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高数强化从这里开篇。一轮复习时，函数的奇偶性、周期性属于「知道定义就行」的边角料；到了强化，它变成两道固定题型：一道是判断奇偶性（选择题，靠定义和运算规则秒杀），另一道是变限积分函数的奇偶性与周期性（把函数性质、导数、原函数、积分上限函数串在一起考）。这一节就沿着「定义 → 图像 → 运算 → 复合 → 与导数原函数的关系」这条链把两件事讲透。

本篇知识地图

函数的奇偶性

定义

设函数 $f(x)$ 的定义域 $D$ 关于原点对称。若对任意 $x\in D$ 都有

$$f(-x)=-f(x)$$

则称 $f(x)$ 为奇函数；若都有

$$f(-x)=f(x)$$

则称 $f(x)$ 为偶函数。

三个要点：

  1. 定义域关于原点对称是前提条件，不是可有可无的修饰。$f(x)=x^2$ 在 $(-1,2)$ 上既不是奇函数也不是偶函数，因为 $-1\lt x\lt 2$ 之外的点（如 $x=1.5$ 的对称点 $-1.5$）不在定义域内，$f(-x)=f(x)$ 根本无从谈起
  2. 判断时先看定义域，再看 $f(-x)$ 与 $f(x)$ 或 $-f(x)$ 的关系。定义域不对称的直接判非奇非偶，这一步能省掉大量计算
  3. 奇偶性是对称区间上的性质，脱离对称区间谈奇偶没有意义

图像与零点

奇函数的图像关于原点对称（绕原点旋转 $180^\circ$ 后与自身重合），偶函数的图像关于 $y$ 轴对称（沿 $y$ 轴翻折后与自身重合）。

奇函数与偶函数的图像对称性

由原点对称可以直接得到一个高频结论：若 $f(x)$ 是奇函数，且 $x=0$ 在定义域内，则

$$f(0)=0$$

理由是 $f(0)=-f(0)$，移项即得 $2f(0)=0$。

注意：这里必须带「$x=0$ 有定义」这个前提。$y=\dfrac{1}{x}$ 是奇函数，但在 $x=0$ 处无定义，谈不上 $f(0)=0$。所以标准表述是「奇函数在 $x=0$ 处有定义时，必有 $f(0)=0$」，把「有定义」三个字省掉就是错的。

补充题：判断奇函数在 $x=0$ 处的函数值是否必定等于 $0$

结论不成立。反例是 $f(x)=\dfrac{1}{x}$：它是奇函数，但 $x=0$ 处无定义，$f(0)$ 根本不存在。

真正成立的命题是：奇函数且 $x=0$ 在定义域内 $\Rightarrow f(0)=0$。

注意：这类题的通用价值在于「求参数」。题目给出「$f(x)$ 是定义在 $\mathbb{R}$ 上的奇函数，求其中参数 $a$」，第一步就是写 $f(0)=0$ 得一个方程，往往一步出答案。

对称区间上的构造

设 $f(x)$ 在关于原点对称的区间 $(-l,l)$ 内有定义，则

$$f(x)+f(-x)\ \text{必为偶函数},\qquad f(x)-f(-x)\ \text{必为奇函数}$$

验证第一个：把 $x$ 换成 $-x$，得 $f(-x)+f(x)$，与原来的式子相同，所以是偶函数。第二个同理，换元后整体变号。

由此得到任意函数的奇偶拆分：

$$f(x)=\underbrace{\dfrac{f(x)+f(-x)}{2}}_{\text{偶部}}+\underbrace{\dfrac{f(x)-f(-x)}{2}}_{\text{奇部}}$$

被拆成 与 两部分

以 $f(x)=e^x$ 为例，偶部是 $\dfrac{e^x+e^{-x}}{2}=\cosh x$，奇部是 $\dfrac{e^x-e^{-x}}{2}=\sinh x$，两条曲线相加正好回到 $e^x$。

对称区间上的定积分

这个公式在强化阶段用得极多。设 $f(x)$ 在 $[-a,a]$ 上可积，则

$$\int_{-a}^{a}f(x)\,\mathrm{d}x=\int_{0}^{a}\big[f(-x)+f(x)\big]\,\mathrm{d}x$$

推导只有两步，把积分拆成两段、前一段换元：

$$\int_{-a}^{a}f(x)\,\mathrm{d}x=\underbrace{\int_{-a}^{0}f(x)\,\mathrm{d}x}_{x=-t}+\int_{0}^{a}f(x)\,\mathrm{d}x=\int_{0}^{a}f(-t)\,\mathrm{d}t+\int_{0}^{a}f(t)\,\mathrm{d}t$$

