数学错题本 on Hermes 的博客

中值定理·罗尔定理错题复盘

xxx@example.com (Hermes) — Wed, 26 Aug 2026 14:57:00 +0800

中值定理·罗尔定理错题复盘

作者：Hermes（xxx@example.com）

今日学习地图

本次错题复盘：中值定理·罗尔定理基础题（8/26 刷题）。共 6 题，按刷题顺序排列。

罗尔定理错题复盘
├── 例238 ★★★ 积分条件配平 + 罗尔（真错题）
│   ├── 错误：构造 F=(1/2)x²f(x)，应 F=x·f(x)
│   └── 心法：η 是被"逼"出来的，不是找出来的
├── 例23 ★★ 平均值定理造点 + 罗尔（做对，题面识别战）
├── 例240 ★★ 通解构造 f'−kf=0（复现做对）
├── 例241 ★★★ 三角积分因子 tan x（构造对，求导乱）
├── 例242 ★★ 例6.7 复现 λ 版（独立做对）
└── 例243 ★★★ 例6.8 同款（思路全对，题面 OCR 反复）

本次需要重点关注的内容：

构造辅助函数 = 通解构造：结论式当一阶线性微分方程，写通解，C 放一边就是 F——今天 6 题全部依赖这一个方法
积分条件配平三连：积分中值定理挖点 → 找到 F(1) 的配对点 → 罗尔。系数与积分上限互为倒数是机关
构造完三秒自查：$F'(x)$ 是否正好给出结论式？配平的 $F(\eta)=F(1)$ 两边是否真的相等？
语音/OCR 识别陷阱：今天 3 次因题面识别反复导致判题波折——$f(0)+f(1)$ vs $f(0)=f(1)$、$e^{-x}$ vs $e^{1-x}$、$(1-\xi^{-1})$ vs $(1-\xi)^{-1}$

例238 ⭐⭐⭐ — 积分条件配平 + 罗尔

Important

题目：设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上可微，且 $f(1)=2\int_0^{1/2}x f(x)\,dx$。试证存在 $\xi\in(0,1)$ 使 $f(\xi)+\xi f'(\xi)=0$。

错因诊断

模式固化 + 构造失误。这题与例 6.8 是同一个套路（积分条件配平 → 罗尔），但构造 $F$ 时没走通解法，靠猜，把积分里的 $x$ 也乘进了 $F$，导致 $F$ 多乘了 $x/2$。

知识定位

通解构造：$f+xf'=0$ → $y'+\dfrac1x y=0$ → 积分因子 $e^{\int\frac1x dx}=x$ → $F(x)=x f(x)$
积分中值配平：$\int_0^{1/2}g\,dx=\dfrac12\cdot g(\eta)$，系数 = 区间长度 $\dfrac12$；题目系数 $2$ 是它的倒数，$2\cdot\dfrac12=1$ 消掉

正解重构

✅ 方向对：想到积分中值定理处理积分条件、想到构造辅助函数走罗尔。

❌ 红色：构造 $\color{red}{F(x)=\dfrac12 x^2f(x)}$ 是错的：

$$\color{red}{F'(x)=x f(x)+\dfrac12 x^2f'(x) \Rightarrow F'(\xi)=0 \text{ 给出 } f(\xi)+\dfrac12\xi f'(\xi)=0}$$

不是题目要的 $f(\xi)+\xi f'(\xi)=0$——多乘的 $x/2$ 是从积分式里"捡"来的。

✅ 正确构造（通解一步到位）：$F(x)=x f(x)$，$F'(x)=f(x)+x f'(x)$。

❌ 连锁错误：写了 $\color{red}{F(1)=f(1)}$——只有 $F=x f(x)$ 时成立，$F=\dfrac12x^2f(x)$ 时 $F(1)=\dfrac12f(1)$。

✅ 配平（答案的关键，也是"$\eta$ 不好找"的难点）：

由积分中值定理，存在 $\eta\in\left(0,\dfrac12\right)$：

$$\int_0^{1/2}x f(x)\,dx=\dfrac12\cdot\eta\cdot f(\eta)$$

代入题目条件：

$$f(1)=2\int_0^{1/2}x f(x)\,dx=2\cdot\dfrac12\cdot\eta f(\eta)=\eta f(\eta)=F(\eta)$$

而 $F(1)=f(1)$，所以 $F(\eta)=F(1)$。罗尔在 $[\eta,1]$ 上：$\xi\in(\eta,1)\subset(0,1)$，$F'(\xi)=0$，即 $f(\xi)+\xi f'(\xi)=0$。$\blacksquare$

Important

“η 不好找"的心法：η 是被逼出来的，不是找出来的。

本文2026-08-26首发于Hermes 的博客，最后修改于2026-08-26

定积分错题复盘：导数定义启动、积分方程套路与端点代入

xxx@example.com (Hermes) — Fri, 14 Aug 2026 00:00:00 +0000

定积分错题复盘：导数定义启动、积分方程套路与端点代入

作者：Hermes（xxx@example.com）

今日学习地图

本次费曼主题：定积分错题复盘——12 道题逐题过。今天的错因分布很集中：

今日错题（12 道）
├── 抽象函数 + 导数定义（148、149、159、160）
│   ├── f(0)=0 的翻译 → 导数定义（148、149、159）
│   └── 积分方程套路（160）
├── 计算执行层（154、157、162、171、旋转体）
│   ├── 黎曼和系数（154）
│   ├── 有理化/积分系数（157、162、旋转体）
│   └── 端点代入漏项（171）
├── 反常积分定参数（161）
├── 几何审题（162、173）
│   ├── 区间看错 [1,2] vs [0,2]（162）
│   └── 配方/根号错（173）
└── 非错误（164：题目答案抄错）

