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本文是对第二章（一元函数微分学）的完整知识点复盘，按 5 个板块梳理：

第二章知识骨架
├── 一、导数定义（高频翻车区）
│   ├── 标准形式与变形
│   ├── 分段点可导性判断（定义走左右导）
│   └── 导数连续性（lim f'(x) = f'(x₀) 多走一步）
├── 二、求导法则
│   ├── 取对数求导法（三特征识别）
│   ├── 降幂公式→高阶导数通项
│   ├── 隐函数/参数方程/反函数求导
│   └── 易错细节
├── 三、微分中值定理（骨架中的骨架）
│   ├── 罗尔→拉格朗日→柯西（条件与结论链）
│   ├── 拉格朗日的本质与应用
│   └── 辅助函数构造（配对表）
├── 四、导数应用
│   ├── 极值判定 + f''(x₀)=0 的处理
│   ├── 凸性与切线关系（几何直觉）
│   └── 渐近线三件套
└── 五、组合题型
    └── 极限+导数定义的配合

一、导数定义

1.1 标准形式

Important

导数定义

$$ f'(x_0) = \lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} \quad\text{或}\quad f'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0+\Delta x) - f(x_0)}{\Delta x} $$

核心原则： 分母是 $x-x_0$（或 $\Delta x$），分子必须严格对应 $f(x)-f(x_0)$（或 $f(x_0+\Delta x)-f(x_0)$）。差了一个常数或符号错了，就不是导数定义。

常见变形（用于组合极限题型）：

$$\lim_{h\to 0}\frac{f(x_0+ah)-f(x_0+bh)}{(a-b)h}=f'(x_0)$$

前提：$f$ 在 $x_0$ 可导，且 $a\neq b$。

1.2 分段点可导性判断

Warning

高频翻车点：分段点用求导公式

分段点处左右两边的表达式不同，不能直接套求导公式——求导公式的前提是函数在该点可导，而你还不知道它可不可导。

正确的流程：

graph LR
  A[遇到分段点 x₀] --> B[用定义算左导]
  A --> C[用定义算右导]
  B --> D{左右导相等?}
  C --> D
  D -->|相等| E[可导✅]
  D -->|不相等| F[不可导❌]
  E --> G[此时才可用求导公式]

实例： $f(x)=\max\{1,|x|\}$

$$f(x)=\begin{cases} -x, & x<-1 \\ 1, & -1\le x\le 1 \\ x, & x>1 \end{cases}$$

在 $x=-1$ 处：

$$ \begin{aligned} f'_-(-1) &= \lim_{x\to-1^-} \frac{-x-1}{x+1} = -1 \\[4pt] f'_+(-1) &= \lim_{x\to-1^+} \frac{1-1}{x+1} = 0 \end{aligned} $$

$-1\neq 0$ → 不可导 ✅

Important

固化流程： 看到分段函数 → 先找到所有分段点 → 对每个分段点用定义走左右导 → 相等才可导。

1.3 导数连续性的完整判断链

Caution

你的多次翻车点：算出了 $f'(x_0)$ 存在，就直接说"导函数在 $x_0$ 处连续"

$f'(x_0)$ 存在 ≠ $f'(x)$ 在 $x_0$ 处连续。连续性必须检查 $\displaystyle\lim_{x\to x_0} f'(x) = f'(x_0)$，多走这一步。

完整判断链：

graph LR
  A[存在性 lim f 存在] --> B[连续性 f=f0]
  B --> C[导数定义求 f'0]
  C --> D[lim f'x = f'0]
  D --> E[导函数连续]

实例： $f(x)=\begin{cases} x^2\arctan\frac1x, & x\neq 0 \\ 0, & x=0 \end{cases}$

Step 1 — 极限存在： $x^2\arctan\frac1x$，$x^2\to0$，$\arctan\frac1x$ 有界 ⟶ 极限为 $0$ ✅

Step 2 — 连续： $f(0)=0=\lim_{x\to0}f(x)$ ✅

Step 3 — $f'(0)$ 存在（用定义）：

$$f'(0)=\lim_{x\to0}\frac{x^2\arctan\frac1x-0}{x}=\lim_{x\to0}x\arctan\frac1x=0\quad\checkmark$$

Step 4 — 导函数连续性（最容易漏的一步）：

$x\neq 0$ 时用求导公式：

$$ f'(x)=2x\arctan\frac1x+x^2\cdot\frac{1}{1+1/x^2}\cdot\left(-\frac{1}{x^2}\right)=2x\arctan\frac1x-\frac{x^2}{1+x^2} $$

取极限：

$$\lim_{x\to0}f'(x)=0-0=0=f'(0)\quad\checkmark$$

→ 导函数在 $x=0$ 处连续 ✅

Important

不要跳步： 算出 $f'(0)$ 后，多花 30 秒算 $\lim f'(x)$。绝大部分导函数连续题都是「算出来发现确实相等」而不是「不相等」，但你不算就是错的。

