝对性转化过程中的一个环节——它既是实践、认识已达到的终点，又是进一步迈向真理绝对性的起点。

Important

为什么真理既有绝对性又有相对性？ 根源在于人的认识能力、思维能力的矛盾本性——即人的思维的至上性和非至上性（认识能力的无限性和有限性）的矛盾。

四、真理与谬误

Important

• 真理 = 人们对客观事物及其规律的正确反映；谬误 = 错误的反映
• 二者相互对立；但另一方面，对立是相对的——相互依存、相互转化
• 真理和谬误相比较而存在：没有真理也无所谓谬误，没有谬误也无所谓真理
• 真理中可能包含某种以后会暴露出来的错误的方面或因素；谬误中也隐藏着以后会显露出来的真理的成分或萌芽
• 一定条件下相互转化：真理和谬误在一定范围内的对立是绝对的；超出这个范围，它们就会相互转化——真理变成谬误，谬误变成真理

五、真理的检验标准

Important

实践是检验真理的唯一标准——这是由真理的本性和实践的特点决定的；实践是主观见之于客观的物质活动。

Important

实践是唯一标准，但不排斥逻辑证明：

• 逻辑证明：运用已知的正确概念和判断，通过推理，从理论上确定另一个判断正确性的方法
• 它是探索真理、论证真理和扩大真理范围的重要手段，是对实践标准的补充
• ⚠️ 但它不是检验真理的标准

六、实践标准的确定性与不确定性

Important

实践标准的确定性（绝对性）：

1. 实践是检验真理的唯一标准，此外无别的标准
2. 凡经过实践证明的认识都是客观真理，具有不可推翻的性质
3. 实践能检验一切认识——即使当前实践仍不能判定，最终会被以后的实践裁决

实践标准的不确定性（相对性）：

1. 历史阶段的具体实践有局限，往往不能充分证明或驳倒某一认识的真理性
2. 实践检验是一个过程，不是一次完成的
3. 已被实践检验过的真理，还要继续接受实践检验——实践发展，真理也不断被验证

这就是实践检验真理的辩证发展过程。

七、背诵卡区

必记关键词：

• 真理三方面：内容、标准、形式——内容客观 + 标准客观 + 形式主观
• 真理的客观性两层：内容客观 + 标准（社会实践）客观；凡真理都是客观真理
• 主观真理论：马赫主义（多数人承认就是真理）+ 实用主义（有用即真理）→ 共同错误：否定真理的客观性
• 一元性：客观性决定一元性——同一条件下真理只有一个
• 绝对性：确定性 + 发展的无限性（无条件、绝对）：①包含符合客观对象的客观内容、同谬误有原则界限 ②能正确认识无限发展的物质世界、每前进一步都是接近
• 相对性：认识有限度、不完善：①从整体看只是某阶段某部分的认识、广度有限→有待扩展 ②对特定事物只是某方面某层次某种程度、近似正确
• 绝对性与相对性：相互依存、相互包含；由相对性向绝对性转化的一个环节（终点+起点）
• 根源：思维的至上性与非至上性（认识能力的无限性与有限性）
• 真理与谬误：相比较而存在、一定条件下相互转化（范围内对立绝对）
• 检验标准：实践（唯一，由真理的本性 + 实践的特点决定）
• 逻辑证明：重要手段、对实践标准的补充，但不是检验真理的标准
• 实践标准确定性三条 / 不确定性三条