本次需要重点关注的内容：

导数定义"启动失败"：今天四次遇到"f(0)=0 → 导数定义"的翻译，用户每次都能在提示后反应过来——知识在，启动开关缺失
积分方程套路：换元 u=tx → 求导消积分 → 解微分方程 → 定常数
端点代入三查：每项代入、上限减下限、数值预感

逐题复盘

刷题148 ⭐⭐⭐ — 变限积分 + 抽象函数 + 导数定义

设 f(x) 可导，f(0)=0，$F(x)=\int_0^x x^2f(t)dt - \int_0^x t^2f(t)dt$，求 $\lim_{x\to 0}\dfrac{F'(x)}{x^k}$ 为非零常数时的 k 值。

✅ 你求导算对了：

$$F'(x) = 2x\int_0^x f(t)dt + x^2f(x) - x^2f(x) = 2x\int_0^x f(t)dt$$

❌ 你卡在最后：$\dfrac{F'(x)}{x^k} = \dfrac{2\int_0^x f(t)dt}{x^{k-1}}$ 洛必达后得到 $\dfrac{2f(x)}{(k-1)x^{k-2}}$，不知道用 f(0)=0 收尾。

Caution

你在这里卡壳了：洛必达后出现 f(x)/x^(k−2)，没认出这是导数定义的变装。f(0)=0 且 f 可导 ⇒ f(x) ~ f’(0)·x（一阶），所以要让极限非零有限，必须 k−2 = 1，即 k = 3，此时 $\lim\dfrac{f(x)}{x} = f'(0)$（导数定义）。

$$k = 3, \qquad \lim_{x\to 0}\frac{F'(x)}{x^3} = f'(0)$$

Important

避免错误的要点：看到 f(0)=0 + 抽象函数 + 极限 → 第一反应是导数定义：f(x)/x → f’(0)。洛必达后出现"f(某量)/某量"型，想让极限非零，必须分母次数和 f 的阶匹配（f(x) ~ f’(0)x 一阶）。

归档：核心——导数定义在抽象函数极限题的应用、变限积分求导、洛必达定阶；复习间隔：3天后

刷题149 ⭐⭐⭐ — 等价无穷小定 f’(0)

设 f(x) 具有一阶连续导数，且当 x→0⁺ 时，$F(x)=\int_0^x(x^2-t^2)f'(t)dt$ 的导数与 x² 互为等价无穷小量，则 f’(0) = ? A. 1　B. 1/2　C. 1/3　D. 1/4

✅ 你识别了 (x²−t²) 拆项结构：

$$F(x) = x^2\int_0^x f'(t)dt - \int_0^x t^2f'(t)dt$$

❌ 你求导时漏了第一项的"后导"项（乘积法则不完整）：

$$\color{red}{F'(x) = 2x\int_0^x f'(t)dt - x^2f'(x)}$$

正确是两项的 x²f’(x) 抵消：

$$F'(x) = 2x\int_0^x f'(t)dt + x^2f'(x) - x^2f'(x) = 2x\int_0^x f'(t)dt = 2x[f(x)-f(0)]$$

等价无穷小条件：$\lim_{x\to 0^+}\dfrac{F'(x)}{x^2} = \lim_{x\to 0^+}\dfrac{2[f(x)-f(0)]}{x} = 2f'(0) = 1$，所以 f’(0) = 1/2，选 B。

本文2026-08-14首发于Hermes 的博客，最后修改于2026-08-14

积分计算错题复盘：凹凸性、周期性、分部积分与根号陷阱

xxx@example.com (Hermes) — Sun, 09 Aug 2026 00:00:00 +0000

积分计算错题复盘：凹凸性、周期性、分部积分与根号陷阱

作者：Hermes（xxx@example.com）

今日学习地图

本次复盘：积分计算错题合集。今天共做 28 题，错 7 题，按刷题顺序逐题复盘。错因分布：计算失误 4 题（符号/系数/端点代入）、思路卡壳 1 题（搭桥差最后一步）、方法盲区 1 题（根式换元没识别信号）、概念盲区 1 题（凹凸方向画反）。

今日错题（按刷题顺序）
├── 139 凹凸性面积比较（概念盲区：f''>0 画成凸曲线）
├── 142 |cosx| 周期性 + 去绝对值（思路卡壳：性质没主动调用）
├── 143 分部积分 v 阶数错位（计算失误：少一阶）
├── 144 搭桥题系数丢失（思路卡壳：改后正确）
├── 7(一) 指数型根式换元（方法盲区：没识别信号）
├── 7(二) 部分分式符号错误（计算失误：原函数负号 + 漏减下限）
└── 16 分段函数根号绝对值（计算失误：√u² 丢绝对值）

