作者：Hermes（xxx@example.com）

极限的计算里，绝大多数题目最终都归结成一件事：分子分母谁是低阶、谁是高阶、低多少阶。这一节把无穷小的比阶、等价替换、泰勒展开、变限积分定阶串成一套流程，核心只有一句话——阶数就是趋于零的快慢，比阶就是把两个无穷小放到同一把尺子上量。

无穷小与阶

无穷小

若 $\displaystyle\lim_{x\to\square}f(x)=0$，则称 $f(x)$ 在该变化过程中是无穷小。

讨论两个无穷小的比阶之前，必须先确认两件事：

1. 两个量在同一个变化过程下（同一个 $x\to\square$）
2. 两个量都必须是无穷小。比值极限存在与否，跟「谁是无穷小」是两件事，不是无穷小就不能比阶

比阶

设 $x\to\square$ 时 $f(x)\to0$、$g(x)\to0$，且 $g(x)\neq0$，考察比值 $\dfrac{f(x)}{g(x)}$：

1. $\displaystyle\lim\frac{f}{g}=0$，称 $f$ 是 $g$ 的高阶无穷小，记 $f=o(g)$
2. $\displaystyle\lim\frac{f}{g}=\infty$，称 $f$ 是 $g$ 的低阶无穷小
3. $\displaystyle\lim\frac{f}{g}=A\neq0$，称 $f$ 与 $g$ 是同阶无穷小
4. $\displaystyle\lim\frac{f}{g}=1$，称 $f$ 与 $g$ 是等价无穷小，记 $f\sim g$
5. 若 $\displaystyle\lim\frac{f}{g^k}=A\neq0$（$k>0$），称 $f$ 是 $g$ 的 $k$ 阶无穷小

在 $x\to0$ 的场合，最常用的是以 $x$ 为基准：若 $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{f(x)}{x^k}=A\neq0$，则 $f$ 是 $x$ 的 $k$ 阶无穷小，并且

三个要点：

1. 阶数 $k$ 可以是分数，$\sqrt{x}$ 是 $\frac{1}{2}$ 阶
2. 「同阶」只要求比值极限是非零常数，不要求等于 $1$；「等价」要求等于 $1$
3. 等价一定同阶，同阶不一定等价

等价无穷小的充要条件

必要性：若 $f\sim g$，则 $\dfrac{f-g}{g}=\dfrac{f}{g}-1\to0$，所以 $f-g=o(g)$，即 $f=g+o(g)$。

充分性：若 $f=g+o(g)$，则 $\dfrac{f}{g}=1+\dfrac{o(g)}{g}\to1$。

这条式子是「泰勒展开定阶」的合法性来源：$f$ 与 $g$ 等价，意味着它们的差比 $g$ 更高阶，所以把 $f$ 换成 $g$ 时，误差被吸进高阶无穷小里。

常见等价无穷小

$x\to0$ 时：

1. $\sin x\sim x$、$\arcsin x\sim x$、$\tan x\sim x$、$\arctan x\sim x$
2. $\ln(1+x)\sim x$、$e^{x}-1\sim x$、$a^{x}-1\sim x\ln a$
3. $(1+x)^{\alpha}-1\sim\alpha x$
4. $1-\cos x\sim\dfrac{x^2}{2}$
5. $x-\sin x\sim\dfrac{x^3}{6}$、$\arcsin x-x\sim\dfrac{x^3}{6}$
6. $\tan x-x\sim\dfrac{x^3}{3}$、$x-\arctan x\sim\dfrac{x^3}{3}$
7. $x-\ln(1+x)\sim\dfrac{x^2}{2}$、$e^{x}-1-x\sim\dfrac{x^2}{2}$
8. $\tan x-\sin x\sim\dfrac{x^3}{2}$

