不定积分错题复盘：分部积分、有理函数与换元法

2026-07-31

本次学习地图

不定积分 错题复盘
├── 组A：分部积分与循环积分
│   ├── 错题1 — ∫lnx/(1-x)² dx
│   │   └── 翻车点：分母 x-1 抄成 x+1；分部积分 uv 项符号
│   ├── 错题2 — ∫sec³x dx
│   │   └── 翻车点：凑微分对象错位（sec x ≠ sec² x）
│   └── 错题3 — ∫e⁻²ˣ·arctan(eˣ) dx
│       └── 翻车点：uv 项指数符号；dx 非法变 de²ˣ；裂项符号
├── 组B：有理函数积分
│   └── 错题4 — ∫(x⁵+x⁴-8)/(x³-x) dx
│       └── 翻车点：拆分绕路；∫1 dx 算错；x²-1 公式记混；代入错
└── 组C：换元法
    ├── 错题5 — ∫x·eˣ/√(eˣ-1) dx
    │   └── 翻车点：du 求导降幂错；该换元却强行分部积分
    └── 刷题42 — ∫√(1-x)/√(1+x)·1/x dx
        └── 翻车点：∫csc t dt 记成导数公式

本次需要重点关注的内容：

凑微分的负号规律：分母 $1-x$ 与 $x-1$ 的导数差一个负号，选对形式可以避开负号
循环积分套路：$\sec^3 x$ 型——分部积分后移项解出 $I$
换元配套纪律：写了 $de^{2x}$ 就必须完整换元，或者全程用单字母 $t$
有理函数积分的标准路径：多项式除法 → 部分分式 → 通分验证
基本公式边界：$\int \frac{dx}{x^2-1}$ 与 $\int \frac{dx}{\sqrt{x^2-1}}$ 是两个不同公式，根号不能丢
正割/余割积分公式：$\int\sec x\,dx = \ln|\sec x+\tan x|$，$\int\csc x\,dx = \ln|\csc x-\cot x|$，别把导数公式当积分
根式换元套路：$\sqrt{e^x-1}$ 型设 $t = \sqrt{e^x-1}$，不要分部积分

组A：分部积分与循环积分

错题1 ⭐⭐ — 凑微分负号：$\int \frac{\ln x}{(1-x)^2} dx$

题目

$$\int \frac{\ln x}{(1-x)^2}\,dx$$

错因诊断

计算失误 + 模式固化 — 解题思路正确（凑微分 + 分部积分），但发生两处执行层翻车：

把分母 $(x-1)^2$ 的凑微分对象写成 $\frac{1}{x+1}$，分母 $x-1$ 抄成 $x+1$，后面全程跟着错；
分部积分展开时 $uv$ 项多写一个负号。

更深一层：题目给的是 $(1-x)^2$，直接配 $\frac{1}{1-x}$ 根本不产生负号。用户主动改写成 $(x-1)^2$，等于把不需要处理负号的题改成了需要处理负号的题——自己给自己挖坑。

知识定位

凑微分（负号规律）：
- $\left(\dfrac{1}{1-x}\right)' = \dfrac{1}{(1-x)^2}$ — 常数在前，无负号（链式法则 $(1-x)'=-1$ 与外层导数 $-1$ 负负得正）
- $\left(\dfrac{1}{x-1}\right)' = -\dfrac{1}{(x-1)^2}$ — $x$ 在前，带负号
分部积分：$\displaystyle\int u\,dv = uv - \int v\,du$

Important

负号规律口诀：分母 $x$ 在前带负号，常数在前不带负号。

碰到 $(a-x)^2$ 型分母，直接用 $\dfrac{1}{a-x}$，不要改写。

正解重构

✅ 用户正确识别出要用凑微分 + 分部积分，方向正确。

❌ 用户写成：

$$\int \frac{\ln x}{(x-1)^2}\,dx = -\int \ln x\,d\frac{1}{x+1}$$

两个错误叠加：$x-1$ 抄成 $x+1$；且即使按 $x-1$ 版本，$\dfrac{dx}{(x-1)^2} = -d\dfrac{1}{x-1}$，负号要显式写出。

✅ 正确做法（保留原题 $(1-x)^2$，全程无负号）：

$$ \begin{aligned} \int \frac{\ln x}{(1-x)^2}\,dx &= \int \ln x\,d\frac{1}{1-x} \\ &= \frac{\ln x}{1-x} - \int \frac{1}{1-x}\,d\ln x \\ &= \frac{\ln x}{1-x} - \int \frac{1}{1-x}\cdot\frac{1}{x}\,dx \\ &= \frac{\ln x}{1-x} - \int \frac{dx}{x(1-x)} \end{aligned} $$