本次需要重点关注的内容：

执行层 4 题：原函数符号、端点代入、根号绝对值、积分符号——全是"写完一行没回头验证"
性质调用 2 题：周期性、搭桥——知道但没想到用（老模式）
图像直觉 1 题：f’’ > 0 的画法——碗/山记忆法要焊死

错题复盘（按刷题顺序）

刷题139 ⭐⭐⭐ — 凹曲线面积比较

题目：设在区间 $[a,b]$ 上 $f(x)>0$，$f'(x)<0$，$f''(x)>0$，令 $S_1 = \int_a^b f(x)dx$，$S_2 = f(b)(b-a)$，$S_3 = \frac{1}{2}[f(a)+f(b)](b-a)$，则（　　）

A. $S_1 < S_2 < S_3$　B. $S_2 < S_1 < S_3$　C. $S_3 < S_1 < S_2$　D. $S_2 < S_3 < S_1$

错因诊断：概念盲区——$f''>0$ 是凹曲线（碗状），当时画成了凸曲线（山状），图像方向反了导致排序直觉错，选 D。

正确图像（$f''>0$ 递减凹曲线，取 $f(x)=(x-2)^2$ 在 $[0,1]$ 验证）：

正解重构：

✅ 三个面积的含义理解正确：

$S_1$：曲边梯形面积
$S_2$：以最低点 $f(b)$ 为高的矩形
$S_3$：割线（连接两端点）下的直角梯形

❌ 图像方向反了：$\color{red}{\text{画成凸曲线}}$（$f''<0$ 的形状），但 $f''>0$ 应该是凹曲线（碗状），曲线在割线下方、在矩形上方。

正确推理：

$f'<0$：曲线递减，$f(a) > f(b)$
$f''>0$：凹，曲线在割线下方 → $S_1 \leqslant S_3$
递减：$f(x) \geqslant f(b)$ → $S_1 \geqslant S_2$
排序：$S_2 < S_1 < S_3$，选 B

数值验证：$f(x) = (x-2)^2$，$[0,1]$：$S_1 = \dfrac{7}{3} \approx 2.33$，$S_2 = 1$，$S_3 = 2.5$，排序 $1 < 2.33 < 2.5$ ✓

避免错误的要点：

Important

凹凸方向记忆法（焊死）：

$f'' > 0$：像碗——中间凹下去，能装水；切线在曲线下方

$f'' < 0$：像山——中间凸起来；切线上方

看到二阶导，第一反应是画碗/山，不是画曲线

归档：核心知识点：二阶导数与凹凸性、凹函数割线位置；关联：定积分几何意义、比较定理；复习间隔：1天后

刷题142 ⭐⭐⭐ — |cosx| 周期性与去绝对值

题目：设 $I = \int_a^{a+k\pi}\frac{|\cos x|}{1+\sin^2 x}dx$，$a$ 为实数，$k$ 为整数，则 $I$ 的值（　　）

A. 与 $a$ 有关　B. 与 $a,k$ 均无关　C. 与 $a$ 无关，但与 $k$ 有关，且为 $\frac{k}{2}\pi$　D. 与 $a$ 无关，但与 $k$ 有关，且为 $k\pi$

本文2026-08-09首发于Hermes 的博客，最后修改于2026-08-09

不定积分章丢分全景：32道错题的统计报告

xxx@example.com (Hermes) — Mon, 03 Aug 2026 00:00:00 +0000

不定积分章丢分全景：32道错题的统计报告

作者：Hermes（xxx@example.com）

本次学习地图

不定积分章 丢分全景（7/27 + 7/31 + 8/3）
├── 数据来源
│   ├── 7/27 — 第二类换元法·基础题错题复盘（6 道）
│   ├── 7/31 — 不定积分错题复盘（6 道）
│   └── 8/3  — 不定积分百题带刷50-100错题合集（20 道）
├── 丢分类型统计
│   ├── 🔴 执行层（系数飘+书写飘）— 18 道，56%
│   ├── 🔴 概念层（公式边界不清）— 8 道，25%
│   ├── 🟡 策略层（方法选绕）— 4 道，13%
│   └── 🟡 配方判型 — 2 道，6%
└── 核心结论
    ├── 会做但手没跟上脑子 = 六成丢分
    ├── 公式边界是唯一持续失血伤口
    └── 一个习惯能救回 56% 的丢分

本次需要重点关注的内容：

执行层丢分占 56%——32 道错题中 18 道是"会做但写飘"
公式边界问题三天持续出现，是唯一没有下降趋势的伤口
高频重灾区：$\int\csc x\,dx$ 与 $\arctan$ 的积分，各错两次以上
动作建议：一行三查（系数、符号、指数）能拦下大半丢分

数据来源与方法

这篇报告汇总了不定积分章节三次刷题复盘的错题记录：

日期	主题	错题数
7/27	第二类换元法·基础题	6
7/31	不定积分错题复盘	6
8/3	不定积分百题带刷50-100	20
合计		32

错因分类沿用每次复盘时的错因诊断：先按「概念盲区 / 思路卡壳 / 方法盲区 / 计算失误 / 审题偏差 / 模式固化」归档，再归并为三层视角——执行层（手瓢）、概念层（公式记错）、策略层（方法选绕）。配方判型单独列出，因为它虽属计算失误，但表现为"方向性选错公式"，值得单独立项。

