数二下册只有两章：本章（多元函数微分学）与二重积分。本章是"一元到多元"的思维升级，重点不在计算量，而在概念上的跳跃。考情：只考二元，最多三元。

多元函数的概念

定义域

一元函数的定义域是数轴上的区间；二元函数的定义域是平面上的点集——直观上说，就是 $x$、$y$ 能活动的范围。

例：$z=\sqrt{4-x^2-y^2}$

根号要求被开方数非负：

$$4-x^2-y^2\geqslant 0\ \Longrightarrow\ x^2+y^2\leqslant 4$$

所以它是上半球面（$z\geqslant 0$ 的那一半），而它的定义域是这个半球面在 $xy$ 平面上的投影——半径 $2$ 的圆盘。做题时只画底面（定义域区域）就够了，考试不需要画完整曲面。

元数

判断"几元函数"的标准是独立自由变量的个数，不是式子里出现几个字母。

$z=f(x,y)$，而 $y=g(x)$，这叫不叫二元函数？

不是二元函数，最终是一元函数（复合函数）。

$z=f(x,y)$ 形式上像两个变量，但 $y=g(x)$ 把 $y$ 完全绑定在 $x$ 上，$y$ 不再是自由变量。代入后 $z=f(x,g(x))$，能独立变化的只有 $x$ 一个，所以是一元复合函数。

判断标准：能不能改变一个变量而保持另一个不变。这里做不到——想动 $y$ 就必须动 $x$，两个变量绑死了，只剩一个自由度。

精确地说：$f$ 这个映射本身是二元函数（它活在整个平面区域上），但我们把它限制在曲线 $y=g(x)$ 上使用，得到的 $z$ 作为 $x$ 的函数是一元的。

注意：代入关系式后变量个数可能退化，判断元数要先看有没有变量被绑定。

二重极限

定义

设 $z=f(x,y)$ 的定义域是 $D$，$P_0(x_0,y_0)$ 是 $D$ 的聚点。若对任意 $\varepsilon>0$，存在 $\delta>0$，使对满足

$$0\lt\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}\lt\delta$$

的一切点 $P(x,y)\in D$，都有 $\lvert f(x,y)-A\rvert\lt\varepsilon$ 成立，则称 $A$ 是 $f$ 当 $(x,y)\to(x_0,y_0)$ 时的二重极限。

三个要点：

1. 趋近用两点间距离公式刻画，不是一元那种 $\lvert x-x_0\rvert$ 单边
2. 必须是去心邻域（距离严格大于 $0$）：$P_0$ 点本身在不在定义域、取什么值，与极限无关
3. 任意 $\varepsilon$ 找 $\delta$，与一元一致

路径

一元极限只有左右两条路，两条都趋同就完事；二元极限有无数条路（直线的、曲线的），必须所有路都趋向同一个 $A$ 才算极限存在。只要有两条路径给出不同结果，极限就不存在——这是二重极限比一元难成立的根本原因。

累次极限

累次极限是先固定 $y$ 对 $x$ 求极限，再让 $y$ 趋近：

$$\lim_{y\to y_0}\lim_{x\to x_0}f(x,y)$$

它和二重极限不是一回事。经典反例 $f(x,y)=\dfrac{xy}{x^2+y^2}$ 在 $(0,0)$：两个累次极限都存在，都等于 $0$；但二重极限不存在。

存在性判断

正面：二重极限存在，则每一条路径逼近时极限都存在，且都等于同一个 $A$。

逆否（实战用）：只要存在一条路径极限爆掉，或者两条路径极限不相等，二重极限就不存在。

判断流程：先试直线 $y=kx$——同次结构代入后 $x$ 的幂次会消掉，剩下纯 $k$ 的表达式；含 $k$（随斜率变）就判不存在。直线都趋同时不能急着说存在，还要试曲线（$y=x^2$、$y=kx^2$）；曲线也趋同仍不能断定存在，需要夹逼或极坐标证明所有路径都趋同。

求 $\lim_{(x,y)\to(0,0)}\dfrac{xy}{x^2+y^2}$

沿直线 $y=kx$ 代入：

$$\dfrac{x\cdot kx}{x^2+k^2x^2}=\dfrac{kx^2}{x^2(1+k^2)}=\dfrac{k}{1+k^2}$$

这个值与 $x$ 无关，但随 $k$ 变：$k=1$（沿 $y=x$）得 $\dfrac{1}{2}$；$k=2$（沿 $y=2x$）得 $\dfrac{2}{5}$；$k=0$（沿 $y=0$）得 $0$。