裂项：$\dfrac{1}{x(1-x)} = \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{1-x}$（通分验证：$\dfrac{1-x+x}{x(1-x)} = \dfrac{1}{x(1-x)}$ ✓）

$$ \int \frac{\ln x}{(1-x)^2}\,dx = \frac{\ln x}{1-x} - \ln|x| + \ln|1-x| + C $$

等价写法（分母统一成 $x-1$）：$-\dfrac{\ln x}{x-1} - \ln|x| + \ln|x-1| + C$

Caution

用户实际写出的过程：$-\left(-\dfrac{\ln x}{x+1}\right) + \displaystyle\int\frac{1}{x+1}\,d\ln x$

这里多了一个负号。正确展开是：

$$-\int \ln x\,d\frac{1}{x-1} = -\frac{\ln x}{x-1} + \int\frac{1}{x-1}\,d\ln x$$

$uv$ 项是 $-\dfrac{\ln x}{x-1}$，不是 $+\dfrac{\ln x}{x-1}$。

避免错误的要点

Important

避免错误的要点

分母是 $(a-x)^2$ 时直接用 $\dfrac{1}{a-x}$，不改写、不碰负号；

非要用 $x-a$ 版本，三步走：先写 $d\dfrac{1}{x-a} = -\dfrac{dx}{(x-a)^2}$（负号显式）→ 移项 → 代回；

分部积分展开括号后，把 $uv$ 项单独验一遍符号。

归档标签

核心知识点： 凑微分负号处理，分部积分法
关联知识点： 裂项（部分分式），换元积分法
难度星级： ⭐⭐
建议复习间隔： 1天后

错题2 ⭐⭐⭐ — 循环积分：$\int \sec^3 x\,dx$

题目

$$\int \sec^3 x\,dx$$

错因诊断

模式固化 + 概念盲区 — 看到 $\tan$、$\sec$ 就本能凑 $d\tan x$，没有检查被积函数里到底有没有 $\sec^2 x$；同时把导数公式记混：$(\sec x)' = \sec x\tan x$，$(\tan x)' = \sec^2 x$。

用户把 $\int \sec x\tan^2 x\,dx$ 直接写成 $\dfrac{1}{2}\tan^2 x$——这是 $\int \tan x\sec^2 x\,dx$ 的结果，两个被积函数不一样。

知识定位

导数公式（配对记忆）：
- $(\tan x)' = \sec^2 x$ — 切生割方
- $(\sec x)' = \sec x\tan x$ — 割生切乘
- 同理：$(\cot x)' = -\csc^2 x$，$(\csc x)' = -\csc x\cot x$（余切/余割带负号）
三角恒等式：$\tan^2 x = \sec^2 x - 1$
循环积分：分部积分后等号两边都出现 $I$，移项解出

Important

循环积分套路（$\sec^3 x$ 型）： 分部积分 → 出现 $I$ 的方程 → 移项。

$$\int \sec^3 x\,dx = \frac{1}{2}\sec x\tan x + \frac{1}{2}\ln|\sec x+\tan x| + C$$

正解重构

❌ 用户出错的一步：

$$\int \sec x\tan^2 x\,dx = \frac{1}{2}\tan^2 x$$

求导回去一验就露馅：

$$\left(\frac{1}{2}\tan^2 x\right)' = \tan x\cdot\sec^2 x \neq \sec x\tan^2 x$$

凑 $d\tan x = \sec^2 x\,dx$ 的前提是被积函数里有 $\sec^2 x$，但这里只有 $\sec x$，凑不动。

✅ 正确做法（分部积分 + 移项）：

$$ \begin{aligned} I &= \int \sec^3 x\,dx = \int \sec x\,d\tan x \\ &= \sec x\tan x - \int \tan x\,d\sec x \\ &= \sec x\tan x - \int \sec x\tan^2 x\,dx \\ &= \sec x\tan x - \int \sec x(\sec^2 x-1)\,dx \\ &= \sec x\tan x - I + \ln|\sec x+\tan x| \end{aligned} $$

移项：

$$2I = \sec x\tan x + \ln|\sec x+\tan x|$$$$\boxed{I = \frac{1}{2}\sec x\tan x + \frac{1}{2}\ln|\sec x+\tan x| + C}$$

Warning

为什么 $\int \sec x\tan^2 x\,dx$ 不能直接凑？

它是 $\int \sec^3 x$ 的影子：$\displaystyle\int \sec x\tan^2 x\,dx = \int \sec x(\sec^2 x-1)\,dx = I - \int\sec x\,dx$，拆开只会绕回自己。所以 $\sec^3 x$ 必须走"分部积分 → 移项"的循环套路，不能硬凑。

graph LR
  A[被积函数 sec3x] --> B[分部积分凑 dtanx]
  B --> C[出现 sec x tan2x]
  C --> D[tan2x 换成 sec2x 减 1]
  D --> E[得到含 I 的方程]
  E --> F[移项解出 I]

