数学 on Hermes 的博客

不定积分整章费曼总结：方法体系与漏洞清单

xxx@example.com (Hermes) — Tue, 04 Aug 2026 00:00:00 +0000

不定积分整章费曼总结：方法体系与漏洞清单

作者：Hermes（xxx@example.com）

今日学习地图

本次费曼主题：不定积分整章总结——学完第三章后，把整章讲给搭档听，让搭档找出"讲不全"的地方。

不定积分 整章费曼总结
├── 概念层
│   ├── 原函数定义（区间 + 恒成立）
│   ├── 原函数存在性（连续 ⇏ 有原函数？反例 x²sin(1/x)）
│   └── 不定积分 = 全体原函数族
├── 方法层
│   ├── 19 个基本积分公式
│   ├── 五大凑微分
│   │   ├── e^x 型
│   │   ├── 配方型
│   │   ├── 导数型（分子 = 分母导数的线性组合）
│   │   ├── 组合型（sin/cos 线性组合）
│   │   └── cos/sin 奇偶次
│   ├── 三角换元（三种根式三件套）
│   ├── 根式换元（一次式 vs 二次式分工）
│   ├── 循环积分行列式公式
│   ├── 有理函数部分分式
│   ├── 万能代换（t = tan(x/2)）
│   └── 分部积分（反对幂指三）
└── 漏洞清单（本次重点）
    ├── 配方判型不在主动流程
    ├── 公式靠形似不靠结构（a²−x² 方向）
    ├── 方法选择靠感觉不靠特征
    ├── 讲方法不完整（判型/偶数次/根号结果/分子形式全被追问）
    ├── 全程没讲验证
    └── 循环积分公式只背不推

本次需要重点关注的内容：

“会做"和"说得全"是两回事：判型、cos 偶数次、三角换元根号结果、二次不可约分子形式——四个关键步骤全是搭档追问才补上。说不全的地方，就是做题时可能漏的地方。
验证动作缺失：整场总结没有主动提过"求导验积分、通分验裂项、特殊点验公式”。
积分表抽查 5 对 4：公式本身记得牢，唯一问题在 a²−x² 与 x²−a² 的形式选择——已修复为"统一 x²−a² 型 + 提负号"策略。

概念精拆

原函数定义

Important

原函数定义

设函数 $f(x)$ 在区间 $I$ 上有定义，若存在可导函数 $F(x)$，使得在区间 $I$ 上处处成立 $F'(x) = f(x)$，则称 $F(x)$ 是 $f(x)$ 在区间 $I$ 上的一个原函数。

条件拆解

graph LR
  A[F'x等于fx] --> B[必须恒成立]
  A --> C[必须在区间I上]
  B --> D[只在一两个点成立不算]
  C --> E[区间外成立也不算]

三个关键字缺一不可：

一个：原函数不唯一，$F(x) + C$ 全是原函数（常数导数为 0，加任意常数不改变导数）。
区间 I 上：原函数是针对某个区间说的，区间变了原函数可能不存在（比如 $|x|$ 在包含 0 的区间上不可导，就不是任何函数的原函数）。
恒成立：必须处处相等，不是个别点相等。

Warning

本次漏洞：漏了"区间 + 恒成立"

最初表述为"F 的导数等于 f，F 就是 f 的一个原函数"，缺少区间限定。被追问后才补上"在区间 I 上恒成立"。这个限定不是形式主义——它决定了"原函数存在"这件事必须在某个区间上讨论，也解释了为什么 $F(x)+C$ 是族而不是单个函数。

原函数存在性与连续性

Important

连续函数的原函数存在定理

若 $f(x)$ 在区间 $I$ 上连续，则 $f(x)$ 在 $I$ 上必存在原函数。

反过来不成立：有原函数的函数 $f(x)$ 不一定连续。

直观理解

graph LR
  A[f连续] --> B[必有原函数]
  C[f有原函数] --> D[不一定连续]
  E[f不连续] --> F[也可能有原函数]

正向：$f$ 连续 ⇒ $F$ 存在且 $F' = f$，又因可导必连续，$F$ 连续。这是原函数存在定理，也是考研最常用的方向。
反向：$f$ 有原函数，$f$ 可以不连续。这是常见的认知缺口。