两条路径结果不相等，所以二重极限不存在。

注意：这个函数两个累次极限都等于 $0$，容易误判为存在。

整体代换

思想：观察表达式是不是只通过某个组合量（$xy$、$x^2+y^2$、$x+y$、$\dfrac{y}{x}$ 等等）依赖 $x$、$y$。是的话，把这个组合量记作新变量 $u$，$u\to 0$，二重极限就降成一元极限，然后一元的所有武器（等价无穷小、有理化）都能搬过来用。

求 $\lim_{(x,y)\to(0,2)}\dfrac{\sin(xy)}{x}$

$x\to 0$、$y\to 2$，所以 $xy\to 0$，可用等价无穷小 $\sin(xy)\sim xy$：

$$\dfrac{\sin(xy)}{x}\sim\dfrac{xy}{x}=y\xrightarrow{(x,y)\to(0,2)}2$$

求 $\lim_{(x,y)\to(0,0)}\dfrac{\sqrt{xy+1}-1}{xy}$

令 $u=xy\to 0$，用 $\sqrt{1+u}-1\sim\dfrac{u}{2}$：

$$\dfrac{\sqrt{xy+1}-1}{xy}\sim\dfrac{xy/2}{xy}=\dfrac{1}{2}$$

求 $\lim_{(x,y)\to(0,0)}\dfrac{xy}{2-\sqrt{xy+4}}$

分母有理化（分子分母同乘 $2+\sqrt{xy+4}$）：

$$\dfrac{xy\left(2+\sqrt{xy+4}\right)}{4-(xy+4)}=\dfrac{xy\left(2+\sqrt{xy+4}\right)}{-xy}=-\left(2+\sqrt{xy+4}\right)\xrightarrow{xy\to 0}-4$$

注意：有理化后分母是 $-xy$，负号不要丢。

等价无穷小与无穷小乘有界

原理：$\lvert f\rvert\leqslant M$ 时 $f$ 有界；无穷小乘有界仍是无穷小。

$\dfrac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}$ 的值就是极角 $\theta$ 的余弦 $\cos\theta$——$\theta$ 再怎么转，$\cos\theta$ 都落在 $[-1,1]$ 里，所以这个量天然有界；$\dfrac{x^2}{x^2+y^2}$ 里分母永远不小于分子，所以比值也不超过 $1$。这两族是常考的有界量，要一眼认出：

$$\dfrac{x}{\sqrt{x^2+y^2}},\qquad \dfrac{y}{\sqrt{x^2+y^2}},\qquad \dfrac{x^2}{x^2+y^2},\qquad \dfrac{y^2}{x^2+y^2}$$

求 $\lim_{(x,y)\to(0,0)}\dfrac{2\tan(x^3+y^3)}{x^2+y^2}$

令 $u=x^3+y^3\to 0$，用 $\tan u\sim u$，分子约等于 $2(x^3+y^3)$：

$$2\cdot\dfrac{x^3}{x^2+y^2}+2\cdot\dfrac{y^3}{x^2+y^2}=2x\cdot\underbrace{\dfrac{x^2}{x^2+y^2}}_{\text{有界}}+2y\cdot\underbrace{\dfrac{y^2}{x^2+y^2}}_{\text{有界}}$$

$x\to 0$ 是无穷小、乘有界仍是无穷小，所以第一项趋于 $0$；$y$ 项同理。原极限等于 $0$。

夹逼准则

求 $\lim_{(x,y)\to(0,0)}\dfrac{xy}{\sqrt{x^2+y^2}}$

第一步（基本不等式）：

$$x^2+y^2\geqslant 2\lvert xy\rvert$$

也就是 $\lvert xy\rvert\leqslant\dfrac{x^2+y^2}{2}$，它来自 $(\lvert x\rvert-\lvert y\rvert)^2\geqslant 0$。

第二步（约分放缩）：

$$\dfrac{\lvert xy\rvert}{\sqrt{x^2+y^2}}\leqslant\dfrac{(x^2+y^2)/2}{\sqrt{x^2+y^2}}=\dfrac{1}{2}\sqrt{x^2+y^2}$$

第三步（夹逼）：

$$0\leqslant\left\lvert\dfrac{xy}{\sqrt{x^2+y^2}}\right\rvert\leqslant\dfrac{1}{2}\sqrt{x^2+y^2}\xrightarrow{(x,y)\to(0,0)}0$$