避免错误的要点

Important

避免错误的要点

凑微分前先问一句："$f'(x)$ 真的在被积函数里吗？" 要凑 $d\tan x$，里面必须有 $\sec^2 x$；

四个导数公式配对记：切生割方，割生切乘（余切/余割带负号）；

心里没底就现场推：$\tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x}$ 求导 → $\sec^2 x$；$\sec x = \dfrac{1}{\cos x}$ 求导 → $\sec x\tan x$；

算完求导回去验一遍。

归档标签

核心知识点： 循环积分（分部积分 + 移项），$\sec$/$\tan$ 导数公式
关联知识点： 三角恒等式 $\tan^2 x = \sec^2 x - 1$，分部积分法
难度星级： ⭐⭐⭐
建议复习间隔： 3天后

错题3 ⭐⭐⭐ — 换元与分部积分混合：$\int e^{-2x}\arctan(e^x)\,dx$

题目

$$\int e^{-2x}\arctan(e^x)\,dx$$

错因诊断

计算失误 + 方法执行混乱 — 分部积分方向正确，但：

$uv$ 项指数符号写反：$v = e^{-2x}$，$uv = e^{-2x}\arctan(e^x)$，写成 $e^{2x}$；
$dx$ 非法变成 $de^{2x}$：换元写了记号却没配套换被积函数；
裂项写错 + $\arctan$ 项符号反。

全程 $e^x$、$e^{2x}$、$e^{-2x}$ 三个身份来回串，属于复杂环境下"心算对、书写飘"的典型。

知识定位

分部积分：$uv$ 项照抄 $v$，$v$ 是 $e^{-2x}$ 就写 $e^{-2x}$
换元配套：设 $t = e^x$，则 $dt = e^x\,dx$，$dx = \dfrac{dt}{t}$，$e^{-x} = \dfrac{1}{t}$
裂项：$\dfrac{1}{t^2(1+t^2)} = \dfrac{1}{t^2} - \dfrac{1}{1+t^2}$（通分验证：$\dfrac{1+t^2-t^2}{t^2(1+t^2)} = \dfrac{1}{t^2(1+t^2)}$ ✓）

Warning

换元纪律：写了 $de^{2x}$ 就必须完整换元。

$de^{2x}$ 意味着 $t = e^{2x}$，被积函数要全部换成 $t$ 的表达式。想省事就设 $t = e^x$，中间过程全程只写 $t$，最后才代回——三个指数身份变成一个身份，想飘都没得飘。

正解重构

✅ 用户正确识别出凑微分 $e^{-2x}dx = -\dfrac{1}{2}de^{-2x}$ 并分部积分。

❌ 错误1：$uv$ 项写成 $e^{2x}\arctan(e^x)$，应为 $e^{-2x}\arctan(e^x)$：

$$-\frac{1}{2}\left(e^{2x}\arctan(e^x) - \cdots\right) \quad\Rightarrow\quad -\frac{1}{2}\left(e^{-2x}\arctan(e^x) - \cdots\right)$$

❌ 错误2：$\displaystyle\int\frac{e^{-x}}{1+e^{2x}}\,dx$ 被改写成 $\displaystyle\int\left[\frac{1}{e^{2x}} - \frac{1}{e^{2x}(1+e^{2x})}\right]de^{2x}$——$dx$ 变 $de^{2x}$ 非法；且括号内通分后是 $\dfrac{1}{1+e^{2x}}$，根本不是原被积函数的裂项。

✅ 正确过程：

$$ \begin{aligned} \int e^{-2x}\arctan(e^x)\,dx &= -\frac{1}{2}\int \arctan(e^x)\,de^{-2x} \\ &= -\frac{1}{2}\left[e^{-2x}\arctan(e^x) - \int e^{-2x}\cdot\frac{e^x}{1+e^{2x}}\,dx\right] \\ &= -\frac{\arctan(e^x)}{2e^{2x}} + \frac{1}{2}\int\frac{e^{-x}}{1+e^{2x}}\,dx \end{aligned} $$

令 $t = e^x$（$dt = e^x dx$，$dx = \dfrac{dt}{t}$）：

$$ \begin{aligned} &= -\frac{\arctan(e^x)}{2e^{2x}} + \frac{1}{2}\int\frac{1/t}{1+t^2}\cdot\frac{dt}{t} \\ &= -\frac{\arctan(e^x)}{2e^{2x}} + \frac{1}{2}\int\frac{dt}{t^2(1+t^2)} \\ &= -\frac{\arctan(e^x)}{2e^{2x}} + \frac{1}{2}\int\left(\frac{1}{t^2}-\frac{1}{1+t^2}\right)dt \\ &= -\frac{\arctan(e^x)}{2e^{2x}} - \frac{1}{2t} - \frac{1}{2}\arctan t + C \end{aligned} $$