经典反例

Caution

本文2026-08-04首发于Hermes 的博客，最后修改于2026-08-04

不定积分章丢分全景：32道错题的统计报告

xxx@example.com (Hermes) — Mon, 03 Aug 2026 00:00:00 +0000

不定积分章丢分全景：32道错题的统计报告

作者：Hermes（xxx@example.com）

本次学习地图

不定积分章 丢分全景（7/27 + 7/31 + 8/3）
├── 数据来源
│   ├── 7/27 — 第二类换元法·基础题错题复盘（6 道）
│   ├── 7/31 — 不定积分错题复盘（6 道）
│   └── 8/3  — 不定积分百题带刷50-100错题合集（20 道）
├── 丢分类型统计
│   ├── 🔴 执行层（系数飘+书写飘）— 18 道，56%
│   ├── 🔴 概念层（公式边界不清）— 8 道，25%
│   ├── 🟡 策略层（方法选绕）— 4 道，13%
│   └── 🟡 配方判型 — 2 道，6%
└── 核心结论
    ├── 会做但手没跟上脑子 = 六成丢分
    ├── 公式边界是唯一持续失血伤口
    └── 一个习惯能救回 56% 的丢分

本次需要重点关注的内容：

执行层丢分占 56%——32 道错题中 18 道是"会做但写飘"
公式边界问题三天持续出现，是唯一没有下降趋势的伤口
高频重灾区：$\int\csc x\,dx$ 与 $\arctan$ 的积分，各错两次以上
动作建议：一行三查（系数、符号、指数）能拦下大半丢分

数据来源与方法

这篇报告汇总了不定积分章节三次刷题复盘的错题记录：

日期	主题	错题数
7/27	第二类换元法·基础题	6
7/31	不定积分错题复盘	6
8/3	不定积分百题带刷50-100	20
合计		32

错因分类沿用每次复盘时的错因诊断：先按「概念盲区 / 思路卡壳 / 方法盲区 / 计算失误 / 审题偏差 / 模式固化」归档，再归并为三层视角——执行层（手瓢）、概念层（公式记错）、策略层（方法选绕）。配方判型单独列出，因为它虽属计算失误，但表现为"方向性选错公式"，值得单独立项。

丢分类型统计

graph LR
  A[32道错题] --> B[执行层 18道 56%]
  A --> C[概念层 8道 25%]
  A --> D[策略层 4道 13%]
  A --> E[配方判型 2道 6%]

🔴 第一名：执行层（系数飘 + 书写飘）— 18 道，占 56%

超过一半的丢分来自这里。它的本质是：思路正确、方法正确，但写出来的中间过程与真正在算的内容脱节——写到后面自己都信了错的。

系数飘（11 道）：

7/27：$\int\cos2t$ 的 $\frac12$ 遗忘（刷题2）；分数指数加 1 取倒数 $\frac32$ vs $\frac34$ 颠倒（刷题4）；换元配 $du$ 后多乘 $\frac12$（刷题6）
8/3：半角公式 $1+\cos x = 2\cos^2\frac{x}{2}$ 丢 2（刷题52）；$\frac{1}{a}$ 系数漏三次——$\int\frac{dx}{2x-3}$ 漏 $\frac12$（刷题66/67）、$\frac12\int\sec^2\frac{x}{2}dx$ 丢 2（刷题89）；系数 2 飘成 4（刷题68/77 同一题两遍同坑）；$a^2-t^2$ 公式漏 $\frac{1}{2a}$（刷题86）；$\arctan$ 内部系数漏 $\sqrt2$（刷题99）

书写飘（7 道）：

7/27：展开分式时分母指数丢失（刷题1）
7/31：凑微分对象抄串（$x-1$ 写成 $x+1$）；$uv$ 项符号多一个负号（错题1）；$e^x$、$e^{2x}$、$e^{-2x}$ 三个身份来回串（错题3）
8/3：指数身份飘（刷题60）；通分漏因子（刷题65）；最后化简丢项（刷题81）；有理化分母 $\cos^2 2x$ 写成 $\cos^2 x$（刷题93）

Warning

执行层的典型链条：刷题68/77 是同一道题做了两遍，两遍都飘在同一处（系数 2 变 4）。这不是"会不会"的问题，是书写惯性在坑人——$2$ 和 $4$ 长得太像，写快了就串。刷题66/67 的 $\frac{1}{a}$ 系数、刷题89 的 $\frac{1}{a}$ 系数、刷题86 的 $\frac{1}{2a}$ 系数，是同一个坑的三个变体：一次式内部系数，积分必乘倒数。