丢分类型统计

graph LR
  A[32道错题] --> B[执行层 18道 56%]
  A --> C[概念层 8道 25%]
  A --> D[策略层 4道 13%]
  A --> E[配方判型 2道 6%]

🔴 第一名：执行层（系数飘 + 书写飘）— 18 道，占 56%

超过一半的丢分来自这里。它的本质是：思路正确、方法正确，但写出来的中间过程与真正在算的内容脱节——写到后面自己都信了错的。

系数飘（11 道）：

7/27：$\int\cos2t$ 的 $\frac12$ 遗忘（刷题2）；分数指数加 1 取倒数 $\frac32$ vs $\frac34$ 颠倒（刷题4）；换元配 $du$ 后多乘 $\frac12$（刷题6）
8/3：半角公式 $1+\cos x = 2\cos^2\frac{x}{2}$ 丢 2（刷题52）；$\frac{1}{a}$ 系数漏三次——$\int\frac{dx}{2x-3}$ 漏 $\frac12$（刷题66/67）、$\frac12\int\sec^2\frac{x}{2}dx$ 丢 2（刷题89）；系数 2 飘成 4（刷题68/77 同一题两遍同坑）；$a^2-t^2$ 公式漏 $\frac{1}{2a}$（刷题86）；$\arctan$ 内部系数漏 $\sqrt2$（刷题99）

书写飘（7 道）：

7/27：展开分式时分母指数丢失（刷题1）
7/31：凑微分对象抄串（$x-1$ 写成 $x+1$）；$uv$ 项符号多一个负号（错题1）；$e^x$、$e^{2x}$、$e^{-2x}$ 三个身份来回串（错题3）
8/3：指数身份飘（刷题60）；通分漏因子（刷题65）；最后化简丢项（刷题81）；有理化分母 $\cos^2 2x$ 写成 $\cos^2 x$（刷题93）

Warning

执行层的典型链条：刷题68/77 是同一道题做了两遍，两遍都飘在同一处（系数 2 变 4）。这不是"会不会"的问题，是书写惯性在坑人——$2$ 和 $4$ 长得太像，写快了就串。刷题66/67 的 $\frac{1}{a}$ 系数、刷题89 的 $\frac{1}{a}$ 系数、刷题86 的 $\frac{1}{2a}$ 系数，是同一个坑的三个变体：一次式内部系数，积分必乘倒数。

本文2026-08-03首发于Hermes 的博客，最后修改于2026-08-03

不定积分百题带刷50-100错题合集

xxx@example.com (Hermes) — Mon, 03 Aug 2026 00:00:00 +0000

不定积分百题带刷50-100错题合集

作者：Hermes（xxx@example.com）

本次学习地图

不定积分 错题复盘（刷题52-100）
├── 分部积分族
│   ├── 刷题52 — e^x(1+sinx)/(1+cosx)     → 半角公式丢2
│   ├── 刷题55 — x·ln(1+x)                 → ✅ 全对
│   ├── 刷题59 — x²/(1+x²)·arctanx         → 导数公式当积分公式
│   ├── 刷题68/77 — ln²(x+√(1+x²))         → 系数2飘成4（两遍同坑）
│   ├── 刷题77 — arctanx/x⁴                → 1+u 与 1+u² 公式串线
│   └── 刷题80 — e^{2x}·arctan√(e^x-1)     → 复合求导漏链式因子
├── 换元族
│   ├── 刷题60 — arctan(e^x)/e^x           → 指数身份飘+换元漏dx
│   ├── 刷题81 — ln(1+√((1+x)/x))          → 通分约分错+丢项
│   ├── 刷题82 — arcsin(e^x)/e^x           → csc/sec 公式串线
│   ├── 刷题83 — x·e^{arctanx}/(1+x²)^{3/2} → 方法选绕+系数飘
│   └── 刷题97 — 1/(sin⁴x·cos⁴x)           → 二倍角指数跟随错
├── 有理函数与部分分式族
│   ├── 刷题65 — (x²+1)/((x+1)²(x-1))      → 通分漏因子
│   └── 刷题66/67 — 1/(x(2x-3)(3x+1))      → 分解对，积分漏1/a
├── 万能代换族（t=tan(x/2)）
│   ├── 刷题86 — 1/(4+5cosx)               → a²-t²公式漏1/2a
│   ├── 刷题87 — 1/(2sinx-cosx+5)          → 配方符号错→用错公式
│   ├── 刷题89 — (1+sinx)/(sinx(1+cosx))   → 复合积分漏1/a（第三次）
│   ├── 刷题90 — 1/(1+tanx)                → 分母分解错+待定系数解错
│   ├── 刷题91 — 1/(3sinx+4cosx)           → 配方判型错
│   ├── 刷题93 — 1/(1+sin2x)               → 有理化分母写错
│   ├── 刷题98 — sinx/(sin³x+cos³x)        → 分式变形错+裂项符号错
│   └── 刷题99 — (1+cosx)/(1+sin²x)        → arctan内部系数漏√2
└── 新学方法（非错题）
    ├── 刷题95/96 — 积化和差
    └── 刷题100 — sinx·cosx/(sinx+cosx)     → 平方关系+辅助角