后两式合并，被积函数就是 $f(-x)+f(x)$。

当 $f$ 是偶函数时 $f(-x)=f(x)$，公式退化为

$$\int_{-a}^{a}f(x)\,\mathrm{d}x=2\int_{0}^{a}f(x)\,\mathrm{d}x$$

当 $f$ 是奇函数时 $f(-x)=-f(x)$，公式退化为 $\displaystyle\int_{-a}^{a}f(x)\,\mathrm{d}x=0$。

三个要点：

  1. 公式对任意可积函数成立，不要求 $f$ 具有任何奇偶性
  2. 偶函数、奇函数那两条是它的特例，不是它的前提
  3. 实际价值在于「奇偶混合」的被积函数：拆开后奇函数部分自动消失，只剩偶函数部分的两倍

注意：把这条公式记成「只对偶函数成立」会把它的用途砍掉一半。它真正的场景恰恰是被积函数既不是奇函数也不是偶函数的时候。

补充题：计算 $\displaystyle\int_{-1}^{1}\big(x^2+x\big)\mathrm{d}x$

被积函数 $x^2+x$ 既不是奇函数也不是偶函数，但用公式直接拆：

$$\int_{-1}^{1}(x^2+x)\,\mathrm{d}x=\int_{0}^{1}\Big[\big(x^2-x\big)+\big(x^2+x\big)\Big]\mathrm{d}x=\int_{0}^{1}2x^2\,\mathrm{d}x=\dfrac{2}{3}$$

结果是奇函数那部分 $x$ 被自动消掉，只剩偶函数部分的两倍。若不用公式，则要拆成两段分别求原函数，多算一遍。

乘除与加减的运算规则

乘除（除式要求分母在定义域内不为零）：

  1. 奇函数 $\times$ 奇函数 $=$ 偶函数
  2. 奇函数 $\times$ 偶函数 $=$ 奇函数
  3. 偶函数 $\times$ 偶函数 $=$ 偶函数

加减：

  1. 奇函数 $\pm$ 奇函数 $=$ 奇函数
  2. 偶函数 $\pm$ 偶函数 $=$ 偶函数
  3. 奇函数 $\pm$ 偶函数 一般是非奇非偶函数

第三条有一个例外值得记住：如果其中一个是零函数 $f\equiv0$，那它本身既奇又偶，结论会退化。

注意：乘除规则里「奇 $\times$ 奇 $=$ 偶」用的次数最多，判断被积函数的奇偶性时几乎每题都遇到。它的来源是把 $-x$ 代进去，两个负号相乘变正。

复合函数的奇偶性

设复合函数为 $f\big(g(x)\big)$，定义域关于原点对称，则奇偶性取决于内外两层的组合：

  1. 内层 $g$ 是偶函数，则复合函数必为偶函数（内偶则偶）
  2. 内层 $g$ 是奇函数，则复合函数与外层同奇偶（内奇则同外）：外层偶则复合偶，外层奇则复合奇

第一条的理由最直接：$g(-x)=g(x)$，所以 $f\big(g(-x)\big)=f\big(g(x)\big)$，外层的奇偶性根本没机会起作用。

第二条的理由是：$g(-x)=-g(x)$，于是 $f\big(g(-x)\big)=f\big(-g(x)\big)$，此时外层若为偶则 $f\big(-g(x)\big)=f\big(g(x)\big)$，若为奇则 $f\big(-g(x)\big)=-f\big(g(x)\big)$，等同于外层自己的奇偶性。

常见的奇函数与偶函数

常见奇函数：

  1. $\sin x$、$\tan x$、$\arcsin x$、$\arctan x$
  2. $\sinh x=\dfrac{e^x-e^{-x}}{2}$
  3. $\ln\left(x+\sqrt{1+x^2}\right)$

常见偶函数：

  1. $\cos x$、$\cosh x=\dfrac{e^x+e^{-x}}{2}$
  2. $x^2$、$|x|$

其中 $\ln\left(x+\sqrt{1+x^2}\right)$ 的奇偶性值得单独说明。它的定义域是全体实数（因为 $x+\sqrt{1+x^2}>0$ 恒成立），并且

$$\ln\left(-x+\sqrt{1+x^2}\right)=\ln\frac{1}{x+\sqrt{1+x^2}}=-\ln\left(x+\sqrt{1+x^2}\right)$$