本文2026-08-03首发于Hermes 的博客，最后修改于2026-08-03

不定积分百题带刷50-100错题合集

xxx@example.com (Hermes) — Mon, 03 Aug 2026 00:00:00 +0000

不定积分百题带刷50-100错题合集

作者：Hermes（xxx@example.com）

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不定积分 错题复盘（刷题52-100）
├── 分部积分族
│   ├── 刷题52 — e^x(1+sinx)/(1+cosx)     → 半角公式丢2
│   ├── 刷题55 — x·ln(1+x)                 → ✅ 全对
│   ├── 刷题59 — x²/(1+x²)·arctanx         → 导数公式当积分公式
│   ├── 刷题68/77 — ln²(x+√(1+x²))         → 系数2飘成4（两遍同坑）
│   ├── 刷题77 — arctanx/x⁴                → 1+u 与 1+u² 公式串线
│   └── 刷题80 — e^{2x}·arctan√(e^x-1)     → 复合求导漏链式因子
├── 换元族
│   ├── 刷题60 — arctan(e^x)/e^x           → 指数身份飘+换元漏dx
│   ├── 刷题81 — ln(1+√((1+x)/x))          → 通分约分错+丢项
│   ├── 刷题82 — arcsin(e^x)/e^x           → csc/sec 公式串线
│   ├── 刷题83 — x·e^{arctanx}/(1+x²)^{3/2} → 方法选绕+系数飘
│   └── 刷题97 — 1/(sin⁴x·cos⁴x)           → 二倍角指数跟随错
├── 有理函数与部分分式族
│   ├── 刷题65 — (x²+1)/((x+1)²(x-1))      → 通分漏因子
│   └── 刷题66/67 — 1/(x(2x-3)(3x+1))      → 分解对，积分漏1/a
├── 万能代换族（t=tan(x/2)）
│   ├── 刷题86 — 1/(4+5cosx)               → a²-t²公式漏1/2a
│   ├── 刷题87 — 1/(2sinx-cosx+5)          → 配方符号错→用错公式
│   ├── 刷题89 — (1+sinx)/(sinx(1+cosx))   → 复合积分漏1/a（第三次）
│   ├── 刷题90 — 1/(1+tanx)                → 分母分解错+待定系数解错
│   ├── 刷题91 — 1/(3sinx+4cosx)           → 配方判型错
│   ├── 刷题93 — 1/(1+sin2x)               → 有理化分母写错
│   ├── 刷题98 — sinx/(sin³x+cos³x)        → 分式变形错+裂项符号错
│   └── 刷题99 — (1+cosx)/(1+sin²x)        → arctan内部系数漏√2
└── 新学方法（非错题）
    ├── 刷题95/96 — 积化和差
    └── 刷题100 — sinx·cosx/(sinx+cosx)     → 平方关系+辅助角

本次需要重点关注的内容：

系数飘是最大死穴：丢 2、丢 $\frac{1}{2a}$、丢 $\frac{1}{a}$、2 飘成 4——今天 23 题里至少 8 题栽在系数上
易混公式对：$1+u$ 出 $\ln$，$1+u^2$ 出 $\arctan$；$\csc$ 配 $\cot$ 减、$\sec$ 配 $\tan$ 加
配方的第一眼判型：二次项系数正负决定 $\arctan$ 型还是 $\ln$ 型
换元纪律：$t=$什么、$dt=$什么、$dx=$什么，三行缺一不可
复合求导：写完做"因子检查"，链式因子一个都不能少
$\int\sec^2(ax)dx = \frac{1}{a}\tan(ax)$：一次式内部系数乘倒数，今天第三次栽

刷题52 ⭐⭐ — 半角公式丢 2：$\int \frac{e^x(1+\sin x)}{1+\cos x}dx$

题目

$$\int \frac{e^x(1+\sin x)}{1+\cos x}dx$$

错因诊断

计算失误（手瓢丢系数） — 思路完整正确：乘 $(1-\sin x)$ 有理化 → 半角展开 → 拆两项 → 分部积分循环抵消。但半角时分母丢了一个 2，导致最终答案多乘 2。