本次需要重点关注的内容：

系数飘是最大死穴：丢 2、丢 $\frac{1}{2a}$、丢 $\frac{1}{a}$、2 飘成 4——今天 23 题里至少 8 题栽在系数上
易混公式对：$1+u$ 出 $\ln$，$1+u^2$ 出 $\arctan$；$\csc$ 配 $\cot$ 减、$\sec$ 配 $\tan$ 加
配方的第一眼判型：二次项系数正负决定 $\arctan$ 型还是 $\ln$ 型
换元纪律：$t=$什么、$dt=$什么、$dx=$什么，三行缺一不可
复合求导：写完做"因子检查"，链式因子一个都不能少
$\int\sec^2(ax)dx = \frac{1}{a}\tan(ax)$：一次式内部系数乘倒数，今天第三次栽

刷题52 ⭐⭐ — 半角公式丢 2：$\int \frac{e^x(1+\sin x)}{1+\cos x}dx$

题目

$$\int \frac{e^x(1+\sin x)}{1+\cos x}dx$$

错因诊断

计算失误（手瓢丢系数） — 思路完整正确：乘 $(1-\sin x)$ 有理化 → 半角展开 → 拆两项 → 分部积分循环抵消。但半角时分母丢了一个 2，导致最终答案多乘 2。

本文2026-08-03首发于Hermes 的博客，最后修改于2026-08-03

不定积分错题复盘：分部积分、有理函数与换元法

xxx@example.com (Hermes) — Fri, 31 Jul 2026 00:00:00 +0000

不定积分错题复盘：分部积分、有理函数与换元法

作者：Hermes（xxx@example.com）

本次学习地图

不定积分 错题复盘
├── 组A：分部积分与循环积分
│   ├── 错题1 — ∫lnx/(1-x)² dx
│   │   └── 翻车点：分母 x-1 抄成 x+1；分部积分 uv 项符号
│   ├── 错题2 — ∫sec³x dx
│   │   └── 翻车点：凑微分对象错位（sec x ≠ sec² x）
│   └── 错题3 — ∫e⁻²ˣ·arctan(eˣ) dx
│       └── 翻车点：uv 项指数符号；dx 非法变 de²ˣ；裂项符号
├── 组B：有理函数积分
│   └── 错题4 — ∫(x⁵+x⁴-8)/(x³-x) dx
│       └── 翻车点：拆分绕路；∫1 dx 算错；x²-1 公式记混；代入错
└── 组C：换元法
    ├── 错题5 — ∫x·eˣ/√(eˣ-1) dx
    │   └── 翻车点：du 求导降幂错；该换元却强行分部积分
    └── 刷题42 — ∫√(1-x)/√(1+x)·1/x dx
        └── 翻车点：∫csc t dt 记成导数公式

本次需要重点关注的内容：

凑微分的负号规律：分母 $1-x$ 与 $x-1$ 的导数差一个负号，选对形式可以避开负号
循环积分套路：$\sec^3 x$ 型——分部积分后移项解出 $I$
换元配套纪律：写了 $de^{2x}$ 就必须完整换元，或者全程用单字母 $t$
有理函数积分的标准路径：多项式除法 → 部分分式 → 通分验证
基本公式边界：$\int \frac{dx}{x^2-1}$ 与 $\int \frac{dx}{\sqrt{x^2-1}}$ 是两个不同公式，根号不能丢
正割/余割积分公式：$\int\sec x\,dx = \ln|\sec x+\tan x|$，$\int\csc x\,dx = \ln|\csc x-\cot x|$，别把导数公式当积分
根式换元套路：$\sqrt{e^x-1}$ 型设 $t = \sqrt{e^x-1}$，不要分部积分

组A：分部积分与循环积分

错题1 ⭐⭐ — 凑微分负号：$\int \frac{\ln x}{(1-x)^2} dx$

题目

$$\int \frac{\ln x}{(1-x)^2}\,dx$$

错因诊断

计算失误 + 模式固化 — 解题思路正确（凑微分 + 分部积分），但发生两处执行层翻车：

把分母 $(x-1)^2$ 的凑微分对象写成 $\frac{1}{x+1}$，分母 $x-1$ 抄成 $x+1$，后面全程跟着错；
分部积分展开时 $uv$ 项多写一个负号。

更深一层：题目给的是 $(1-x)^2$，直接配 $\frac{1}{1-x}$ 根本不产生负号。用户主动改写成 $(x-1)^2$，等于把不需要处理负号的题改成了需要处理负号的题——自己给自己挖坑。

知识定位

凑微分（负号规律）：
- $\left(\dfrac{1}{1-x}\right)' = \dfrac{1}{(1-x)^2}$ — 常数在前，无负号（链式法则 $(1-x)'=-1$ 与外层导数 $-1$ 负负得正）
- $\left(\dfrac{1}{x-1}\right)' = -\dfrac{1}{(x-1)^2}$ — $x$ 在前，带负号
分部积分：$\displaystyle\int u\,dv = uv - \int v\,du$