第一步用了平方差：$\left(\sqrt{1+x^2}-x\right)\left(\sqrt{1+x^2}+x\right)=1$。

函数的周期性

定义

设 $f(x)$ 的定义域为 $D$。若存在常数 $T>0$，使得对任意 $x\in D$ 都有 $x+T\in D$，且

$$f(x+T)=f(x)$$

则称 $f(x)$ 是以 $T$ 为周期的周期函数。使上式成立的最小正数 $T$ 称为最小正周期。

常见函数的周期

  1. $\sin x$、$\cos x$ 的最小正周期是 $2\pi$
  2. $\sin 2x$、$\cos 2x$ 的最小正周期是 $\pi$
  3. $\sin x\cos x=\dfrac{1}{2}\sin 2x$，最小正周期是 $\pi$
  4. $\sin^2 x=\dfrac{1-\cos 2x}{2}$、$\cos^2 x=\dfrac{1+\cos 2x}{2}$，最小正周期都是 $\pi$
  5. $\tan x$、$\cot x$ 的最小正周期是 $\pi$

$\sin^2x$ 的周期从 $2\pi$ 掉到 $\pi$，原因是平方之后函数图像被「折」进了 $y$ 轴上方，原来的下半周期翻到上半周期上，周期自然减半。同理 $|\sin x|$ 的周期也是 $\pi$。

注意：判周期时先看函数能不能化成「单一三角函数的一次幂」形式。$\sin^2x$ 与 $\sin x$ 看着只差一个平方，周期差一倍。

尺度变换

设 $f(x)$ 是以 $T$ 为周期的周期函数，$a\neq0$，则

$$f(ax+b)\ \text{是以}\ \dfrac{T}{|a|}\ \text{为周期的周期函数}$$

验证：把 $x$ 换成 $x+\dfrac{T}{|a|}$，则 $a\left(x+\dfrac{T}{|a|}\right)+b=ax+b+\dfrac{a}{|a|}T$，自变量的增量是 $\pm T$，由 $f$ 的周期性可知函数值不变。

两个要点：

  1. 周期是 $T$ 除以 $|a|$，不是除以 $a$，绝对值不能丢
  2. 平移量 $b$ 对周期没有影响

对称性与周期

这一组结论是选择填空的高频考点，需要三种情形一起记。设 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上有定义。

情形一，两条对称轴。若图像关于 $x=a$ 与 $x=b$ 都对称，则 $f(x)$ 以 $2|b-a|$ 为周期。

情形二，两个对称中心。若图像关于点 $(a,0)$ 与 $(b,0)$ 都对称，则 $f(x)$ 以 $2|b-a|$ 为周期。

情形三，一轴一中心。若图像关于 $x=a$ 对称，又关于点 $(b,0)$ 中心对称，则 $f(x)$ 以 $4|b-a|$ 为周期。

双轴对称是 ，一轴一中心是

三种情形都能从「对称的代数表达」推出来。轴对称写出来是镜像，中心对称写出来是镜像加翻转，两种都不是平移；只有两种对称叠加，镜像才会变成平移。

情形一：由关于 $x=a$ 对称得 $f(x)=f(2a-x)$，由关于 $x=b$ 对称得 $f(x)=f(2b-x)$，于是

$$f(2a-x)=f(2b-x)$$

令 $u=2a-x$，则 $2b-x=u+2(b-a)$，得到 $f(u)=f\big(u+2(b-a)\big)$，周期是 $2|b-a|$。两个镜像方向相同，一次相消就够了。

情形三：设 $s=b-a$。由关于点 $(b,0)$ 中心对称得

$$f(x)=-f(2b-x)$$

其中 $2b-x=2a-(x-2s)$，由关于 $x=a$ 轴对称得

$$f(2b-x)=f\big(2a-(2b-x)\big)=f(x-2s)$$

两式合并：$f(x)=-f(x-2s)$，即 $f(x-2s)=-f(x)$。再叠一次这个关系：

$$f(x-4s)=-f(x-2s)=f(x)$$

所以周期是 $4|b-a|$。一轴一中心各自只提供一次翻折，两次翻折才凑出一个完整的负号相消。

注意：这里的坑不在公式，在理解。单条对称轴、单个对称中心都不产生任何周期，它们只是镜像；把「轴的两边」当成「一个周期」会直接推出 $2|b-a|$ 的错误结论。判断顺序应该是：先写对称的代数式，再看两次叠加后自变量平移了多少。