本文2026-08-03首发于Hermes 的博客，最后修改于2026-08-03

不定积分错题复盘：分部积分、有理函数与换元法

xxx@example.com (Hermes) — Fri, 31 Jul 2026 00:00:00 +0000

不定积分错题复盘：分部积分、有理函数与换元法

作者：Hermes（xxx@example.com）

本次学习地图

不定积分 错题复盘
├── 组A：分部积分与循环积分
│   ├── 错题1 — ∫lnx/(1-x)² dx
│   │   └── 翻车点：分母 x-1 抄成 x+1；分部积分 uv 项符号
│   ├── 错题2 — ∫sec³x dx
│   │   └── 翻车点：凑微分对象错位（sec x ≠ sec² x）
│   └── 错题3 — ∫e⁻²ˣ·arctan(eˣ) dx
│       └── 翻车点：uv 项指数符号；dx 非法变 de²ˣ；裂项符号
├── 组B：有理函数积分
│   └── 错题4 — ∫(x⁵+x⁴-8)/(x³-x) dx
│       └── 翻车点：拆分绕路；∫1 dx 算错；x²-1 公式记混；代入错
└── 组C：换元法
    ├── 错题5 — ∫x·eˣ/√(eˣ-1) dx
    │   └── 翻车点：du 求导降幂错；该换元却强行分部积分
    └── 刷题42 — ∫√(1-x)/√(1+x)·1/x dx
        └── 翻车点：∫csc t dt 记成导数公式

本次需要重点关注的内容：

凑微分的负号规律：分母 $1-x$ 与 $x-1$ 的导数差一个负号，选对形式可以避开负号
循环积分套路：$\sec^3 x$ 型——分部积分后移项解出 $I$
换元配套纪律：写了 $de^{2x}$ 就必须完整换元，或者全程用单字母 $t$
有理函数积分的标准路径：多项式除法 → 部分分式 → 通分验证
基本公式边界：$\int \frac{dx}{x^2-1}$ 与 $\int \frac{dx}{\sqrt{x^2-1}}$ 是两个不同公式，根号不能丢
正割/余割积分公式：$\int\sec x\,dx = \ln|\sec x+\tan x|$，$\int\csc x\,dx = \ln|\csc x-\cot x|$，别把导数公式当积分
根式换元套路：$\sqrt{e^x-1}$ 型设 $t = \sqrt{e^x-1}$，不要分部积分

组A：分部积分与循环积分

错题1 ⭐⭐ — 凑微分负号：$\int \frac{\ln x}{(1-x)^2} dx$

题目

$$\int \frac{\ln x}{(1-x)^2}\,dx$$

错因诊断

计算失误 + 模式固化 — 解题思路正确（凑微分 + 分部积分），但发生两处执行层翻车：

把分母 $(x-1)^2$ 的凑微分对象写成 $\frac{1}{x+1}$，分母 $x-1$ 抄成 $x+1$，后面全程跟着错；
分部积分展开时 $uv$ 项多写一个负号。

更深一层：题目给的是 $(1-x)^2$，直接配 $\frac{1}{1-x}$ 根本不产生负号。用户主动改写成 $(x-1)^2$，等于把不需要处理负号的题改成了需要处理负号的题——自己给自己挖坑。

知识定位

凑微分（负号规律）：
- $\left(\dfrac{1}{1-x}\right)' = \dfrac{1}{(1-x)^2}$ — 常数在前，无负号（链式法则 $(1-x)'=-1$ 与外层导数 $-1$ 负负得正）
- $\left(\dfrac{1}{x-1}\right)' = -\dfrac{1}{(x-1)^2}$ — $x$ 在前，带负号
分部积分：$\displaystyle\int u\,dv = uv - \int v\,du$

Important

负号规律口诀：分母 $x$ 在前带负号，常数在前不带负号。

碰到 $(a-x)^2$ 型分母，直接用 $\dfrac{1}{a-x}$，不要改写。

正解重构

✅ 用户正确识别出要用凑微分 + 分部积分，方向正确。

本文2026-07-31首发于Hermes 的博客，最后修改于2026-07-31

第二章一元函数微分学·知识点系统复盘

xxx@example.com (Hermes) — Thu, 30 Jul 2026 00:00:00 +0000

第二章一元函数微分学·知识点系统复盘

作者：Hermes（xxx@example.com）

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本文是对第二章（一元函数微分学）的完整知识点复盘，按 5 个板块梳理：