右边趋于 $0$，所以 $\lvert f\rvert\to 0$。

收尾的依据：一般地 $\lim f=A$ 只能推出 $\lim\lvert f\rvert=\lvert A\rvert$，反向不成立（反例：$f$ 在有理点取 $1$、无理点取 $-1$，$\lvert f\rvert\equiv 1$ 有极限而 $f$ 本身没有）；但 $A=0$ 时反向成立，即 $\lim\lvert f\rvert=0$ 与 $\lim f=0$ 等价。所以由 $\lvert f\rvert\to 0$ 可以宣布 $f\to 0$。

注意：这题也可以用无穷小乘有界的方法做，把 $\dfrac{xy}{\sqrt{x^2+y^2}}$ 拆成 $x\cdot\dfrac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}$ 即可。

定阶只能预判

一元"高阶比低阶一定等于 $0$“的思想，不能直接沿用到二重极限。一元只有一条路，高阶项压倒低阶项是必然；二元有无数条路，你能通过选路把路径上的幂次重新配平，高阶优势随时被抹掉。

判断 $\lim_{(x,y)\to(0,0)}\dfrac{(x^2+y^2)^2}{xy}$ 是否存在

表面看是"四次比二次”，像是高阶比低阶。沿 $y=x^k$ 走：

分子 $(x^2+x^{2k})^2$ 约等于 $(x^2)^2=x^4$（$k\gt 1$ 时），分母 $x\cdot x^k=x^{k+1}$，比值约为

$$x^{4-(k+1)}=x^{3-k}$$

取 $k=4$，得 $x^{-1}\to\infty$，不是 $0$，所以二重极限不存在。

用 $y=x^k$ 把 $k$ 当旋钮，调出跟分子同阶的分母，专门制造爆破，这就是阶的预判落地的实战方式。

三段预判规则：

情形	例子	预判
上下同阶	$\dfrac{xy}{x^2+y^2}$	试 $y=kx$，一般含 $k$，多半不存在
分子低阶、分母高阶	$\dfrac{x}{x^2+y^2}$	沿直线直接爆破成 $\infty$，直接不存在
分子高阶、分母低阶	$\dfrac{(x^2+y^2)^2}{xy}$	可能为 $0$ 也可能不存在，必须找路径验证

注意：分子次数高于分母也不能想当然认为极限为 $0$。

偏导数

定义

设 $z=f(x,y)$ 在 $P_0(x_0,y_0)$ 的某一邻域内有定义。固定 $y=y_0$，让 $x$ 有增量 $\Delta x$（$\Delta x\neq 0$），函数增量为 $\Delta z=f(x_0+\Delta x,y_0)-f(x_0,y_0)$。若极限

$$\lim_{\Delta x\to 0}\dfrac{f(x_0+\Delta x,y_0)-f(x_0,y_0)}{\Delta x}$$

存在，则称之为 $f$ 在 $P_0$ 处对 $x$ 的偏导数，记作 $f'_x(x_0,y_0)$、$\left.\dfrac{\partial z}{\partial x}\right|_{(x_0,y_0)}$ 或 $z'_x(x_0,y_0)$。对 $y$ 的偏导数同理。

点处偏导写成一元极限的样子更直观：

$$f'_x(0,0)=\lim_{x\to 0}\dfrac{f(x,0)-f(0,0)}{x}$$

固定 $y=0$ 之后，这就已经是一元函数的导数定义了。

三个要点：

1. 求某一个偏导时要固定另一个变量，本质是把二元降成一元
2. 点处偏导可以先把另一个变量代入，得到一元函数再求导
3. 偏导数的记号统一写成 $\dfrac{\partial z}{\partial x}$、$\dfrac{\partial f}{\partial y}$ 的形式

几何意义

二元函数 $z=f(x,y)$ 是张曲面。固定 $y=y_0$，就是拿平面 $y=y_0$ 去切这张曲面，切出一条一元曲线；偏导数就是这条切出来的曲线在该点的切线斜率。换成平面 $x=x_0$ 去切，得到的交线切线斜率就是 $f'_y(x_0,y_0)$。

两条切线交于曲面上同一点，它们张成的平面就是曲面在该点的切平面，这是全微分那节的几何图景。

注意：切线所在的那个点应写成曲面上的三维点 $M(x_0,y_0,f(x_0,y_0))$，别丢掉 $z$ 坐标。

与连续的关系

图中绿色实线表示蕴含成立，红色虚线表示蕴含不成立。一元里可导（等于可微）能推出连续；到了二元，可微能推出连续、可微能推出偏导存在，但偏导存在推不出连续、连续推不出偏导存在、偏导存在也推不出可微。

