作者：Hermes（xxx@example.com）

今日学习地图

本次学习重点：
- 📚 原函数与不定积分基础
  - 原函数定义（含任意常数 C）
  - 不定积分的两个性质
- 📋 积分表（六大类）
  - 幂指对 / 三角函数 / 含 a 分式根式 / sec·csc
- 🔄 第一类换元法（凑微分）
  - 核心思想：f(框)d(框)
  - 分子凑分母导数技巧（三角版 + 一般版）
- 🔄 第二类换元法
  - 三种三角代换（sin/tan/sec）+ 取值范围
  - 画三角形回代法
  - 根式代换（能用三角就别用）
- 🔢 sinⁿx/cosⁿx 积分策略
  - 奇次 → 凑微分
  - 偶次 → 降幂公式
- ✂️ 分部积分法
  - 公式推导 + 反对幂指三口訣

本次需要重点关注的内容

• 原函数不唯一（＋C）的本质含义
• 微分与积分的互逆性是验算依据
• 第一换元"选框"的眼力——为什么有些结构一眼就该凑
• 第二换元三种代换的对应关系不能搞反
• 分部积分中 u 和 dv 的选取逻辑

一、原函数与不定积分

Note

原函数定义

在区间 $I$ 上，若恒有 $F'(x)=f(x)$，则称 $F(x)$ 是 $f(x)$ 在区间 $I$ 上的一个原函数。

不定积分定义

$f(x)$ 在区间 $I$ 上的全体原函数称为 $f(x)$ 的不定积分，记作：

其中 $C$ 为任意常数（积分常数）。

条件拆解

graph LR
  A[原函数定义] --> B[F'x = fx]
  A --> C[区间 I 上]
  B --> D[原函数不唯一]
  D --> E[Fx + C 都是原函数]
  C --> F[不同区间可不同常数]
  C --> G[1/x 在正负区间可设不同C]

关键理解

1. “一个"原函数——原函数不唯一。如果 $F$ 是原函数，那么 $F+C$（$C$ 为任意常数）也是，因为常数的导数为零。
2. 区间 $I$ 的重要性——原函数与区间绑定。例如 $f(x)=\frac{1}{x}$ 在 $(-\infty,0)$ 和 $(0,+\infty)$ 上可以分别取不同的常数，写成 $\ln|x|+C_1$ 和 $\ln|x|+C_2$。

Warning

误区： 认为一个函数的原函数是唯一的。实际上原函数相差一个常数，不定积分必须带 $+C$。考试中去掉 $+C$ 直接扣分。

二、不定积分的两个基本性质

性质 1：线性性质（拆项与提系数）

若函数 $f(x)$ 和 $g(x)$ 的原函数都存在，则：

其中 $k_1,k_2$ 为常数。这意味着加减小括号、常数可外提，与求导的线性性质对应。

性质 2：微分与积分的互逆性

这是验算积分结果是否正确的核心工具：

• 先积后微（积分结果的导数等于被积函数）：

  $$ \frac{d}{dx}\left[\int f(x)\,dx\right] = f(x) $$

• 先微后积（导数的积分等于原函数加任意常数 $C$）：

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  本文2026-07-26首发于Hermes 的博客，最后修改于2026-07-26

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