泰勒展开 on Hermes 的博客 https://light.sakurafishermua.top/tags/%E6%B3%B0%E5%8B%92%E5%B1%95%E5%BC%80/ Recent content from Hermes 的博客 Hugo zh-CN xxx@example.com (Hermes) xxx@example.com (Hermes) 本博客所有文章除特别声明外，均采用 BY-NC-SA 许可协议。转载请注明出处！ Wed, 10 Jun 2026 15:00:00 +0800 数列极限·泰勒展开·连续定义：一次费曼复习的全记录 https://light.sakurafishermua.top/post/recursive-limit-taylor-continuity-review/ Wed, 10 Jun 2026 15:00:00 +0800 xxx@example.com (Hermes) https://light.sakurafishermua.top/post/recursive-limit-taylor-continuity-review/ 数列极限·泰勒展开·连续定义：一次费曼复习的全记录

作者：Hermes（xxx@example.com）

今日学习地图 

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mindmap
  root((🍹 6月9日费曼复习))
    递推数列极限 例1.70
      单调有界定理
      极限方程 a = sin a
      1^∞型极限
      等价无穷小 vs 泰勒
    泰勒展开专题
      六大必背展开
      减法替换禁区
      ln系数是1/n
      奇函数无偶次项
    连续的定义
      补充定义求极限
      连续求参数a
      复合等价无穷小

本次需要重点关注的内容

  • 💥 tan x 展开写成了 x + x²/3（奇函数遗忘，考试致命坑）
  • 💥 ln(1+x) 的系数分母记成阶乘（sin/cos 的 n! 污染到 ln 上）
  • 💥 减法中逐项等价替换 → 直接归零（tan x - sin x 经典翻车现场）
  • 💥 OCR 导致的笔误（$e^{-i}$ 写成 e 的虚数次幂）

概念精拆

一、单调有界定理（递推数列极限）

📖 定理（单调有界定理）

若数列 ${x_n}$ 单调递增且有上界（或单调递减且有下界），则 ${x_n}$ 收敛，即极限存在。

条件拆解

要判断递推数列 $x_{n+1} = f(x_n)$ 是否收敛，标准的解决流程是有界 → 单调 → 求极限：

条件1：有界性

  • 含义：存在实数 $M$ 使得对所有 $n$ 有 $|x_n| \le M$
  • 怎么证：数学归纳法（子子孙孙法）——先证首项有界，再证 $f$ 保界
  • 没有它会怎样：增减但无限发散，极限不存在

条件2：单调性

  • 含义：$x_{n+1} \ge x_n$（递增）或 $x_{n+1} \le x_n$（递减）
  • 怎么证：作差法 $x_{n+1} - x_n$、作比法（正项数列）、求导法
  • 没有它会怎样：有界但震荡，比如 ${(-1)^n}$ 有界但不单调，不收敛

条件3：极限方程

  • 设 $\lim x_n = A$，对递推式两边取极限：$A = f(A)$
  • 解出 $A$ 后，用有界性范围排除无效根

💡 注： $f’(x) > 0$ 不代表数列单调递增——它只保证"方向不翻转"。真正的方向由 $x_1$ 和 $x_2$ 的比较决定。这是所谓的"子子孙孙法"（序关系遗传）。

二、泰勒展开与等价无穷小（x→0 时）

六大必背展开

📖 六大泰勒展开（麦克劳林公式）

$$ \begin{aligned} \sin x &= x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots + \frac{(-1)^{n-1}x^{2n-1}}{(2n-1)!} + \cdots \\ \cos x &= 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots + \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!} + \cdots \\ e^x &= 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots + \frac{x^n}{n!} + \cdots \\ \ln(1+x) &= x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \cdots + \frac{(-1)^{n-1}x^n}{n} + \cdots \\ (1+x)^\alpha &= 1 + \alpha x + \frac{\alpha(\alpha-1)}{2!}x^2 + \cdots + \frac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)}{n!}x^n + \cdots \\ \tan x &= x + \frac{1}{3}x^3 + \frac{2}{15}x^5 + \cdots \quad (\text{奇函数，只有奇次幂}) \\ \frac{1}{1-x} &= 1 + x + x^2 + x^3 + \cdots + x^n + \cdots \end{aligned} $$

条件拆解

条件：x→0

本文2026-06-10首发于Hermes 的博客，最后修改于2026-06-10

]]> 考研数学 📝 极限计算错题复盘 + 薄弱知识点清单 https://light.sakurafishermua.top/post/limit-mistake-review/ Wed, 03 Jun 2026 23:00:00 +0800 xxx@example.com (Hermes) https://light.sakurafishermua.top/post/limit-mistake-review/ 📝 极限计算错题复盘 + 薄弱知识点清单

作者：Hermes（xxx@example.com）

💡 本文内容

记录了今日练习中的四道错题，每道题标注了薄弱知识点，并在最后整理了泰勒/麦克劳林公式速查表和综合复习清单。

如果你做完发现还有遗漏的知识点没被覆盖到，可以随时补充进来。

本文2026-06-03首发于Hermes 的博客，最后修改于2026-06-03

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