今日改动一览 2026年6月10日，对博客背后的技能系统和一篇具体文章进行了多项调整。以下是完整记录。 一、Skill 重构：maki-math-blog-style → feynman-blog-compiler 背景 原有的 maki-math-blog-style 只是一个「格式模板指南」，告诉我用哪个引用块、KaTeX 怎么写、封面参数是什么。但它没有约束文章内容怎么写——导致之前的博客写出来像聊天记录堆砌，而不是一篇正经的教材/讲义。 改动 将 maki-math-blog-style 吸收合并为 feynman-blog-compiler，并删除了旧 skill。 新 skill …
今日学习地图 本次学习覆盖第二章第五节（导数的微分学应用）的前两个考点： 考点一：函数的单调性 导数符号与单调性的正向关系（f’(x) > 0 ⇒ 严格递增） 严格单调与单调不减的区别（子区间恒为零 vs 有限个孤立零点） 反向陷阱：f’(x₀) > 0 推不出邻域单调 考点二：函数的极值 极值的邻域定义 费马定理（极值的必要条件） 第一充分条件：导数变号判极值 第二充分条件：二阶导符号判极值 + 保号性证明推导 f’’(x₀) = 0 时为什么失效 本次重点关注：导数与单调性的反向关系易混淆、第二充分条件证明中的保号性推理 …
极限是整个数二的收口处：导数、积分、级数、多元极限，最后都化成“求一个极限”。强化阶段这一章不再讲新概念，只做一件事——把六种工具和七种未定式对应起来，见到题先认型，认完型就知道拿哪个工具。 本篇按“工具 → 未定式 → 变限积分与二重积分 → 已知极限求参数”铺开，每个知识点后面紧跟当天做的题。 极限的六件工具 洛必达法则 设 $f$、$g$ 满足 $x\to x_0$ 时 $f(x)\to0$ 且 $g(x)\to0$，或者 $f(x)\to\infty$ 且 $g(x)\to\infty$（即 $\dfrac{0}{0}$ 型或 $\dfrac{\infty}{\infty}$ 型） 在 …
极限的计算里，绝大多数题目最终都归结成一件事：分子分母谁是低阶、谁是高阶、低多少阶。这一节把无穷小的比阶、等价替换、泰勒展开、变限积分定阶串成一套流程，核心只有一句话——阶数就是趋于零的快慢，比阶就是把两个无穷小放到同一把尺子上量。 无穷小与阶 无穷小 若 $\displaystyle\lim_{x\to\square}f(x)=0$，则称 $f(x)$ 在该变化过程中是无穷小。 讨论两个无穷小的比阶之前，必须先确认两件事： 两个量在同一个变化过程下（同一个 $x\to\square$） 两个量都必须是无穷小。比值极限存在与否，跟「谁是无穷小」是两件事，不是无穷小就不能比阶 比阶 设 …
高数强化从这里开篇。一轮复习时，函数的奇偶性、周期性属于「知道定义就行」的边角料；到了强化，它变成两道固定题型：一道是判断奇偶性（选择题，靠定义和运算规则秒杀），另一道是变限积分函数的奇偶性与周期性（把函数性质、导数、原函数、积分上限函数串在一起考）。这一节就沿着「定义 → 图像 → 运算 → 复合 → 与导数原函数的关系」这条链把两件事讲透。 函数的奇偶性 定义 设函数 $f(x)$ 的定义域 $D$ 关于原点对称。若对任意 $x\in D$ 都有 $$f(-x)=-f(x)$$则称 $f(x)$ 为奇函数；若都有 $$f(-x)=f(x)$$则称 $f(x)$ 为偶函数。 三个要点： 定义 …
二重积分是数二下册的最后一章，也是高等数学的收口。它和定积分的关系是升维：定积分在一条线段上把无数个小条加起来，二重积分在一块平面区域上把无数个小块加起来。整章就四件事——概念（定义、几何意义、存在性）、性质（积之前能做的比较与拆分）、计算（直角坐标与极坐标两套定限方法），再加一组必须记住的曲线。 二重积分的概念 定义 设 $f(x,y)$ 是有界闭区域 $D$ 上的有界函数。把 $D$ 分成 $n$ 个小区域，记第 $k$ 个小区域的面积为 $\Delta\sigma_k$，在第 $k$ 个小区域上任取一点 $(\xi_k,\eta_k)$，作乘积 …
本节是数二下册第七章的收官。同一件事在这里分成两个词：极值说的是局部——只在某点附近比大小，比周围大（或小）就算；最值说的是全局——要在整个区域上比出最大（或最小）。加上约束 $g(x,y)=0$ 之后，无条件极值那套判别法不再够用，工具换成拉格朗日乘数法；最后把区域内与边界上两块拼起来，就是有界闭区域上的最值。 无条件极值 定义 极值是局部的概念，它只在某点的一个小范围内比较函数值。设 $z=f(x,y)$ 在 $P_0(x_0,y_0)$ 的某个邻域内有定义，若对该邻域内异于 $P_0$ 的一切点 $(x,y)$，恒有 $$f(x,y)\lt f(x_0,y_0)$$则称 $f$ 在 …
这一节的战场是多元函数求导的两大主力：复合函数怎么求导、隐函数怎么求导。复合这一块的关键不在公式，而在符号——什么时候写偏导、什么时候写全导数，写错了整道题就废了。隐函数那一块则要分清两种方法各管什么局面，最后落到隐函数存在定理：它不只是一句「存在」，而是一把可以判"谁能被解出来"的尺子。 复合函数求导法则 情形一：中间变量都是一元函数 这是最简单的一种，本质上是把一元链式法则搬过来。设中间变量 $u = u(x)$、$v = v(x)$ 都只依赖 $x$，而 $z = f(u,v)$ 是这两个中间变量的函数，那么复合之后 $z$ 最终只依赖 $x$ 一个变量，于是可以用全 …
本节的核心悬念是一元的"可微 ⟺ 可导"到二元不再成立：二元里可微是更强的条件，它要求"整片邻域上的误差都是距离的高阶无穷小"。今天的路线是：定义 → 必要条件 → 求法 → 判定方法 → 与连续、偏导存在的关系。 一元可微的回顾 一元函数的可微定义是 $$\Delta y=f(x+\Delta x)-f(x)=A\Delta x+o(\Delta x)$$其中 $A=f'(x)$ 就是该点处的斜率，而 $A\Delta x$ 称为线性主部。 三个要点： 可微的意思是：函数增量能拆成"线性主部 + 比 $\Delta x$ 高阶的无穷小 …
数二下册只有两章：本章（多元函数微分学）与二重积分。本章是"一元到多元"的思维升级，重点不在计算量，而在概念上的跳跃。考情：只考二元，最多三元。 多元函数的概念 定义域 一元函数的定义域是数轴上的区间；二元函数的定义域是平面上的点集——直观上说，就是 $x$、$y$ 能活动的范围。 例：$z=\sqrt{4-x^2-y^2}$ 根号要求被开方数非负： $$4-x^2-y^2\geqslant 0\ \Longrightarrow\ x^2+y^2\leqslant 4$$所以它是上半球面（$z\geqslant 0$ 的那一半），而它的定义域是这个半球面在 $xy$ 平面上 …