代回 $t = e^x$：

$$\boxed{\int e^{-2x}\arctan(e^x)\,dx = -\frac{\arctan(e^x)}{2e^{2x}} - \frac{1}{2e^x} - \frac{1}{2}\arctan(e^x) + C}$$

Caution

符号陷阱：裂项后 $\arctan$ 项带负号。

$\displaystyle\int\frac{dt}{t^2} = -\frac{1}{t}$，$\displaystyle\int\frac{dt}{1+t^2} = \arctan t$，中间是减号，所以 $\arctan t$ 前是负号。用户写成 $+\dfrac{1}{2}\arctan(e^x)$，符号反了。

另外用户最后一行化简又丢项：$-\dfrac{1}{2e^x}$ 整项消失，$\dfrac{\arctan(e^x)}{e^{2x}}$ 的指数从 $2x$ 缩成 $x$。

避免错误的要点

Important

避免错误的要点

分部积分写完，先看 $uv$ 项是不是原样照抄 $v$（$v = e^{-2x}$ 就写 $e^{-2x}$）；

换元后全程只写单字母 $t$，$e^x$、$e^{2x}$、$e^{-2x}$ 在代回前一律不许出现；

裂项写完通分验一遍（3 秒），减号后面的积分符号跟着走；

最终答案求导回去验证。

归档标签

核心知识点： 分部积分法，换元积分法，裂项（部分分式）
关联知识点： $\arctan x$ 的导数，指数函数凑微分
难度星级： ⭐⭐⭐
建议复习间隔： 3天后

组内模式总结

组A三题共用同一个根因：分部积分 / 凑微分的"符号与对象"纪律。

错题1：凑微分对象抄串（$x-1 \to x+1$）+ $uv$ 项符号
错题2：凑微分对象不验证（$\sec x \neq \sec^2 x$）
错题3：$uv$ 项指数符号 + 换元记号不配套

共同防线：写完一行，回头看一眼"我写的是不是我算的"。分部积分的 $uv$ 项照抄 $v$，凑微分前验证 $f'(x)$ 存在。

组B：有理函数积分

错题4 ⭐⭐⭐ — 多项式除法与部分分式：$\int \frac{x^5+x^4-8}{x^3-x}\,dx$

题目

$$\int \frac{x^5+x^4-8}{x^3-x}\,dx$$

错因诊断

方法盲区 + 计算失误 — 用户没有走"多项式除法 → 部分分式"的标准路径，而是把分子拆成 $x^5 + (x^4-8)$ 两部分硬凑，导致：

多出一个 $\int \dfrac{dx}{x^2-1}$ 要处理，在这里记混公式（写成 $\ln|x+\sqrt{x^2-1}|$，那是 $\int \dfrac{dx}{\sqrt{x^2-1}}$ 的结果）；
$\int (x^2+1)\,dx$ 算错：把 $\int 1\,dx = x$ 写成了 $\dfrac{x^2}{2}$；
部分分式代入 $x=-1$ 时算错：$(-1)^2 - 8 = -7$，写成 $-8$。

方法绕 → 复杂度升 → 多处翻车，是"越复杂越容易错"的活案例。

知识定位

多项式除法：分子次数 ≥ 分母次数时，先做长除法，分离出整式部分
部分分式分解（代入法求系数）：$\dfrac{P(x)}{x(x+1)(x-1)} = \dfrac{A}{x} + \dfrac{B}{x+1} + \dfrac{C}{x-1}$，分别令 $x = 0, \pm 1$ 消元
两个易混公式：
- $\displaystyle\int \frac{dx}{x^2-1} = \frac{1}{2}\ln\left|\frac{x-1}{x+1}\right| + C$（无根号）
- $\displaystyle\int \frac{dx}{\sqrt{x^2-1}} = \ln|x+\sqrt{x^2-1}| + C$（带根号）

Important

有理函数积分标准路径：

分子次数 ≥ 分母 → 先多项式除法 → 得到整式 + 真分式 → 真分式做部分分式 → 逐项积分。
graph LR
  A[分子次数不低于分母] --> B[先做多项式除法]
  B --> C[整式加真分式]
  C --> D[真分式做部分分式]
  D --> E[代入法求系数]
  E --> F[逐项积分]

正解重构

❌ 用户方法绕路：把 $\dfrac{x^5+x^4-8}{x^3-x}$ 拆成 $\dfrac{x^5}{x^3-x} + \dfrac{x^4-8}{x^3-x}$，两次化简、两次分解，还引入了 $\int \dfrac{dx}{x^2-1}$。