第一张黄金图像把五个函数画在 $(0,1)$ 上，得到一条必须记住的不等式链：

五条曲线在原点相切，公共切线就是 $y=x$。这条不等式链的用处是判断符号与比较大小：要证明 $\sin x\lt x$，直接引用；要做夹逼，两侧的函数现成。

第二张黄金图像是

三条曲线同样在原点相切。这两个不等式互为反函数版本：$\ln(1+x)$ 与 $e^x-1$ 互为反函数，$y=x$ 是它们的对称轴，所以夹在中间是必然的。

注意：这两张图的记忆价值大于推导价值。考场上要用的是不等式链的方向，画图一秒确认方向，比背「$\ln(1+x)$ 与 $x$ 谁大」来得快。

等价代换的准则

乘除中的独立因子，直接换。 若所求极限是若干因子的乘除，其中某个因子的等价无穷小已知，就可以把该因子整体换掉。

非零因子先把极限算出来。 设 $\displaystyle\lim f(x)=0$、$\displaystyle\lim g(x)=A\neq0$，则

原因是 $g(x)$ 与常数 $A$ 等价（比值为 $1$），它不参与「趋于零」的竞争，可以提前定下来。

不同阶的多个无穷小相加减，取低阶。 设 $\alpha$ 是低阶、$\beta$ 是高阶，即 $\beta=o(\alpha)$，则

低阶项在比阶里占主导，高阶项被它吞掉。

同阶相加且不抵消，直接换。 若各项都化成 $A x^{k}$ 形式且系数之和不为零，各项系数相加即可，阶数仍是 $k$。

同阶相加完全抵消，必须上泰勒。 系数之和为零时，主部消失，必须展开到下一个不为零的项，才能定出真实的阶。

三个要点：

1. 加减法的风险不在「能不能换」，而在「抵消后有没有更高阶的项顶上来」
2. 判断抵消的办法：把每一项都展开成 $A x^{k}$ 形式，看系数和
3. 抵消后阶数一定变大，绝不可能变小

三类常考的替换形式

指数函数作差。 若 $f(x)-g(x)\to0$，则

本文2026-10-20首发于Hermes 的博客，最后修改于2026-10-20

作者：Hermes（xxx@example.com）

高数强化从这里开篇。一轮复习时，函数的奇偶性、周期性属于「知道定义就行」的边角料；到了强化，它变成两道固定题型：一道是判断奇偶性（选择题，靠定义和运算规则秒杀），另一道是变限积分函数的奇偶性与周期性（把函数性质、导数、原函数、积分上限函数串在一起考）。这一节就沿着「定义 → 图像 → 运算 → 复合 → 与导数原函数的关系」这条链把两件事讲透。

函数的奇偶性

定义

设函数 $f(x)$ 的定义域 $D$ 关于原点对称。若对任意 $x\in D$ 都有

则称 $f(x)$ 为奇函数；若都有

则称 $f(x)$ 为偶函数。

三个要点：

1. 定义域关于原点对称是前提条件，不是可有可无的修饰。$f(x)=x^2$ 在 $(-1,2)$ 上既不是奇函数也不是偶函数，因为 $-1\lt x\lt 2$ 之外的点（如 $x=1.5$ 的对称点 $-1.5$）不在定义域内，$f(-x)=f(x)$ 根本无从谈起
2. 判断时先看定义域，再看 $f(-x)$ 与 $f(x)$ 或 $-f(x)$ 的关系。定义域不对称的直接判非奇非偶，这一步能省掉大量计算
3. 奇偶性是对称区间上的性质，脱离对称区间谈奇偶没有意义

图像与零点

奇函数的图像关于原点对称（绕原点旋转 $180^\circ$ 后与自身重合），偶函数的图像关于 $y$ 轴对称（沿 $y$ 轴翻折后与自身重合）。

由原点对称可以直接得到一个高频结论：若 $f(x)$ 是奇函数，且 $x=0$ 在定义域内，则

理由是 $f(0)=-f(0)$，移项即得 $2f(0)=0$。

注意：这里必须带「$x=0$ 有定义」这个前提。$y=\dfrac{1}{x}$ 是奇函数，但在 $x=0$ 处无定义，谈不上 $f(0)=0$。所以标准表述是「奇函数在 $x=0$ 处有定义时，必有 $f(0)=0$」，把「有定义」三个字省掉就是错的。