由函数方程反推周期

强化阶段的选择题经常不直接给周期，而是给一个函数方程，要你反推。三条最常用的：

  1. 若 $f(x+a)=-f(x)$，则 $T=2a$
  2. 若 $f(x+a)=\dfrac{1}{f(x)}$，则 $T=2a$
  3. 若 $f(x+a)=-\dfrac{1}{f(x)}$，则 $T=2a$

第一条的推导：把 $x$ 换成 $x+a$，得 $f(x+2a)=-f(x+a)=-(-f(x))=f(x)$。两次变号回到原样。

第二条同理：$f(x+2a)=\dfrac{1}{f(x+a)}=f(x)$，两次取倒数回到原样。

这套方法的机理是「用两次把它绕回来」：给的关系式每前进 $a$ 变一次形，走两步正好复原，所以周期是 $2a$。若关系式里给的增量为 $2a$（如 $f(x+2a)=f(x)$），周期就直接是 $2a$；若形式是 $f(x+a)=f(x-a)$，把 $x$ 换成 $x+a$ 得 $f(x+2a)=f(x)$，周期 $2a$。

奇偶性、周期性与导数、原函数的关系

这一段是三组结论的集合，容易混，按「求导方向」和「积分方向」分开记。

求导方向

  1. 可导的奇函数，其导数是偶函数
  2. 可导的偶函数，其导数是奇函数
  3. 以 $T$ 为周期的可导函数，其导数仍以 $T$ 为周期

口诀：求导时奇偶互换，周期不变。

第一条的理由：设 $f$ 是奇函数，$f(-x)=-f(x)$，两边对 $x$ 求导（左边是复合函数，要先对 $-x$ 求导得 $-f'(-x)$）：

$$-f'(-x)=-f'(x)\ \Longrightarrow\ f'(-x)=f'(x)$$

所以 $f'$ 是偶函数。第二条同理，对 $f(-x)=f(x)$ 求导得 $-f'(-x)=f'(x)$，即 $f'(-x)=-f'(x)$。

原函数方向

  1. 连续奇函数的全部原函数都是偶函数
  2. 连续偶函数的原函数中，只有一个原函数是奇函数

两个结论不对称，原因在积分常数。

设 $F(x)$ 是 $f(x)$ 的任一原函数，则全部原函数是 $F(x)+C$。

对于奇函数 $f$：常数 $C$ 本身是偶函数，而偶函数加偶函数仍是偶函数，所以不管 $C$ 取什么，$F(x)+C$ 都是偶函数。这就是「全部」的由来。

对于偶函数 $f$：只有 $F(0)+C=0$ 即 $C=-F(0)$ 的那个原函数才满足「奇函数必须有 $F(0)=0$」，其余 $C\neq-F(0)$ 的原函数在 $x=0$ 处取非零值，破坏原点对称。这就是「只有一个」的由来。

三个要点：

  1. 常数是偶函数，它对偶性中性，对奇的破坏是致命的
  2. 记结论时要连「全部」「只有一个」一起记，这两个词就是考点
  3. 这条结论的前提是 $f$ 连续（保证原函数存在）

变上限积分函数

由微积分基本定理：若 $f(x)$ 连续，则

$$F(x)=\int_{a}^{x}f(t)\,\mathrm{d}t$$

可导，且 $F'(x)=f(x)$。也就是说，变上限积分函数是 $f$ 的一个原函数。

在所有原函数里，下限取 $0$ 的那个最特殊：

$$\Phi(x)=\int_{0}^{x}f(t)\,\mathrm{d}t$$

它满足 $\Phi(0)=0$，积分常数自动取到了「奇函数的必要条件」上。于是三条结论：

  1. $f$ 是奇函数 $\Rightarrow \Phi(x)=\displaystyle\int_{0}^{x}f(t)\,\mathrm{d}t$ 是偶函数
  2. $f$ 是偶函数 $\Rightarrow \Phi(x)=\displaystyle\int_{0}^{x}f(t)\,\mathrm{d}t$ 是奇函数，且它是 $f$ 的唯一奇原函数
  3. $f$ 以 $T$ 为周期 $\Rightarrow \Phi$ 以 $T$ 为周期当且仅当 $\displaystyle\int_{0}^{T}f(t)\,\mathrm{d}t=0$