二、求导法则

2.1 取对数求导法

Warning

卡壳点：触发条件不明确，导致暴力硬算

刷题92中直接对 5 层嵌套分式暴力求导，算到数值错误。

取对数求导法的三特征：

特征 例子 优势
① 连乘/连除 $\dfrac{(x+1)(x^2+2)}{(x-1)}$ 乘积变加法，商变减法
② 根号/开方 $\sqrt[4]{\dfrac{\cdots}{\cdots}}$ 指数变成系数 $\frac14$
③ 只求某点导数值 求 $f'(0)$ 代入 $x=0$ 时大量项归零

三条中符合两条 → 取对数求导是最优路径。

实例： $f(x)=\sqrt[4]{\dfrac{(x+2)(x^2+1)}{(x-1)(x^2+4)}}$，求 $f'(0)$

取对数：

$$\ln f(x)=\frac14\left[\ln(x+2)+\ln(x^2+1)-\ln(x-1)-\ln(x^2+4)\right]$$

两边求导：

$$\frac{f'(x)}{f(x)}=\frac14\left[\frac1{x+2}+\frac{2x}{x^2+1}-\frac1{x-1}-\frac{2x}{x^2+4}\right]$$

代入 $x=0$：

$f(0)=\sqrt[4]{\frac{2\cdot 1}{(-1)\cdot4}}=\sqrt[4]{-\frac12}$

$$\frac{f'(0)}{f(0)}=\frac14\left[\frac12+0-(-1)-0\right]=\frac14\cdot\frac32=\frac38$$$$f'(0)=\frac38\sqrt[4]{-\frac12}$$

对比暴力求导——至少 5 层嵌套，算到一半肯定崩 🤡

2.2 降幂公式→高阶导数通项

Warning

卡壳点：看到 $\sin^4x+\cos^4x$ 直接求导，不先降幂

$\sin^nx+\cos^nx$ 类对称高次三角函数，第一反应不是求导，是降幂。

实例： $f(x)=\sin^6x+\cos^6x$，求 $f^{(n)}(x)$ 的通项

降幂过程：

$$ \begin{aligned} \sin^6x+\cos^6x &= (\sin^2x)^3+(\cos^2x)^3 \\ &= (\sin^2x+\cos^2x)(\sin^4x-\sin^2x\cos^2x+\cos^4x) \\ &= 1\cdot\left[(\sin^2x+\cos^2x)^2-3\sin^2x\cos^2x\right] \\ &= 1-\frac34\sin^2 2x = 1-\frac34\cdot\frac{1-\cos4x}{2} \\ &= \frac58+\frac38\cos4x \end{aligned} $$

降幂到 $\cos4x$ 后，直接写出通项：

$$f^{(n)}(x)=\frac38\cdot 4^n\cos\!\left(4x+\frac{n\pi}{2}\right)=3\cdot 4^{n-2}\cos\!\left(4x+\frac{n\pi}{2}\right)$$

Important

套路： 对称高次三角函数 → 用 $\sin^2x+\cos^2x=1$ 和倍角公式反复降幂 → 化为 $A+B\cos kx$ 形式 → 高阶导数通项秒出。

2.3 隐函数/参数方程/反函数求导

隐函数求导： 两边同时对 $x$ 求导，把 $y$ 当作 $y(x)$，每次出现 $y$ 的项都要乘 $y'$（链式法则），最后解出 $y'$。

参数方程 $\begin{cases}x=\varphi(t) \\ y=\psi(t)\end{cases}$：

$$\frac{dy}{dx}=\frac{\psi'(t)}{\varphi'(t)}$$$$\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{d}{dt}\!\left(\frac{dy}{dx}\right)\bigg/\frac{dx}{dt} =\frac{\psi''(t)\varphi'(t)-\psi'(t)\varphi''(t)}{[\varphi'(t)]^3}$$

Caution

参数方程二阶导不能直接对 $t$ 再导一次！ 分母要除以 $\varphi'(t)$，这是最容易忘的。

反函数求导：

$$\frac{dx}{dy}=\frac{1}{f'(x)},\qquad \frac{d^2x}{dy^2}=-\frac{f''(x)}{[f'(x)]^3}$$

Caution

注意二阶导公式的分母是三次方，不是平方。 代入时先算 $f'(x_0)$ 和 $f''(x_0)$，再一起代进公式，不要跳步。

三、微分中值定理

3.1 三个定理的关系链 

罗尔定理（f(a)=f(b)）
    ↓ 构造 g(x)=f(x)-f(a)-[f(b)-f(a)]/(b-a)·(x-a)
拉格朗日中值定理
    ↓ 令 F(x)=f(x), G(x)=x
柯西中值定理

三者共同条件： $[a,b]$ 连续，$(a,b)$ 可导

区别：

定理 额外条件 结论
罗尔 $f(a)=f(b)$ $\exists\xi\in(a,b),\; f'(\xi)=0$
拉格朗日 无 $\exists\xi\in(a,b),\; f(b)-f(a)=f'(\xi)(b-a)$
柯西 $g'(x)\neq 0$ $\dfrac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\dfrac{f'(\xi)}{g'(\xi)}$