为什么二元里偏导存在推不出连续：偏导只固定一条线（$y=y_0$ 或 $x=x_0$），只考察两个坐标轴方向；连续要求所有方向都趋于函数值。考察范围不对等，窄的推不出宽的。

$f=\dfrac{xy}{x^2+y^2}$（$(0,0)$ 处定义 $0$），在 $(0,0)$ 处连不连续？偏导存不存在？

连续性：分子 $xy$ 二次、分母 $x^2+y^2$ 二次，同阶，上 $y=kx$ 得 $\dfrac{k}{1+k^2}$ 随 $k$ 变，所以二重极限不存在，函数不连续。

偏导数用先代后求。固定 $y=0$，则 $f(x,0)\equiv 0$，所以

$$f'_x(0,0)=\lim_{x\to 0}\dfrac{f(x,0)-f(0,0)}{x}=\lim_{x\to 0}\dfrac{0-0}{x}=0$$

同理 $f'_y(0,0)=0$。

结论：不连续，但两个偏导数都存在（都等于 $0$）。偏导只沿两条坐标轴方向考察，两条路上函数值都是 $0$；但连续管所有方向，沿 $y=x$ 那条路上函数极限为 $\dfrac{1}{2}$，与函数值 $0$ 不相等。

注意：这个函数在 $(0,0)$ 处也不可微——不连续的函数必不可微。

$f=\dfrac{3\sin(x^2)\cos y}{\sqrt{x^2+y^2}}$（$(0,0)$ 处定义 $0$），两个偏导存不存在？

对 $x$ 的偏导（固定 $y=0$）：

$$f(x,0)=\dfrac{3\sin(x^2)\cos 0}{\sqrt{x^2}}=\dfrac{3\sin x^2}{\lvert x\rvert}\ \Longrightarrow\ f'_x(0,0)=\lim_{x\to 0}\dfrac{3\sin x^2}{\lvert x\rvert\cdot x}$$

分母里带着 $\lvert x\rvert$，左右两侧符号相反。

$x\to 0^+$ 时 $\lvert x\rvert=x$，式子为 $\dfrac{3\sin x^2}{x^2}\to 3$（用 $\sin x^2\sim x^2$）；$x\to 0^-$ 时 $\lvert x\rvert=-x$，式子为 $\dfrac{3\sin x^2}{-x^2}\to -3$。

左右极限不等，所以 $f'_x(0,0)$ 不存在。

对 $y$ 的偏导（固定 $x=0$）：

$$f(0,y)=\dfrac{3\sin 0\cdot\cos y}{\lvert y\rvert}=0\ \Longrightarrow\ f'_y(0,0)=0$$

$f'_y(0,0)$ 存在。

注意：同一个点可能出现"对 $x$ 偏导不存在、对 $y$ 偏导存在"，两个方向互不影响。

$f=\dfrac{3x^2+4y^2+2x+y}{1+xy\arctan(x^2+y^2)}$，求 $f'_x(0,0)$ 与 $f'_y(0,0)$

固定 $y=0$，分母里 $xy\arctan(\cdots)$ 直接归零，分母塌成 $1$：

$$f(x,0)=\dfrac{3x^2+2x}{1}=3x^2+2x\ \Longrightarrow\ f'_x(0,0)=\lim_{x\to 0}\dfrac{3x^2+2x}{x}=\lim_{x\to 0}(3x+2)=2$$

固定 $x=0$，同理分母为 $1$：

$$f(0,y)=4y^2+y\ \Longrightarrow\ f'_y(0,0)=\lim_{y\to 0}\dfrac{4y^2+y}{y}=\lim_{y\to 0}(4y+1)=1$$

所以 $f'_x(0,0)=2$，$f'_y(0,0)=1$。

初等函数与分段改造

情形	判断	处理方式
纯初等函数（定义域内）	初等函数在定义域内连续可导	直接求偏导函数再代入，不用怀疑存在性
被分段改造（例如在 $(0,0)$ 处另定义 $0$）	初等规则失效	分界点上必须用偏导数的定义（先代后求）