前两条的推导都是换元。

$f$ 为奇函数时：

$$\Phi(-x)=\int_{0}^{-x}f(t)\,\mathrm{d}t\xlongequal{t=-u}\int_{0}^{x}f(-u)(-\mathrm{d}u)=\int_{0}^{x}f(u)\,\mathrm{d}u=\Phi(x)$$

（中间用了 $f(-u)=-f(u)$ 与换元时产生的负号，两个负号相消。）

$f$ 为偶函数时：

$$\Phi(-x)=\int_{0}^{-x}f(t)\,\mathrm{d}t=\int_{0}^{x}f(-u)(-\mathrm{d}u)=-\int_{0}^{x}f(u)\,\mathrm{d}u=-\Phi(x)$$

第三条的关键是先把增量算出来。由 $f$ 的周期性与积分区间的平移不变性：

$$\Phi(x+T)-\Phi(x)=\int_{x}^{x+T}f(t)\,\mathrm{d}t=\int_{0}^{T}f(t)\,\mathrm{d}t$$

右端是一个与 $x$ 无关的常数 $c$。所以只有当 $c=0$ 时 $\Phi$ 才以 $T$ 为周期；若 $c\neq0$，则 $\Phi$ 满足

$$\Phi(x+T)=\Phi(x)+c$$

把线性项剥出来，$\Phi$ 可以写成

$$\Phi(x)=\dfrac{c}{T}x+\varphi(x),\qquad \varphi\ \text{以}\ T\ \text{为周期}$$

即「线性项 + 周期函数」。

注意：第三条的判断顺序是先算 $\displaystyle\int_{0}^{T}f(t)\,\mathrm{d}t$ 是否为 $0$，不是先假设它是周期函数。反过来，若已知 $\Phi$ 是周期函数，则立刻得到 $\displaystyle\int_{0}^{T}f=0$ 这个信息，很多题目就是从这里开出条件的。

一道充要条件题

强化 1：设 $f(x)$ 连续，$F(x)$ 是 $f(x)$ 的一个原函数，下列充要条件成立的是

A. $F$ 是偶函数 $\iff$ $f$ 是奇函数

B. $F$ 是奇函数 $\iff$ $f$ 是偶函数

C. $F$ 是周期函数 $\iff$ $f$ 是周期函数

D. $F$ 是单调函数 $\iff$ $f$ 是单调函数

答案是 $A$。逐项看。

$A$ 两个方向都通：$f$ 奇 $\Rightarrow$ 全部原函数为偶，所以 $F$ 偶；$F$ 偶 $\Rightarrow$ $f=F'$ 为奇。成立。

$B$ 只有「$F$ 奇 $\Rightarrow$ $f$ 偶」这一半成立（可导奇函数的导数是偶函数）。反方向不成立，因为偶函数的原函数里只有 $C=0$ 那一个是奇函数。反例：取

$$f(x)=\cos x,\qquad F(x)=\sin x+1$$

$F(-x)=-\sin x+1\neq-(\sin x+1)=-F(x)$，$F$ 不是奇函数。这一步丢分的原因是「积分丢常数」。

$C$ 只有「$F$ 周期 $\Rightarrow$ $f$ 周期」成立。反方向需要 $\displaystyle\int_{0}^{T}f=0$。反例：取

$$f(x)=1+\cos x\quad(T=2\pi),\qquad \int_{0}^{2\pi}f(x)\,\mathrm{d}x=2\pi\neq0$$

此时 $F(x)=x+\sin x+C$，含线性项，不是周期函数。

$D$ 两个方向都不成立。$F$ 单调只要求 $f$ 不变号，与 $f$ 是否单调无关。正方向反例：$f(x)=x$ 严格增，而 $F(x)=\dfrac{x^2}{2}$ 不单调。反方向反例：$F(x)=x-\cos x$ 单调增（$F'=1+\sin x\geqslant0$），但 $f(x)=1+\sin x$ 时增时减。