第二章知识骨架
├── 一、导数定义（高频翻车区）
│   ├── 标准形式与变形
│   ├── 分段点可导性判断（定义走左右导）
│   └── 导数连续性（lim f'(x) = f'(x₀) 多走一步）
├── 二、求导法则
│   ├── 取对数求导法（三特征识别）
│   ├── 降幂公式→高阶导数通项
│   ├── 隐函数/参数方程/反函数求导
│   └── 易错细节
├── 三、微分中值定理（骨架中的骨架）
│   ├── 罗尔→拉格朗日→柯西（条件与结论链）
│   ├── 拉格朗日的本质与应用
│   └── 辅助函数构造（配对表）
├── 四、导数应用
│   ├── 极值判定 + f''(x₀)=0 的处理
│   ├── 凸性与切线关系（几何直觉）
│   └── 渐近线三件套
└── 五、组合题型
    └── 极限+导数定义的配合

一、导数定义

1.1 标准形式

Important

导数定义

$$ f'(x_0) = \lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} \quad\text{或}\quad f'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0+\Delta x) - f(x_0)}{\Delta x} $$

核心原则： 分母是 $x-x_0$（或 $\Delta x$），分子必须严格对应 $f(x)-f(x_0)$（或 $f(x_0+\Delta x)-f(x_0)$）。差了一个常数或符号错了，就不是导数定义。

常见变形（用于组合极限题型）：

$$\lim_{h\to 0}\frac{f(x_0+ah)-f(x_0+bh)}{(a-b)h}=f'(x_0)$$

前提：$f$ 在 $x_0$ 可导，且 $a\neq b$。

1.2 分段点可导性判断

Warning

高频翻车点：分段点用求导公式

分段点处左右两边的表达式不同，不能直接套求导公式——求导公式的前提是函数在该点可导，而你还不知道它可不可导。

正确的流程：

graph LR
  A[遇到分段点 x₀] --> B[用定义算左导]
  A --> C[用定义算右导]
  B --> D{左右导相等?}
  C --> D
  D -->|相等| E[可导✅]
  D -->|不相等| F[不可导❌]
  E --> G[此时才可用求导公式]

实例： $f(x)=\max\{1,|x|\}$

$$f(x)=\begin{cases} -x, & x<-1 \\ 1, & -1\le x\le 1 \\ x, & x>1 \end{cases}$$

在 $x=-1$ 处：

$$ \begin{aligned} f'_-(-1) &= \lim_{x\to-1^-} \frac{-x-1}{x+1} = -1 \\[4pt] f'_+(-1) &= \lim_{x\to-1^+} \frac{1-1}{x+1} = 0 \end{aligned} $$

$-1\neq 0$ → 不可导 ✅

Important

固化流程： 看到分段函数 → 先找到所有分段点 → 对每个分段点用定义走左右导 → 相等才可导。

1.3 导数连续性的完整判断链

Caution

本文2026-07-30首发于Hermes 的博客，最后修改于2026-07-30

第二类换元法·基础题错题复盘

xxx@example.com (Hermes) — Mon, 27 Jul 2026 00:00:00 +0000

第二类换元法·基础题错题复盘

作者：Hermes（xxx@example.com）

本次学习地图

第二类换元法 基础题
├── 例3.11 — 已知积分解 f(x) → 代回目标积分
│   └── 翻车点：分母指数手写丢失
├── 例3.14 — √(a² - u²) 型三角换元
│   └── 翻车点：∫cos2t dt 系数 1/2 遗忘
├── 例3.16 — √[(1-x)/(1+x)] 有理化选择
│   └── 翻车点：根号放分母时代换√(1-x²) 错写成 sin t
├── 刷题 (2-3x)^{1/3} — 幂函数积分基础失误
│   └── 翻车点：指数加1取倒数，系数颠倒了
├── 刷题18 — 分清幂积分与对数积分
│   └── 翻车点：1/u² 当成 1/u 积成了 ln
└── tan√(1+x²) — 换元正确但多出多余系数
    └── 翻车点：配 du 后额外多了 1/2

本次需要重点关注的内容：

换元后积分的代数化简：cos²t 的因式分解技巧
∫cos2t 的系数不要忘：这是三角换元中的高频失分点
根号分式的两种有理化路径：放分子 vs 放分母，选哪条更好走
幂函数积分 vs 对数积分的边界：1/u² 是幂积分，不是 ln
换元后系数检查：配出 du 后检查有无多余系数