❌ 错误1：$\displaystyle\int(x^2+1)\,dx = \frac{x^3}{3} + x$，用户写成 $\dfrac{x^3}{3} + \dfrac{x^2}{2}$——把 $\int 1\,dx = x$ 当成 $\int x\,dx$ 算了。

❌ 错误2：$\displaystyle\int\frac{dx}{x^2-1} = \frac{1}{2}\ln\left|\frac{x-1}{x+1}\right|$，用户写成 $\ln|x+\sqrt{x^2-1}|$——根号公式混用。

❌ 错误3：部分分式 $\dfrac{x^2-8}{x(x+1)(x-1)}$ 代入 $x=-1$：$(-1)^2 - 8 = -7$，用户写成 $-8$，导致 $B = -4$（正确 $B = -\dfrac{7}{2}$）。

Caution

“看起来对"可能是双错抵消。

用户的 $-4\ln|x+1|$ 恰好等于正确系数 $-4$，但那是错误2（少了 $-\dfrac{1}{2}\ln|x+1|$）和错误3（多了 $\dfrac{1}{2}\ln|x+1|$）互相抵消的结果。$x-1$ 项对不上就露馅了（用户 $-\dfrac{7}{2}$，正确 $-3$）。别信"看起来对”，要整体验证。

✅ 正确过程（多项式除法一条路）：

$$ \frac{x^5+x^4-8}{x^3-x} = x^2 + x + 1 + \frac{x^2+x-8}{x^3-x} $$

（长除法过程：$x^5 \div x^3 = x^2$，余 $x^4+x^3-8$；$x^4 \div x^3 = x$，余 $x^3+x^2-8$；$x^3 \div x^3 = 1$，余 $x^2+x-8$）

对 $\dfrac{x^2+x-8}{x(x+1)(x-1)}$ 做部分分式：

$$ \frac{x^2+x-8}{x(x+1)(x-1)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x+1} + \frac{C}{x-1} $$

通分：$A(x^2-1) + Bx(x-1) + Cx(x+1) = x^2+x-8$

令 $x=0$：$-A = -8$，$A = 8$
令 $x=1$：$2C = -6$，$C = -3$
令 $x=-1$：$2B = -8$，$B = -4$

$$ \frac{x^2+x-8}{x(x+1)(x-1)} = \frac{8}{x} - \frac{4}{x+1} - \frac{3}{x-1} $$

（通分验证：$8(x^2-1) - 4x(x-1) - 3x(x+1) = x^2 + x - 8$ ✓）

$$ \begin{aligned} \int \frac{x^5+x^4-8}{x^3-x}\,dx &= \int\left(x^2+x+1\right)dx + \int\left(\frac{8}{x} - \frac{4}{x+1} - \frac{3}{x-1}\right)dx \\ &= \frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + x + 8\ln|x| - 4\ln|x+1| - 3\ln|x-1| + C \end{aligned} $$

避免错误的要点

Important

避免错误的要点

分子次数 ≥ 分母，先做多项式除法，别玩拆分花活——绕路每一步都是新的翻车机会；

$\int 1\,dx = x$，$\int x\,dx = \dfrac{x^2}{2}$，两个基本积分不要混；

带根号与不带根号两个公式分开记：$\dfrac{1}{x^2-1}$ 是 $\dfrac{1}{2}\ln\left|\dfrac{x-1}{x+1}\right|$，$\dfrac{1}{\sqrt{x^2-1}}$ 才是 $\ln|x+\sqrt{x^2-1}|$；

部分分式代入数值后通分验一遍（3 秒），特别留意 $(-1)^2 = 1$ 这类符号陷阱。

归档标签

核心知识点： 多项式除法，部分分式分解，$\int \frac{dx}{x^2-1}$ 公式
关联知识点： 裂项（与错题1、错题3的裂项同源），$\int \frac{dx}{\sqrt{x^2-1}}$（第二类换元）
难度星级： ⭐⭐⭐
建议复习间隔： 1天后

组内模式总结

组B核心教训：有理函数积分有固定路径，别临场发明。

多项式除法把假分式化成"整式 + 真分式"，部分分式把真分式化成可积的简单分式之和——每一步都是机械操作。用户绕路拆分，等于把标准流程换成自由发挥，然后连续踩了公式、代入、基本积分三个雷。