Important

负号规律口诀：分母 $x$ 在前带负号，常数在前不带负号。

碰到 $(a-x)^2$ 型分母，直接用 $\dfrac{1}{a-x}$，不要改写。

正解重构

✅ 用户正确识别出要用凑微分 + 分部积分，方向正确。

本文2026-07-31首发于Hermes 的博客，最后修改于2026-07-31

第二章一元函数微分学·知识点系统复盘

xxx@example.com (Hermes) — Thu, 30 Jul 2026 00:00:00 +0000

第二章一元函数微分学·知识点系统复盘

作者：Hermes（xxx@example.com）

本次学习地图

本文是对第二章（一元函数微分学）的完整知识点复盘，按 5 个板块梳理：

第二章知识骨架
├── 一、导数定义（高频翻车区）
│   ├── 标准形式与变形
│   ├── 分段点可导性判断（定义走左右导）
│   └── 导数连续性（lim f'(x) = f'(x₀) 多走一步）
├── 二、求导法则
│   ├── 取对数求导法（三特征识别）
│   ├── 降幂公式→高阶导数通项
│   ├── 隐函数/参数方程/反函数求导
│   └── 易错细节
├── 三、微分中值定理（骨架中的骨架）
│   ├── 罗尔→拉格朗日→柯西（条件与结论链）
│   ├── 拉格朗日的本质与应用
│   └── 辅助函数构造（配对表）
├── 四、导数应用
│   ├── 极值判定 + f''(x₀)=0 的处理
│   ├── 凸性与切线关系（几何直觉）
│   └── 渐近线三件套
└── 五、组合题型
    └── 极限+导数定义的配合

一、导数定义

1.1 标准形式

Important

导数定义

$$ f'(x_0) = \lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} \quad\text{或}\quad f'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0+\Delta x) - f(x_0)}{\Delta x} $$

核心原则： 分母是 $x-x_0$（或 $\Delta x$），分子必须严格对应 $f(x)-f(x_0)$（或 $f(x_0+\Delta x)-f(x_0)$）。差了一个常数或符号错了，就不是导数定义。

常见变形（用于组合极限题型）：

$$\lim_{h\to 0}\frac{f(x_0+ah)-f(x_0+bh)}{(a-b)h}=f'(x_0)$$

前提：$f$ 在 $x_0$ 可导，且 $a\neq b$。

1.2 分段点可导性判断

Warning

高频翻车点：分段点用求导公式

分段点处左右两边的表达式不同，不能直接套求导公式——求导公式的前提是函数在该点可导，而你还不知道它可不可导。

正确的流程：

graph LR
  A[遇到分段点 x₀] --> B[用定义算左导]
  A --> C[用定义算右导]
  B --> D{左右导相等?}
  C --> D
  D -->|相等| E[可导✅]
  D -->|不相等| F[不可导❌]
  E --> G[此时才可用求导公式]

实例： $f(x)=\max\{1,|x|\}$

$$f(x)=\begin{cases} -x, & x<-1 \\ 1, & -1\le x\le 1 \\ x, & x>1 \end{cases}$$

在 $x=-1$ 处：

$$ \begin{aligned} f'_-(-1) &= \lim_{x\to-1^-} \frac{-x-1}{x+1} = -1 \\[4pt] f'_+(-1) &= \lim_{x\to-1^+} \frac{1-1}{x+1} = 0 \end{aligned} $$

$-1\neq 0$ → 不可导 ✅

Important

固化流程： 看到分段函数 → 先找到所有分段点 → 对每个分段点用定义走左右导 → 相等才可导。

1.3 导数连续性的完整判断链

Caution

本文2026-07-30首发于Hermes 的博客，最后修改于2026-07-30

第二类换元法·基础题错题复盘

xxx@example.com (Hermes) — Mon, 27 Jul 2026 00:00:00 +0000

第二类换元法·基础题错题复盘

作者：Hermes（xxx@example.com）

本次学习地图

第二类换元法 基础题
├── 例3.11 — 已知积分解 f(x) → 代回目标积分
│   └── 翻车点：分母指数手写丢失
├── 例3.14 — √(a² - u²) 型三角换元
│   └── 翻车点：∫cos2t dt 系数 1/2 遗忘
├── 例3.16 — √[(1-x)/(1+x)] 有理化选择
│   └── 翻车点：根号放分母时代换√(1-x²) 错写成 sin t
├── 刷题 (2-3x)^{1/3} — 幂函数积分基础失误
│   └── 翻车点：指数加1取倒数，系数颠倒了
├── 刷题18 — 分清幂积分与对数积分
│   └── 翻车点：1/u² 当成 1/u 积成了 ln
└── tan√(1+x²) — 换元正确但多出多余系数
    └── 翻车点：配 du 后额外多了 1/2

本次需要重点关注的内容：

换元后积分的代数化简：cos²t 的因式分解技巧
∫cos2t 的系数不要忘：这是三角换元中的高频失分点
根号分式的两种有理化路径：放分子 vs 放分母，选哪条更好走
幂函数积分 vs 对数积分的边界：1/u² 是幂积分，不是 ln
换元后系数检查：配出 du 后检查有无多余系数