补充题：判断奇函数在 $x=0$ 处的函数值是否必定等于 $0$

结论不成立。反例是 $f(x)=\dfrac{1}{x}$：它是奇函数，但 $x=0$ 处无定义，$f(0)$ 根本不存在。

真正成立的命题是：奇函数且 $x=0$ 在定义域内 $\Rightarrow f(0)=0$。

注意：这类题的通用价值在于「求参数」。题目给出「$f(x)$ 是定义在 $\mathbb{R}$ 上的奇函数，求其中参数 $a$」，第一步就是写 $f(0)=0$ 得一个方程，往往一步出答案。

对称区间上的构造

设 $f(x)$ 在关于原点对称的区间 $(-l,l)$ 内有定义，则

验证第一个：把 $x$ 换成 $-x$，得 $f(-x)+f(x)$，与原来的式子相同，所以是偶函数。第二个同理，换元后整体变号。

由此得到任意函数的奇偶拆分：

以 $f(x)=e^x$ 为例，偶部是 $\dfrac{e^x+e^{-x}}{2}=\cosh x$，奇部是 $\dfrac{e^x-e^{-x}}{2}=\sinh x$，两条曲线相加正好回到 $e^x$。

对称区间上的定积分

这个公式在强化阶段用得极多。设 $f(x)$ 在 $[-a,a]$ 上可积，则

推导只有两步，把积分拆成两段、前一段换元：

后两式合并，被积函数就是 $f(-x)+f(x)$。

当 $f$ 是偶函数时 $f(-x)=f(x)$，公式退化为

当 $f$ 是奇函数时 $f(-x)=-f(x)$，公式退化为 $\displaystyle\int_{-a}^{a}f(x)\,\mathrm{d}x=0$。

三个要点：

1. 公式对任意可积函数成立，不要求 $f$ 具有任何奇偶性
2. 偶函数、奇函数那两条是它的特例，不是它的前提
3. 实际价值在于「奇偶混合」的被积函数：拆开后奇函数部分自动消失，只剩偶函数部分的两倍

注意：把这条公式记成「只对偶函数成立」会把它的用途砍掉一半。它真正的场景恰恰是被积函数既不是奇函数也不是偶函数的时候。

补充题：计算 $\displaystyle\int_{-1}^{1}\big(x^2+x\big)\mathrm{d}x$

被积函数 $x^2+x$ 既不是奇函数也不是偶函数，但用公式直接拆：

结果是奇函数那部分 $x$ 被自动消掉，只剩偶函数部分的两倍。若不用公式，则要拆成两段分别求原函数，多算一遍。

乘除与加减的运算规则

乘除（除式要求分母在定义域内不为零）：

1. 奇函数 $\times$ 奇函数 $=$ 偶函数
2. 奇函数 $\times$ 偶函数 $=$ 奇函数
3. 偶函数 $\times$ 偶函数 $=$ 偶函数

加减：

1. 奇函数 $\pm$ 奇函数 $=$ 奇函数
2. 偶函数 $\pm$ 偶函数 $=$ 偶函数
3. 奇函数 $\pm$ 偶函数 一般是非奇非偶函数

第三条有一个例外值得记住：如果其中一个是零函数 $f\equiv0$，那它本身既奇又偶，结论会退化。

注意：乘除规则里「奇 $\times$ 奇 $=$ 偶」用的次数最多，判断被积函数的奇偶性时几乎每题都遇到。它的来源是把 $-x$ 代进去，两个负号相乘变正。

本文2026-10-20首发于Hermes 的博客，最后修改于2026-10-20