帽子对照表：

例子速记表：

本文2026-09-14首发于Hermes 的博客，最后修改于2026-09-14

作者：Hermes（xxx@example.com）

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认识论第二篇：认识的本质是什么、认识怎么发展。

主线：两条根本对立的认识路线 → 能动反映论 → 第一次飞跃（感性→理性）→ 第二次飞跃（理性→实践）→ 认识发展的两大规律（反复性、无限性）。

一、两条根本对立的认识路线

Important

路线	归属	别名
从思想和感觉到物	唯心主义	先验论
从物到感觉和思想	唯物主义	反映论

Important

反映论内部又分两支：

• 旧唯物主义：认为认识是直观的反映，也叫机械的反映
• 马克思主义：认为认识是能动的、创造性的反映

Note

记忆锚点："从思想和感觉到物“是先有思想后有物（唯心）；”从物到感觉和思想“是先有物后有认识（唯物）。两条路线的先后顺序就是它们的立场。

二、能动反映论

Important

辩证唯物主义认识论认为：认识的本质是主体在实践基础上对客体的能动反映。

这种能动反映具有两个特征（两个不可分割的方面）：

1. 反映客体的内容的反映特征（摹写性）
2. 主体能动性和创造性特征（创造性）

⚠️ 二者不是两种不同的本质，而是同一本质的两个方面——不可分割。

Important

能动反映论的突出特点：

1. 把实践的观点引入认识论
2. 将辩证法应用于反映论、考察认识发展过程，把认识看成由不知到知、由浅到深的矛盾过程，全面揭示认识的辩证性质

三、第一次飞跃：感性认识 → 理性认识

3.1 感性认识

Important

感性认识：人们在实践基础上由感觉器官直接感受到的事物现象、外部联系、各方面的认识。

• 三种形式：感觉、知觉、表象
• 地位：认识的初级阶段
• 突出特点：直接性和具体性（初级阶段 → 浅显）

3.2 理性认识

Important

理性认识：认识的高级阶段——人们借助抽象思维，在概括整理大量感性材料的基础上，达到关于事物本质、全体、内部联系和自身规律的认识。

• 三种形式：概念、判断、推理
• 特点：间接性和抽象性（高级阶段 → 深刻）

Warning

⚠️ 两两配对别搞反：

• 感性认识 = 直接性 + 具体性
• 理性认识 = 间接性 + 抽象性

选择题最爱把”直接性“塞给理性认识，或者把”抽象性“塞给感性认识。

3.3 感性认识和理性认识的辩证统一（三点）

Important

1. 理性认识依赖于感性认识——感性认识是认识过程的起点，没有感性认识就没有理性认识
2. 感性认识有待于发展和深化为理性认识
3. 二者相互渗透、相互包含——感性中有理性，理性中有感性

3.4 实现第一次飞跃的基本条件（两条）

Important

1. 投身实践、深入调查，获取丰富合乎实际的感性材料
2. 经过思考的作用，运用理论思维和科学抽象，将丰富感性材料去粗取精、去伪存真、由此及彼、由表及里地处理加工，形成概念和理论系统

3.5 辩证地看待（偏一端的两种错误）

Warning

错误	表现
经验主义	只看感性认识，不看理性认识
教条主义	只看理性认识（夸大理性、贬低感性）

四、第二次飞跃：理性认识 → 实践

Important

从理性认识到实践，这是第二次能动的飞跃，是认识中更为重要的一次飞跃。

Note

为什么"更重要”：第一次飞跃只是形成了认识，第二次飞跃才让认识回到实践、指导改造世界——认识的目的和检验都在这里实现。

五、认识发展的两大规律

5.1 认识的反复性

Important

反复性：人们对复杂事物的认识，往往要经过"感性认识→理性认识，再由理性认识→实践“的多次反复才能完成。

• 客观方面：事物的各个侧面和本质的暴露有一个过程
• 主观方面：人的认识有一个提高的过程

5.2 认识的无限性

Important

无限性：对于事物发展过程的推移，人的认识是永无止境的无限发展。

• 表现为实践、认识、再实践、再认识的无限循环，由初级向高级阶段不断推进的永无止境的前进
• 形式上是循环往复的，实质上是前进上升的

六、背诵卡区

必记关键词：

• 唯心主义 = 先验论，路线是”从思想和感觉到物"
• 唯物主义 = 反映论，路线是"从物到感觉和思想"
• 旧唯物 = 直观反映（机械反映）；马克思主义 = 能动的、创造性的反映
• 认识本质 = 主体在实践基础上对客体的能动反映
• 能动反映两特征：反映客体的内容 + 主体能动性和创造性（同一本质的两个方面）
• 能动反映论突出特点：引入实践观点 + 应用辩证法
• 感性认识三形式：感觉、知觉、表象；特点：直接性+具体性
• 理性认识三形式：概念、判断、推理；特点：间接性+抽象性
• 辩证统一三条：理性依赖感性 / 感性有待深化为理性 / 相互渗透
• 飞跃条件：投身实践获取感性材料 + 科学抽象加工（去粗取精、去伪存真、由此及彼、由表及里）
• 偏一端：经验主义（只信感性）/ 教条主义（只信理性）
• 第二次飞跃 = 理性→实践，更重要
• 反复性：多次反复（客观+主观都有过程）
• 无限性：永无止境；形式循环往复、实质前进上升

帽子对照表：

例子速记表：

本文2026-09-13首发于Hermes 的博客，最后修改于2026-09-13

作者：Hermes（xxx@example.com）

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唯物辩证法讲完"世界怎样存在"（第二章），认识论回答"人怎样认识世界"。认识论第一篇就是实践——因为实践的观点是辩证唯物主义认识论的第一的和基本的观点。

本课主线：实践的本质 → 三个基本特征 → 基本结构 → 形式 → 实践对认识的决定作用。

一、实践的定位

Important

• 实践性是马克思主义理论区别于其他理论的显著特征
• 科学性和实践性是马克思主义"独有的"特征——马克思主义的特征有很多，但独有的特征就两个：科学性和实践性

Warning

⚠️ 帽子区分：“区别于其他理论的显著特征"（习近平讲话原话，指实践性）与”独有的特征"（科学性和实践性两个）是两句话，别混成一句。

二、实践的本质

2.1 错误观点（马克思、恩格斯以前的哲学家）

Important

马克思、恩格斯以前，中外哲学都使用过"实践"概念，但理解都不科学：

哲学家	对实践的理解
中国哲学	实践被称为"践行""实行""行"，它与"知"相对应，主要指道德伦理行为
康德	把实践看成理性，是先天的道德活动
黑格尔	把实践理解为主体自我实现的精神活动