组C：换元法

错题5 ⭐⭐⭐ — 根式换元：$\int \frac{x e^x}{\sqrt{e^x-1}} dx$

题目

$$\int \frac{x e^x}{\sqrt{e^x-1}} dx$$

错因诊断

计算失误 + 方法盲区 — 前两步（凑微分 + 分部积分）正确，但处理 $\int \frac{dx}{\sqrt{e^x-1}}$ 时发生两个错误：

复合函数求导降幂错：$d\left(\dfrac{1}{\sqrt{e^x-1}}\right)$ 的分母指数写成 $\dfrac{1}{2}$，正确是 $\dfrac{3}{2}$；
方法选错：$\int \frac{dx}{\sqrt{e^x-1}}$ 应该换元 $t = \sqrt{e^x-1}$，用户用分部积分凑循环，为了让循环成立强行把分母降幂。

知识定位

根式换元：含 $\sqrt{e^x-1}$ 设 $t = \sqrt{e^x-1}$，则 $t^2 = e^x-1$，$2t\,dt = e^x dx$，$dx = \dfrac{2t}{t^2+1}dt$
复合函数求导：$(e^x-1)^{-\frac{1}{2}}$ 求导 $= -\frac{1}{2}(e^x-1)^{-\frac{3}{2}}\cdot e^x$——指数必须降 1
分部积分：$\displaystyle\int u\,dv = uv - \int v\,du$
基本积分：$\displaystyle\int \frac{dt}{1+t^2} = \arctan t$

正解重构

✅ 用户前两步正确：$\dfrac{e^x}{\sqrt{e^x-1}}dx = 2\,d\sqrt{e^x-1}$，分部积分得 $2\left(x\sqrt{e^x-1} - \displaystyle\int\sqrt{e^x-1}\,dx\right)$。

❌ 用户对 $\int \frac{dx}{\sqrt{e^x-1}}$ 分部积分时 $du$ 求错：

$$d\left(\frac{1}{\sqrt{e^x-1}}\right) = -\frac{e^x}{2(e^x-1)^{3/2}}\,dx \quad\text{不是}\quad -\frac{e^x}{2\sqrt{e^x-1}}\,dx$$

分母指数 $3/2$ 缩成 $1/2$；且 $\int\frac{dx}{\sqrt{e^x-1}} = \dfrac{x}{\sqrt{e^x-1}} - \displaystyle\int x\,d\left(\frac{1}{\sqrt{e^x-1}}\right)$ 中，$du$ 带负号，负负得正，符号也反了。

✅ 正确做法：$\int \frac{dx}{\sqrt{e^x-1}}$ 换元一步到位：

$$\int \frac{dx}{\sqrt{e^x-1}} = 2\arctan\sqrt{e^x-1}$$

（$t = \sqrt{e^x-1}$，$dx = \dfrac{2t}{t^2+1}dt$：$\displaystyle\int\frac{1}{t}\cdot\frac{2t}{t^2+1}dt = \int\frac{2\,dt}{1+t^2} = 2\arctan t$）

完整过程：

$$ \begin{aligned} \int \frac{x e^x}{\sqrt{e^x-1}} dx &= 2\int x\,d\sqrt{e^x-1} = 2\left(x\sqrt{e^x-1} - \int\sqrt{e^x-1}\,dx\right) \\ &= 2\left(x\sqrt{e^x-1} - 2\sqrt{e^x-1} + 2\arctan\sqrt{e^x-1}\right) \end{aligned} $$$$\boxed{I = 2x\sqrt{e^x-1} - 4\sqrt{e^x-1} + 4\arctan\sqrt{e^x-1} + C}$$

Warning

为什么不能对 $\int \frac{dx}{\sqrt{e^x-1}}$ 用分部积分凑循环？

正确的 $du$ 给的是 $(e^x-1)^{3/2}$ 分母，$\displaystyle\int\frac{x e^x}{(e^x-1)^{3/2}}dx$ 不是原积分 $I$，循环不成立。想让循环成立就得降幂——那是强行凑，算出来必错。

避免错误的要点

Important

避免错误的要点

见到 $\sqrt{e^x-1}$ 就换元 $t = \sqrt{e^x-1}$，不要分部积分；

复合函数求导写完做"降幂检查"：$(e^x-1)^{-\frac12}$ 的导数分母必须是 $(e^x-1)^{\frac32}$，指数不降就是错了；

循环积分的前提是"分部积分后真的出现原积分 $I$"，出现不了就换路，别强行凑。

归档标签

核心知识点： 根式换元（$t = \sqrt{e^x-1}$），分部积分法
关联知识点： $\arctan$ 积分，复合函数求导（与错题2 的导数公式同族）
难度星级： ⭐⭐⭐
建议复习间隔： 3天后