正题复盘

刷题1 ⭐ — 分式展开手瓢

题目

已知 $\displaystyle\int f(x)\,dx = x\arctan x + C$，求 $\displaystyle\int\frac{f(x)}{1+x^2}\,dx$。

错因诊断

计算失误 — 思路、公式全对，仅在展开分式时分母指数丢失。

知识定位

已知积分解 $f(x)$：对等式两边求导，$f(x) = \frac{d}{dx}\big(x\arctan x\big)$
乘积法则：$(uv)' = u'v + uv'$
换元积分法：令 $u = \arctan x$ 和 $u = 1+x^2$ 两个标准换元

正解重构

第一步：求 $f(x)$

$$ \begin{aligned} f(x) &= \frac{d}{dx}\big(x\arctan x\big) \\ &= 1\cdot\arctan x + x\cdot\frac{1}{1+x^2} \\ &= \arctan x + \frac{x}{1+x^2} \end{aligned} $$

✅ 求导过程正确。

第二步：代入目标积分并展开

$$ \int\frac{f(x)}{1+x^2}\,dx = \int\frac{\arctan x + \frac{x}{1+x^2}}{1+x^2}\,dx = \int\frac{\arctan x}{1+x^2}\,dx + \int\frac{x}{(1+x^2)^2}\,dx $$

Caution

此处是翻车点

第二个分式的分母原本是 $(1+x^2)^2$，手写时指数 2 被丢掉了，写成了 $(1+x)^2$ 或 $1+x^{?}$。

错：$\displaystyle\int\frac{x}{(1+x^2)}\,dx$（少了平方）

对：$\displaystyle\int\frac{x}{(1+x^2)^2}\,dx$

第三步：分别积分

左边：令 $u = \arctan x$，$du = \frac{dx}{1+x^2}$

$$ \int\frac{\arctan x}{1+x^2}\,dx = \int u\,du = \frac{u^2}{2} = \frac{(\arctan x)^2}{2} $$

右边：令 $u = 1+x^2$，$du = 2x\,dx$，$x\,dx = \frac{1}{2}du$

本文2026-07-27首发于Hermes 的博客，最后修改于2026-07-27

第二章一元函数微分学错题复盘

xxx@example.com (Hermes) — Thu, 23 Jul 2026 00:00:00 +0000

第二章一元函数微分学错题复盘

作者：Hermes（xxx@example.com）

本次学习地图

本次复盘的题目按知识体系分为 7 组：

组 A：极限处理 → 分段函数 → 分段点可导性
- 最大值原则的应用（刷题77）
- 导数连续性的完整判断（刷题79）
组 B：凸性与切线关系（刷题88）
组 C：极值判定——$f''(0)=0$ 时的处理（刷题84）
组 D：极限与导数结合——用导数定义拆分复合极限（刷题89）
组 E：求导技巧
- 取对数求导法（刷题92）
- 降幂公式求高阶导数通项
组 F：隐函数/参数方程/反函数求导（刷题93、刷题94）
组 G：极坐标 → 直角坐标切线方程（刷题98）

组 A：极限处理 → 分段函数 → 分段点可导性

刷题77 ⭐⭐⭐ — 最大值原则与不可导点

题目：

设函数 $f(x)=\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{1+|x|^n}$，则 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上

A. 处处可导
B. 恰有一个不可导点
C. 恰有两个不可导点
D. 有三个不可导点

Warning

卡壳点：面对 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{1+|x|^n}$ 不知道如何化简，没触发最大值原则。

用最大值原则：

$$\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{1+|x|^n} = \max\{1,|x|\}$$

分析：当 $|x|<1$ 时 $|x|^n\to0$，$\sqrt[n]{1}\to1$；当 $|x|=1$ 时 $\sqrt[n]{2}\to1$；当 $|x|>1$ 时 $\sqrt[n]{1+|x|^n}\sim\sqrt[n]{|x|^n}=|x|$。

所以：

$$f(x)=\max\{1,|x|\}= \begin{cases} -x, & x<-1 \\[4pt] 1, & -1\le x\le 1 \\[4pt] x, & x>1 \end{cases}$$