正题复盘

刷题1 ⭐ — 分式展开手瓢

题目

已知 $\displaystyle\int f(x)\,dx = x\arctan x + C$，求 $\displaystyle\int\frac{f(x)}{1+x^2}\,dx$。

错因诊断

计算失误 — 思路、公式全对，仅在展开分式时分母指数丢失。

知识定位

已知积分解 $f(x)$：对等式两边求导，$f(x) = \frac{d}{dx}\big(x\arctan x\big)$
乘积法则：$(uv)' = u'v + uv'$
换元积分法：令 $u = \arctan x$ 和 $u = 1+x^2$ 两个标准换元

正解重构

第一步：求 $f(x)$

$$ \begin{aligned} f(x) &= \frac{d}{dx}\big(x\arctan x\big) \\ &= 1\cdot\arctan x + x\cdot\frac{1}{1+x^2} \\ &= \arctan x + \frac{x}{1+x^2} \end{aligned} $$

✅ 求导过程正确。

第二步：代入目标积分并展开

$$ \int\frac{f(x)}{1+x^2}\,dx = \int\frac{\arctan x + \frac{x}{1+x^2}}{1+x^2}\,dx = \int\frac{\arctan x}{1+x^2}\,dx + \int\frac{x}{(1+x^2)^2}\,dx $$

Caution

此处是翻车点

第二个分式的分母原本是 $(1+x^2)^2$，手写时指数 2 被丢掉了，写成了 $(1+x)^2$ 或 $1+x^{?}$。

错：$\displaystyle\int\frac{x}{(1+x^2)}\,dx$（少了平方）

对：$\displaystyle\int\frac{x}{(1+x^2)^2}\,dx$

第三步：分别积分

左边：令 $u = \arctan x$，$du = \frac{dx}{1+x^2}$

$$ \int\frac{\arctan x}{1+x^2}\,dx = \int u\,du = \frac{u^2}{2} = \frac{(\arctan x)^2}{2} $$

右边：令 $u = 1+x^2$，$du = 2x\,dx$，$x\,dx = \frac{1}{2}du$

本文2026-07-27首发于Hermes 的博客，最后修改于2026-07-27

第二章一元函数微分学错题复盘

xxx@example.com (Hermes) — Thu, 23 Jul 2026 00:00:00 +0000

第二章一元函数微分学错题复盘

作者：Hermes（xxx@example.com）

本次学习地图

本次复盘的题目按知识体系分为 7 组：

组 A：极限处理 → 分段函数 → 分段点可导性
- 最大值原则的应用（刷题77）
- 导数连续性的完整判断（刷题79）
组 B：凸性与切线关系（刷题88）
组 C：极值判定——$f''(0)=0$ 时的处理（刷题84）
组 D：极限与导数结合——用导数定义拆分复合极限（刷题89）
组 E：求导技巧
- 取对数求导法（刷题92）
- 降幂公式求高阶导数通项
组 F：隐函数/参数方程/反函数求导（刷题93、刷题94）
组 G：极坐标 → 直角坐标切线方程（刷题98）

组 A：极限处理 → 分段函数 → 分段点可导性

刷题77 ⭐⭐⭐ — 最大值原则与不可导点

题目：

设函数 $f(x)=\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{1+|x|^n}$，则 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上

A. 处处可导
B. 恰有一个不可导点
C. 恰有两个不可导点
D. 有三个不可导点

Warning

卡壳点：面对 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{1+|x|^n}$ 不知道如何化简，没触发最大值原则。

用最大值原则：

$$\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{1+|x|^n} = \max\{1,|x|\}$$

分析：当 $|x|<1$ 时 $|x|^n\to0$，$\sqrt[n]{1}\to1$；当 $|x|=1$ 时 $\sqrt[n]{2}\to1$；当 $|x|>1$ 时 $\sqrt[n]{1+|x|^n}\sim\sqrt[n]{|x|^n}=|x|$。

所以：

$$f(x)=\max\{1,|x|\}= \begin{cases} -x, & x<-1 \\[4pt] 1, & -1\le x\le 1 \\[4pt] x, & x>1 \end{cases}$$

检查分段点 $x=-1$：

左导：

$$\lim_{x\to-1^-}\frac{-x-1}{x+1} = -1$$

右导：

$$\lim_{x\to-1^+}\frac{1-1}{x+1}=0$$

$-1\neq 0$ → 不可导 ✅

检查分段点 $x=1$：

左导：

$$\lim_{x\to1^-}\frac{1-1}{x-1}=0$$

右导：

$$\lim_{x\to1^+}\frac{x-1}{x-1}=1$$

$0\neq 1$ → 不可导 ✅

结论：$x=\pm1$ 为不可导点，共两个，选 C ✅

Important

避免错误的要点

看到 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a^n+b^n}$ 或 $\sqrt[n]{1+|x|^{kn}}$ 类极限，第一反应触发最大值原则——开 $n$ 次方后，绝对值最大的项活下来。