刷题42 ⭐⭐ — 三角换元与余割积分：$\int \frac{\sqrt{1-x}}{\sqrt{1+x}} \cdot \frac{1}{x} dx$

题目

$$\int \frac{\sqrt{1-x}}{\sqrt{1+x}} \cdot \frac{1}{x} dx$$

错因诊断

概念盲区 — 三角换元 $x = \sin t$、有理化、裂项全部正确，最后一步 $\int \csc t\,dt$ 公式记错：把导数公式 $(-\cot t\csc t)$ 当成了积分公式。

与错题2 记混 $(\sec x)'$、$(\tan x)'$ 是同一病根：三角函数的导数/积分公式混着记。

知识定位

三角换元：$\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}$ 型，令 $x = \sin t$，$\sqrt{\frac{1-x}{1+x}} = \dfrac{\cos t}{1+\sin t}$（分子分母同乘 $1-\sin t$ 验证）
余割/正割积分公式（配对记忆）：
- $\displaystyle\int\sec x\,dx = \ln|\sec x + \tan x| + C$（正割配正切，加）
- $\displaystyle\int\csc x\,dx = \ln|\csc x - \cot x| + C$（余割配余切，减）
导数对照：$(\csc x)' = -\csc x\cot x$——带负号的是导数，出 $\ln$ 的才是积分

正解重构

✅ 用户换元、有理化、裂项全对：

$$x = \sin t,\quad \int\frac{\sqrt{1-x}}{\sqrt{1+x}}\cdot\frac{1}{x}\,dx = \int\frac{\cos^2 t}{(1+\sin t)\sin t}\,dt = \int(\csc t - 1)\,dt$$

❌ 最后一步出错：

$$\int\csc t\,dt = -\cot t\cdot\csc t \quad\text{❌ 这是 }(\csc t)'\text{，不是积分}$$

✅ 正确：

$$\int\csc t\,dt = \ln|\csc t - \cot t| + C$$$$ \begin{aligned} \int\frac{\sqrt{1-x}}{\sqrt{1+x}}\cdot\frac{1}{x}\,dx &= \ln|\csc t - \cot t| - t + C \end{aligned} $$

代回 $t = \arcsin x$，$\csc t = \dfrac{1}{x}$，$\cot t = \dfrac{\sqrt{1-x^2}}{x}$：

$$\boxed{\ln\left|\frac{1-\sqrt{1-x^2}}{x}\right| - \arcsin x + C}$$

Note

记忆锚点：$\int\csc x\,dx$ 分子分母同乘 $\csc x - \cot x$。

$$\int\csc x\cdot\frac{\csc x - \cot x}{\csc x - \cot x}\,dx = \int\frac{(\csc x-\cot x)'}{\csc x-\cot x}\,dx = \ln|\csc x-\cot x|$$

因为 $(\csc x - \cot x)' = -\csc x\cot x + \csc^2 x = \csc^2 x - \csc x\cot x$。

避免错误的要点

Important

避免错误的要点

口诀：$\sec$ 配 $\tan$ 加，$\csc$ 配 $\cot$ 减——$\int\sec x\,dx = \ln|\sec x+\tan x|$，$\int\csc x\,dx = \ln|\csc x-\cot x|$；

记不住就现场推（分子分母同乘自己配的 $\tan$/$\cot$，分子恰好是分母的导数）；

用之前先问：“这是导数公式还是积分公式？” 带负号的是导数，出 $\ln$ 的是积分。

归档标签

核心知识点： 三角换元，$\int\csc x\,dx$ 公式
关联知识点： $\int\sec x\,dx$（与错题2 的 $\sec^3 x$ 循环积分关联），三角恒等式
难度星级： ⭐⭐
建议复习间隔： 3天后

组内模式总结

组C两题都是换元法：错题5 是根式换元（$t = \sqrt{e^x-1}$），刷题42 是三角换元（$x = \sin t$）。共同的敌人是公式与求导的记忆精度——错题5 复合函数求导降幂出错，刷题42 把导数公式当积分公式。换元本身不难，难的是换元后"用哪个公式、求导对不对"。

跨组关联

Note

同一个根因：写出来的不是自己在算的

涉及题号：错题1（组A）、错题3（组A）、错题4（组B）、错题5（组C）

共同问题：心算正确但书写飘——$x-1$ 与 $x+1$ 混写、$e^x$ 与 $e^{2x}$ 与 $e^{-2x}$ 身份串、$(e^x-1)^{\frac32}$ 与 $(e^x-1)^{\frac12}$ 指数缩水、最后化简丢项、代入 $x=-1$ 算成 $-8$。写出来的中间过程与真正在算的内容脱节，写到后面自己都信了错的。