上面三道题为什么要动定义法？因为它们都被"在 $(0,0)$ 处单独定义"改造过。而 $\arctan\dfrac{y}{x}$ 那一类纯初等函数，直接算即可。

注意：初等函数规则的前提是在定义域内。$\arctan\dfrac{y}{x}$ 在 $x=0$ 处无定义，整条 $x=0$ 直线都不在定义域里。

高阶偏导数

四种二阶偏导

一阶偏导 $z_x$、$z_y$ 仍是 $x$、$y$ 的函数，对它们再求一次偏导，得到四个：

记号	算法	说法
$z_{xx}$	$\dfrac{\partial}{\partial x}\left(\dfrac{\partial z}{\partial x}\right)$	连续对 $x$ 求两次
$z_{yy}$	$\dfrac{\partial}{\partial y}\left(\dfrac{\partial z}{\partial y}\right)$	连续对 $y$ 求两次
$z_{xy}$	$\dfrac{\partial}{\partial y}\left(\dfrac{\partial z}{\partial x}\right)$	先对 $x$，再对 $y$
$z_{yx}$	$\dfrac{\partial}{\partial x}\left(\dfrac{\partial z}{\partial y}\right)$	先对 $y$，再对 $x$

记号顺序不能反：先对 $x$ 后对 $y$ 写成 $\dfrac{\partial^2 z}{\partial x\partial y}$；写成 $\dfrac{\partial^2 z}{\partial y\partial x}$ 就是先 $y$ 后 $x$，意义不同。

三个要点：

1. 二阶偏导共四种：$z_{xx}$、$z_{yy}$、$z_{xy}$、$z_{yx}$
2. 记号顺序即求导顺序，写反了意义不同
3. 下标注记（如 $f_{xy}$）与偏导记号按同一顺序读，都以自己教材为准

计算流程

先求出一阶偏导函数 $z_x$、$z_y$（在整个区域上有效的表达式），再对它们求偏导（另一个变量当常数），最后才代入具体点。

不能用先代后求。一阶只需要一个方向的信息，$f'_x(x_0,y_0)$ 就是沿 $y=y_0$ 切出的曲线的斜率，固定 $y=y_0$ 合法，用不到 $y$ 方向。混合二阶 $\dfrac{\partial^2 z}{\partial x\partial y}$ 要依次对两个方向求导，必须知道 $\dfrac{\partial z}{\partial x}$ 在 $(x_0,y_0)$ 附近整块区域上的表达式；提前把 $y$ 固定成 $y_0$，$y$ 方向的信息就被锁死了。

反例：$f(x,y)=xy$，求 $f''_{xy}(0,0)$。正解是先求 $\dfrac{\partial f}{\partial x}=y$，再对 $y$ 求偏导得 $1$，所以 $f''_{xy}(0,0)=1$。若先代，代 $y=0$ 得 $f(x,0)\equiv 0$，之后无论怎么算都是 $0$，答案就错了。

混合偏导相等

若 $z_{xy}$ 和 $z_{yx}$ 在某区域内都连续，则在该区域内 $z_{xy}=z_{yx}$，与求导次序无关。实用推论：初等函数在定义域内混合偏导一般相等，求 $z_{xy}$ 和 $z_{yx}$ 时算一个就行。

存在 $z_{xy}\neq z_{yx}$ 的情况：$f=\dfrac{xy(x^2-y^2)}{x^2+y^2}$（$(0,0)$ 处定义 $0$），那里 $f''_{xy}(0,0)=-1$、$f''_{yx}(0,0)=1$。数二不常考，知道有这回事即可。

$z=\arctan\dfrac{y}{x}$，求 $z_{xy}(1,1)$

第一步（求 $\dfrac{\partial z}{\partial x}$，对 $x$ 求偏导，$y$ 当常数）：

$$\dfrac{\partial z}{\partial x}=\dfrac{1}{1+(y/x)^2}\cdot\left(-\dfrac{y}{x^2}\right)$$

化简系数，利用 $\dfrac{1}{1+y^2/x^2}=\dfrac{x^2}{x^2+y^2}$：

$$\dfrac{\partial z}{\partial x}=-\dfrac{y}{x^2+y^2}$$

第二步（求 $z_{xy}$，对 $\dfrac{\partial z}{\partial x}$ 再对 $y$ 求偏导，$x$ 当常数）：

$$z_{xy}=-\dfrac{(x^2+y^2)\cdot 1-y\cdot 2y}{(x^2+y^2)^2}=-\dfrac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2}=\dfrac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}$$

第三步（代入 $(1,1)$）：

$$z_{xy}(1,1)=\dfrac{1-1}{(1+1)^2}=0$$

答案是 $0$，因为在 $(1,1)$ 处 $x^2=y^2$，分子恰好归零。

注意：这题也可以用先求 $\dfrac{\partial z}{\partial y}$、再对 $x$ 求偏导的方法来验证，两条路结果相同。