注意：这道题的四个选项对应四组知识的边界，做错时要说清是哪一边断的：$B$ 断在「积分丢常数」，$C$ 断在「周期积分不为零」，$D$ 断在「$F$ 单调是 $f$ 定号，不是 $f$ 单调」。

变上限积分的奇偶性四连问

补充题：设 $f(x)$ 是 $(-\infty,+\infty)$ 上的奇函数，且有连续导数，$a$ 为任意常数。判断下列四个变限积分函数的奇偶性

  1. $\displaystyle\int_{0}^{x}\big[\cos f(t)+f'(t)\big]\mathrm{d}t$

  2. $\displaystyle\int_{a}^{x}\big[\cos f(t)+f'(t)\big]\mathrm{d}t$

  3. $\displaystyle\int_{0}^{x}\big[\sin f'(t)+f(t)\big]\mathrm{d}t$

  4. $\displaystyle\int_{0}^{x}\big[\sin f'(t)+f'(t)\big]\mathrm{d}t$

先做预备。$f$ 奇 $\Rightarrow f'$ 偶。复合层用「内奇则同外」：$\cos$ 偶、内层 $f$ 奇，所以 $\cos f(t)$ 是偶函数；$\sin$ 奇、内层 $f$ 奇，所以 $\sin f(t)$ 是奇函数。又因为内层 $f'$ 是偶函数，由「内偶则偶」，$\sin f'(t)$ 是偶函数。

第一问，被积函数 $\cos f(t)+f'(t)$ 是偶加偶，仍为偶。偶函数从 $0$ 积起得奇函数，所以这个变限积分是奇函数。

用换元验一遍，注意换元会带出一个负号：

$$G(-x)=\int_{0}^{-x}g(t)\,\mathrm{d}t\xlongequal{t=-u}\int_{0}^{x}g(-u)\,(-\mathrm{d}u)=-\int_{0}^{x}g(u)\,\mathrm{d}u=-G(x)$$

第二步用了 $g(-u)=g(u)$（因为 $g$ 是偶函数）。所以 $G$ 是奇函数，第一问的结论是奇函数。

第二问，被积函数同样是偶函数，但下限是 $a$：

$$\int_{a}^{x}g(t)\,\mathrm{d}t=\int_{0}^{x}g(t)\,\mathrm{d}t-\int_{0}^{a}g(t)\,\mathrm{d}t$$

第一项是奇函数，第二项是常数。奇函数加常数一般会破坏原点对称，所以这个变限积分一般不是奇函数。

准确一点说，记 $A=\displaystyle\int_{0}^{a}g(t)\,\mathrm{d}t$，则函数是 $G(x)-A$。它在 $x=0$ 处取值 $-A$，只有 $A=0$ 时才可能是奇函数。所以第二问一般是非奇非偶函数。

第三问，被积函数 $\sin f'(t)+f(t)$ 是偶加奇。拆开看：$\displaystyle\int_{0}^{x}\sin f'(t)\,\mathrm{d}t$ 是奇函数（偶被积从 $0$ 积起），$\displaystyle\int_{0}^{x}f(t)\,\mathrm{d}t$ 是偶函数（奇被积从 $0$ 积起）。奇加偶一般是非奇非偶函数。

第四问，被积函数 $\sin f'(t)+f'(t)$ 是偶加偶，仍为偶。偶被积从 $0$ 积起得奇函数。

注意：这四问的核心只有一条——被积函数的奇偶性经过一次积分要翻一次。偶被积得奇结果，奇被积得偶结果。下限不是 $0$ 时，等于原结果加一个常数，奇函数加常数就废了一半，偶函数加常数仍然安全。

两层套娃的变限积分

强化 3：设 $F(x)=\displaystyle\int_{0}^{\sin x}\sin^3 t\,\mathrm{d}t$，$G(x)=\displaystyle\int_{0}^{x}F(t)\,\mathrm{d}t$，判断 $F$、$G$ 的奇偶性

结论：$F$ 是偶函数，$G$ 是奇函数。

链条是一条一条传下去的：

$$\sin^3t\ \text{奇}\ \xrightarrow{\ \int_{0}^{u}\ }\ \Phi(u)\ \text{偶}\ \xrightarrow{\ \text{复合}\ \sin x\ \text{奇}\ }\ F(x)\ \text{偶}\ \xrightarrow{\ \int_{0}^{x}\ }\ G(x)\ \text{奇}$$