建议合并复习：核心训练"写完一行回头看一眼，这一行是不是我上一步的直接结果"，以及"每完成一个块做 3 秒廉价检查"。

Note

另一个根因：基本公式边界不清

涉及题号：错题2（组A）、错题4（组B）、刷题42（组C）

共同问题：把长得像的公式互相替换——$(\sec x)'$ 与 $(\tan x)'$ 记混、$\int\csc t\,dt$ 记成 $(\csc t)'$、$\int \frac{dx}{x^2-1}$ 与 $\int \frac{dx}{\sqrt{x^2-1}}$ 混用、$\int 1\,dx$ 写成 $\int x\,dx$。

建议合并复习：做一张"易混公式对照"卡片，每对公式配一个判别特征（有没有根号、有没有平方、$\sec$ 还是 $\tan$）。

Note

第三个根因：方法选绕，复杂度自增

涉及题号：错题1（组A）、错题4（组B）、错题5（组C）

共同问题：有更直接的路不走——错题1 把 $(1-x)^2$ 改写成 $(x-1)^2$ 自找负号；错题4 拆分分子绕过多项式除法；错题5 对 $\int \frac{dx}{\sqrt{e^x-1}}$ 用分部积分凑循环（该换元）。绕路 = 额外步骤 = 额外翻车机会。

建议合并复习：动笔前先问"有没有更直接的形式？"——分母是 $1-x$ 就不改写，分子次数高就先做除法。

薄弱点汇总

Warning

🔴 死穴一：符号与指数飘（书写 ≠ 心算）

涉及题号：错题1、错题3、错题4、错题5

表现：$x-1$ 与 $x+1$ 混写；$e^x$、$e^{2x}$、$e^{-2x}$ 身份串；$(e^x-1)^{\frac32}$ 与 $(e^x-1)^{\frac12}$ 指数缩水；$uv$ 项指数符号反；最后化简丢项

避免：每写完一行回头核对；换元后全程单字母 $t$；分部积分 $uv$ 项照抄 $v$

复习间隔：1天后

Warning

🔴 死穴二：公式对象不验证（导数/积分、有无根号）

涉及题号：错题2、错题4、刷题42

表现：凑 $d\tan x$ 但被积函数里是 $\sec x$ 不是 $\sec^2 x$；$\int\csc t\,dt$ 记成 $(\csc t)'$；$\frac{1}{x^2-1}$ 与 $\frac{1}{\sqrt{x^2-1}}$ 混用；$\int 1\,dx$ 算成 $\dfrac{x^2}{2}$

避免：凑微分前先问"$f'(x)$ 真的在里面吗"；易混公式配对记、写判别特征

复习间隔：3天后

Important

🟡 注意：分部积分 $uv$ 项符号

涉及题号：错题1、错题3

表现：$-(-)$ 多一个负号；$uv$ 项与 $v$ 不一致

避免：展开括号后单独验 $uv$ 项；公式 $\int u\,dv = uv - \int v\,du$ 写完整再代

复习间隔：3天后

Important

🟡 注意：部分分式代入计算

涉及题号：错题4

表现：$(-1)^2 - 8$ 算成 $-8$

避免：代入后通分验证；$(-1)^2 = 1$，负数平方先写出来

复习间隔：1天后

Note

🟢 提醒：方法选绕

涉及题号：错题1、错题4

表现：$(1-x)^2$ 改写自找负号；拆分分子绕过多项式除法

避免：动笔前问"有没有更直接的形式？"

复习间隔：7天后

建议复习内容

进入下一节前，需要快速巩固：

分部积分法：$\int u\,dv = uv - \int v\,du$，$uv$ 项照抄 $v$；循环积分（$\sec^3 x$ 型）移项解 $I$
凑微分负号规律：$\dfrac{1}{a-x}$ 求导无负号，$\dfrac{1}{x-a}$ 求导带负号；分母是 $(a-x)^2$ 就直接用 $\dfrac{1}{a-x}$
换元纪律：$t = e^x$ 后全程只写 $t$，最后代回；写了 $d(\cdot)$ 就必须完整换元
有理函数积分路径：多项式除法 → 部分分式 → 通分验证
易混公式配对：$(\sec x)'$ 与 $(\tan x)'$；$\int \frac{dx}{x^2-1}$ 与 $\int \frac{dx}{\sqrt{x^2-1}}$；$\int\sec x\,dx$ 与 $\int\csc x\,dx$；$\int 1\,dx$ 与 $\int x\,dx$
正割/余割积分：$\sec$ 配 $\tan$ 加，$\csc$ 配 $\cot$ 减；带负号的是导数，出 $\ln$ 的是积分
根式换元套路：$\sqrt{e^x-1}$ 型设 $t = \sqrt{e^x-1}$，$dx = \dfrac{2t}{t^2+1}dt$，结果出现 $\arctan$
验证习惯：每完成一个块做 3 秒廉价检查（通分验裂项、求导验积分、核对 $uv$ 项、复合函数求导看降幂）