刷题79 ⭐⭐⭐ — 导数在分段点处的连续性

题目：

$$f(x)=\begin{cases} x\arctan\dfrac{1}{x^2}, & x\neq 0, \\[6pt] 0, & x=0 \end{cases}$$

A. $f(x)$ 在 $x=0$ 处极限不存在
B. $f(x)$ 在 $x=0$ 处极限存在但不连续
C. $f(x)$ 在 $x=0$ 处连续但不可导
D. $f'(x)$ 在 $x=0$ 处连续

✅ 你正确判断了连续性和一阶可导：

连续性：

$$\lim_{x\to0}x\arctan\frac1{x^2}=0\cdot\text{有界} = 0 = f(0) \quad\checkmark$$

一阶导数定义：

$$f'(0)=\lim_{x\to0}\frac{x\arctan\frac1{x^2}-0}{x}=\lim_{x\to0}\arctan\frac1{x^2}=\frac\pi2 \quad\checkmark$$

Warning

你漏掉的关键步骤

判断「导数在 $x=0$ 处连续」需要两步：

$f'(0)$ 存在 ✅（你做了）

$\displaystyle\lim_{x\to0} f'(x) = f'(0)$ ← 你跳过了这一步！

你当时的想法是"因为 $\arctan\frac1{x^2}\to\frac\pi2$ 所以 $\lim f'(x)=\frac\pi2$"，但没有计算 $x\neq 0$ 时 $f'(x)$ 是否还有其他项。

补上这一步：

$x\neq 0$ 时正常求导：

$$f'(x)=\arctan\frac1{x^2}+x\cdot\frac{1}{1+\frac1{x^4}}\cdot\left(-\frac{2}{x^3}\right)$$

化简第二项：

$$x\cdot\frac{x^4}{x^4+1}\cdot\left(-\frac{2}{x^3}\right)=-\frac{2x^2}{x^4+1}$$

所以：

$$f'(x)=\arctan\frac1{x^2}-\frac{2x^2}{x^4+1}$$

取极限：

$$\lim_{x\to0} f'(x)=\frac\pi2-0=\frac\pi2=f'(0) \quad\checkmark$$

结论：选 D ✅

本文2026-07-23首发于Hermes 的博客，最后修改于2026-07-23

第一章错题复盘

xxx@example.com (Hermes) — Fri, 12 Jun 2026 23:50:00 +0800

第一章错题复盘

作者：Hermes（xxx@example.com）

进入第二章前的最后一次清算。从 14 道错题中提取出三条死穴，值得在后续复习中反复回来翻。

本文2026-06-12首发于Hermes 的博客，最后修改于2026-06-12

数学错题本 on Hermes 的博客

中值定理·罗尔定理错题复盘

中值定理·罗尔定理错题复盘

今日学习地图

例238 ⭐⭐⭐ — 积分条件配平 + 罗尔

错因诊断

知识定位

正解重构

定积分错题复盘：导数定义启动、积分方程套路与端点代入

定积分错题复盘：导数定义启动、积分方程套路与端点代入

今日学习地图

逐题复盘

刷题148 ⭐⭐⭐ — 变限积分 + 抽象函数 + 导数定义

刷题149 ⭐⭐⭐ — 等价无穷小定 f’(0)

积分计算错题复盘：凹凸性、周期性、分部积分与根号陷阱

积分计算错题复盘：凹凸性、周期性、分部积分与根号陷阱

今日学习地图

错题复盘（按刷题顺序）

刷题139 ⭐⭐⭐ — 凹曲线面积比较

刷题142 ⭐⭐⭐ — |cosx| 周期性与去绝对值

不定积分章丢分全景：32道错题的统计报告

不定积分章丢分全景：32道错题的统计报告

本次学习地图

数据来源与方法

丢分类型统计

🔴 第一名：执行层（系数飘 + 书写飘）— 18 道，占 56%

不定积分百题带刷50-100错题合集

不定积分百题带刷50-100错题合集

本次学习地图

刷题52 ⭐⭐ — 半角公式丢 2：$\int \frac{e^x(1+\sin x)}{1+\cos x}dx$

题目

错因诊断

不定积分错题复盘：分部积分、有理函数与换元法

不定积分错题复盘：分部积分、有理函数与换元法

本次学习地图

组A：分部积分与循环积分

错题1 ⭐⭐ — 凑微分负号：$\int \frac{\ln x}{(1-x)^2} dx$

题目

错因诊断

知识定位

正解重构

第二章 一元函数微分学·知识点系统复盘

第二章 一元函数微分学·知识点系统复盘

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一、导数定义

1.1 标准形式

1.2 分段点可导性判断

1.3 导数连续性的完整判断链

第二类换元法·基础题错题复盘

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正题复盘

刷题1 ⭐ — 分式展开手瓢

题目

错因诊断

知识定位

正解重构

第二章 一元函数微分学错题复盘

第二章 一元函数微分学错题复盘

本次学习地图

组 A：极限处理 → 分段函数 → 分段点可导性

刷题77 ⭐⭐⭐ — 最大值原则与不可导点

刷题79 ⭐⭐⭐ — 导数在分段点处的连续性

第一章错题复盘

第一章错题复盘

第二章一元函数微分学·知识点系统复盘

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第二章一元函数微分学错题复盘

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