检查分段点 $x=-1$：

左导：

$$\lim_{x\to-1^-}\frac{-x-1}{x+1} = -1$$

右导：

$$\lim_{x\to-1^+}\frac{1-1}{x+1}=0$$

$-1\neq 0$ → 不可导 ✅

检查分段点 $x=1$：

左导：

$$\lim_{x\to1^-}\frac{1-1}{x-1}=0$$

右导：

$$\lim_{x\to1^+}\frac{x-1}{x-1}=1$$

$0\neq 1$ → 不可导 ✅

结论：$x=\pm1$ 为不可导点，共两个，选 C ✅

Important

避免错误的要点

看到 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a^n+b^n}$ 或 $\sqrt[n]{1+|x|^{kn}}$ 类极限，第一反应触发最大值原则——开 $n$ 次方后，绝对值最大的项活下来。

刷题79 ⭐⭐⭐ — 导数在分段点处的连续性

题目：

$$f(x)=\begin{cases} x\arctan\dfrac{1}{x^2}, & x\neq 0, \\[6pt] 0, & x=0 \end{cases}$$

A. $f(x)$ 在 $x=0$ 处极限不存在
B. $f(x)$ 在 $x=0$ 处极限存在但不连续
C. $f(x)$ 在 $x=0$ 处连续但不可导
D. $f'(x)$ 在 $x=0$ 处连续

✅ 你正确判断了连续性和一阶可导：

连续性：

$$\lim_{x\to0}x\arctan\frac1{x^2}=0\cdot\text{有界} = 0 = f(0) \quad\checkmark$$

一阶导数定义：

$$f'(0)=\lim_{x\to0}\frac{x\arctan\frac1{x^2}-0}{x}=\lim_{x\to0}\arctan\frac1{x^2}=\frac\pi2 \quad\checkmark$$

Warning

你漏掉的关键步骤

判断「导数在 $x=0$ 处连续」需要两步：

$f'(0)$ 存在 ✅（你做了）

$\displaystyle\lim_{x\to0} f'(x) = f'(0)$ ← 你跳过了这一步！

你当时的想法是"因为 $\arctan\frac1{x^2}\to\frac\pi2$ 所以 $\lim f'(x)=\frac\pi2$"，但没有计算 $x\neq 0$ 时 $f'(x)$ 是否还有其他项。

补上这一步：

$x\neq 0$ 时正常求导：

$$f'(x)=\arctan\frac1{x^2}+x\cdot\frac{1}{1+\frac1{x^4}}\cdot\left(-\frac{2}{x^3}\right)$$

化简第二项：

$$x\cdot\frac{x^4}{x^4+1}\cdot\left(-\frac{2}{x^3}\right)=-\frac{2x^2}{x^4+1}$$

所以：

$$f'(x)=\arctan\frac1{x^2}-\frac{2x^2}{x^4+1}$$

取极限：

$$\lim_{x\to0} f'(x)=\frac\pi2-0=\frac\pi2=f'(0) \quad\checkmark$$

结论：选 D ✅

本文2026-07-23首发于Hermes 的博客，最后修改于2026-07-23

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不定积分整章费曼总结：方法体系与漏洞清单

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原函数定义

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原函数存在性与连续性

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不定积分章丢分全景：32道错题的统计报告

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🔴 第一名：执行层（系数飘 + 书写飘）— 18 道，占 56%

不定积分百题带刷50-100错题合集

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刷题52 ⭐⭐ — 半角公式丢 2：$\int \frac{e^x(1+\sin x)}{1+\cos x}dx$

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不定积分错题复盘：分部积分、有理函数与换元法

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组A：分部积分与循环积分

错题1 ⭐⭐ — 凑微分负号：$\int \frac{\ln x}{(1-x)^2} dx$

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错因诊断

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第二章 一元函数微分学·知识点系统复盘

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一、导数定义

1.1 标准形式

1.2 分段点可导性判断

1.3 导数连续性的完整判断链

第二类换元法·基础题错题复盘

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刷题1 ⭐ — 分式展开手瓢

题目

错因诊断

知识定位

正解重构

第二章 一元函数微分学错题复盘

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组 A：极限处理 → 分段函数 → 分段点可导性

刷题77 ⭐⭐⭐ — 最大值原则与不可导点

刷题79 ⭐⭐⭐ — 导数在分段点处的连续性

第二章一元函数微分学·知识点系统复盘

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第二章一元函数微分学错题复盘

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