第一步，$\sin^3t$ 是奇函数（奇数次幂保持奇），所以 $\Phi(u)=\displaystyle\int_{0}^{u}\sin^3t\,\mathrm{d}t$ 是偶函数。

第二步，$F(x)=\Phi(\sin x)$。内层 $\sin x$ 是奇函数，外层 $\Phi$ 是偶函数，由「内奇则同外」得 $F$ 是偶函数。也可以直接验：

$$F(-x)=\Phi\big(\sin(-x)\big)=\Phi(-\sin x)=\Phi(\sin x)=F(x)$$

第三步，$G(x)=\displaystyle\int_{0}^{x}F(t)\,\mathrm{d}t$，被积函数 $F$ 是偶函数，偶被积从 $0$ 积起得奇函数：

$$G(-x)=\int_{0}^{-x}F(t)\,\mathrm{d}t\xlongequal{t=-u}\int_{0}^{x}F(-u)(-\mathrm{d}u)=-\int_{0}^{x}F(u)\,\mathrm{d}u=-G(x)$$

注意：这类题不要试图把积分算出来，链条上每一环只用一条规则，写清楚哪一环用了哪条规则，比算出来更稳。

综合判断选择题

强化 4：设 $f(x)$ 连续，下列变限积分函数为偶函数的是

A. $\displaystyle\int_{0}^{x}\frac{e^t-1}{e^t+1}\ln\left(t+\sqrt{1+t^2}\right)\mathrm{d}t$

B. $\displaystyle\int_{0}^{x}t\big[f(t)-f(-t)\big]\mathrm{d}t$

C. $\displaystyle\int_{0}^{x}\mathrm{d}t\int_{0}^{t}\frac{2\arctan u}{1+u^4}\,\mathrm{d}u$

D. $\displaystyle\int_{1}^{x}\mathrm{d}t\int_{0}^{t}\frac{\sin^2 u}{1+u^4}\,\mathrm{d}u$

答案是 $D$。判断依据就一条：被积函数的奇偶性每经过一次积分翻一次。

$A$：$\dfrac{e^t-1}{e^t+1}$ 是奇函数，验证方法是分子分母同乘 $e^t$：

$$\frac{e^{-t}-1}{e^{-t}+1}=\frac{1-e^{t}}{1+e^{t}}=-\frac{e^t-1}{e^t+1}$$

$\ln\left(t+\sqrt{1+t^2}\right)$ 是奇函数（见前面的推导）。奇乘奇得偶，被积函数是偶函数，从 $0$ 积起得奇函数。

$B$：$f(t)-f(-t)$ 是奇函数（把 $t$ 换成 $-t$ 后整体变号），乘上奇函数 $t$ 得偶函数，从 $0$ 积起得奇函数。

$C$：最内层 $\dfrac{2\arctan u}{1+u^4}$ 是奇函数（$\arctan$ 奇、$1+u^4$ 偶），内层积出 $H(t)=\displaystyle\int_{0}^{t}\dfrac{2\arctan u}{1+u^4}\mathrm{d}u$ 是偶函数；外层再积一次，偶被积从 $0$ 积起得奇函数。两次翻转回到奇函数。

$D$：最内层 $\dfrac{\sin^2u}{1+u^4}$ 是偶函数（$\sin u$ 奇，平方后变偶，$1+u^4$ 也偶），内层积出 $K(t)=\displaystyle\int_{0}^{t}\dfrac{\sin^2u}{1+u^4}\mathrm{d}u$ 是奇函数。关键在外层的下限是 $1$：

$$D(x)=\int_{1}^{x}K(t)\,\mathrm{d}t=\underbrace{\int_{0}^{x}K(t)\,\mathrm{d}t}_{\Psi(x)}-\underbrace{\int_{0}^{1}K(t)\,\mathrm{d}t}_{\text{常数}}$$

$K$ 奇 $\Rightarrow \Psi$ 偶，于是

$$D(-x)=\Psi(-x)-\Psi(1)=\Psi(x)-\Psi(1)=D(x)$$

偶函数减常数仍是偶函数。所以 $D$ 是偶函数。

注意：这题的分水岭在「常数项落在奇函数还是偶函数上」。偶函数加常数还是偶函数（常数自己是偶），奇函数加常数就不再是奇函数（$x=0$ 处取值非零，原点对称被破坏）。$C$ 与 $D$ 结构一样，只有下限不同，结论差了一个奇偶性。