Note

中国哲学的"行"是相对"知"而言的（行与知相对应），所以它主要指道德修养层面的行为——不是马克思主义讲的改造世界的物质活动。

2.2 正确观点（马克思）

Important

马克思在**《关于费尔巴哈的提纲》**（集中阐述科学实践观的重要文献）中阐明：

1. 实践是感性的、对象性的物质活动
2. 全部社会生活在本质上是实践

两个关键词：

• 感性：实践要受意识（头脑）指导、有目的——两个字概括就是能动
• 对象性：实践必须指向对象——没有指向的对象，就不能称之为实践

三、实践的三个基本特征

3.1 客观实在性（直接现实性）

Important

• 实践具有客观实在性（物质性），不以人的意识为转移
• 实践能引起客观世界的某种变化，可以把人脑中观念的存在变为现实的存在——这就是它提供的现实的成果/价值，也就是直接现实性

直接现实性包含在客观实在性里面——客观实在性是本质层面，直接现实性是它拿得出来的表现。

Note

教材 vs 讲义：高教版教材第一条写的是"直接现实性"；徐涛讲义写的是"客观实在性"。两种考试都出现过——按"客观实在性（内含直接现实性）“记最稳。

3.2 自觉能动性

Important

• 与动物的本能、被动适应活动不同，人的实践活动是有目的、有意识的活动
• 目的性是能动性的主要表现
• 也就是前面说的”感性"——实践受意识指导，体现主体的意愿和目的

3.3 社会历史性

Important

核心理解：历史阶段不同，这个东西就不同。

Note

例 1（阶级压迫）：不同历史阶段，阶级压迫是不同的。

例 2（婚姻）：不同历史阶段婚姻形式不同——古代一夫多妻，现代一夫一妻。

四、实践的基本结构

Important

实践的基本结构 = 主体 + 客体 + 中介（三项基本要素有机统一）。

主体和客体与中介共同构成实践的基本结构。

4.1 实践的主体

Important

实践主体：具有一定主体能力、从事现实社会实践活动的人。

⚠️ 主体一定是人——这一点很重要。

主体的能力：

• 自然能力（如身体健康）
• 精神能力，分为：
  • 知识性因素（首要能力）：对理论知识的掌握 + 对经验知识的掌握
  • 非知识性因素：情感、意志（情感、欲望、信念）

主体的三种基本形态：个体主体、群体主体、人类主体。

4.2 实践客体

Important

实践客体：实践活动所指向的对象。

⚠️ 实践客体与"客观存在的事物"不完全等同：客观事物只有同时满足——

1. 被纳入主体实践活动的范围
2. 为主体实践活动所指向
3. 与主体相互作用

——才会成为现实的实践客体。

Note

理解：遥远的某颗行星在人类还没有观测、探测它之前，只是客观存在的事物，不是实践客体；一旦天文观测/探测开始指向它，它就变成现实的实践客体。

4.3 实践中介

Important

实践中介：各种形式的工具、手段，以及运用这些工具、手段的程序和方法。

中介系统分为两个子系统：

1. 物质性工具系统：作为人的肢体延长、感官延伸、体能放大的工具
2. 语言符号工具系统：主体思维活动得以进行的现实形式，人们交往得以进行的中介

Note

例（劈柴）：我要去门口劈柴，就得用斧头——徒手劈不了（这就是物质性工具系统）；另一子系统就是语言符号（语言符号是思维活动和交往的中介）。

4.4 主体和客体的关系（三种）

Important

1. 实践关系：改造与被改造的关系 ← 最根本的关系
2. 认识关系：认识与被认识的关系
3. 价值关系：客体对主体有没有价值（意义）

Note

例（我 vs 树）：主体是我、客体是树——

• 我改造树 → 实践关系
• 我认识树 → 认识关系
• 树对我有没有用 → 价值关系

Important

补充：实践的主体和客体与认识的主体和客体在本质上一致；认识的主客体关系不仅是认识和被认识的关系，首先是改造和被改造的关系，其次才是认识和被认识的关系。

4.5 双向运动：主体客体化与客体主体化

Important

实践的主体、客体和中介不断变化发展，所以实践的基本结构是历史地变化发展的——主要表现为双向运动：

① 主体客体化：人通过实践使自己的本质力量作用于客体，使其按照主体需要发生结构和功能的变化，形成世界上本来不存在的对象物。 → 简单说：人把自己的想法和能力变成客观实在

② 客体主体化：客体从客观对象存在形式转化为主体的生命结构或主体本质力量的因素——客体失去客体性，变成主体的一部分。 → 简单说：客体的规律和属性被主体认识到

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本文2026-09-12首发于Hermes 的博客，最后修改于2026-09-12

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