3.2 拉格朗日中值定理的本质

Important

本质： 区间内至少有一点的瞬时变化率等于整个区间的平均变化率。

$$ f'(\xi)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a} $$

常见应用场景：

  • 估值： $|f'(x)|\leq M$ → $|f(b)-f(a)|\leq M|b-a|$
  • 等式/不等式证明： 构造辅助函数变成拉格朗日/罗尔的形式
  • 存在性问题： 看见 $f(b)-f(a)$ 和 $b-a$ 同时出现，联想拉格朗日

3.3 辅助函数构造

中值定理证明题最硬核的部分——怎么凭空造一个函数出来用罗尔定理？

核心思路： 题目要证 $\exists\xi,\; G(\xi)=0$。找一个 $F(x)$ 使得 $F'(x)=G(x)$，对 $F(x)$ 用罗尔定理。

常见的辅助函数配对（必背）：

要证的结论 构造的辅助函数
$f'(\xi)+f(\xi)=0$ $F(x)=e^x f(x)$
$f'(\xi)-f(\xi)=0$ $F(x)=e^{-x} f(x)$
$f'(\xi)+kf(\xi)=0$ $F(x)=e^{kx} f(x)$
$f'(\xi)g(\xi)+f(\xi)g'(\xi)=0$ $F(x)=f(x)g(x)$
$f'(\xi)g(\xi)-f(\xi)g'(\xi)=0$ $F(x)=f(x)/g(x)$

推导方法： 把要证的等式移项成 $=0$ 的形式，思考哪个函数的导数长这样。比如要证 $f'(\xi)+f(\xi)=0$，移项得 $f'(\xi)+f(\xi)=0$——想到 $(e^x f(x))' = e^x f'(x)+e^x f(x) = e^x[f'(x)+f(x)]$，令 $F(x)=e^x f(x)$，则 $F'(\xi)=0$。

四、导数应用

4.1 极值判定 + $f''(x_0)=0$ 的处理

Warning

高频翻车点：算到 $f''(x_0)=0$ 就直接放弃

$f''(x_0)=0$ 只是二阶导数判别法失效了，不是不能判断了。还有两条路可以走。

极值判定完整流程：

graph LR
  A[f'=0] --> B[算f'']
  B -->|>0| C[极小值]
  B -->|<0| D[极大值]
  B -->|=0| E[f''=0]
  E --> F[一阶导数变号法]
  E --> G[泰勒展开]

方法一：一阶导数变号法

考察 $x$ 从 $x_0$ 左侧到右侧时 $f'(x)$ 的符号变化：

$f'(x)$ 左 $f'(x)$ 右 结论
$-$（减） $+$（增） 极小值点
$+$（增） $-$（减） 极大值点
同号 同号 不是极值点

方法二：泰勒展开（最通用）

把 $f(x)$ 在 $x_0$ 处展开到第一个非零项：

$$f(x)-f(x_0)=\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k+\cdots$$
  • $k$ 为偶数：$f^{(k)}(x_0)>0$ → 极小值；$f^{(k)}(x_0)<0$ → 极大值
  • $k$ 为奇数：不是极值点（拐点）

Caution

判断完 $f(x)-f(x_0)$ 的符号后，再读一遍结论：

  • $f(x)-f(x_0)\leq 0$（非正）→ $x_0$ 为极大值点（山顶）
  • $f(x)-f(x_0)\geq 0$（非负）→ $x_0$ 为极小值点（谷底）

你之前 $f''(0)=0$ 用泰勒展开对了，但符号结论写反了。展开完一定要再读一遍：$f(x)\leq f(x_0)$ 是极大还是极小？

4.2 凸性与切线关系

Important

几何直觉（选填秒杀）：

  • $f''(x)>0$（下凸/凹向上）→ 切线在曲线下方
  • $f''(x)<0$（上凸/凹向下）→ 切线在曲线上方

这条几何性质在做不等式题时比任何代数推导都快。

实例： $f''(x)<0$（上凸），$f(1)=f'(1)=1$，判断 $f(x)$ 与 $x$ 的大小。

在 $x=1$ 处的切线方程：

$$y = f(1)+f'(1)(x-1) = 1+(x-1) = x$$

上凸 → 曲线在切线下方 → $f(x)\leq x$ 恒成立 ✅

代数构造法（写过程用）： 令 $g(x)=f(x)-x$

  • $g'(x)=f'(x)-1$，$g''(x)=f''(x)<0$
  • $g'(x)$ 单调递减，$g'(1)=0$
  • $x<1$ 时 $g'(x)>0$，$x>1$ 时 $g'(x)<0$
  • $g(1)=0$ → $g(x)\leq 0$ 恒成立 → $f(x)\leq x$

Important

看到 $f''(x)$ 符号 + 给了某点函数值和导数值 → 第一反应：构造该点切线，用凸性比大小。

4.3 渐近线

水平渐近线： $\displaystyle\lim_{x\to\pm\infty} f(x)=c$ → $y=c$

垂直渐近线： $\displaystyle\lim_{x\to x_0} f(x)=\infty$ → $x=x_0$

斜渐近线： $y=kx+b$，其中

$$k=\lim_{x\to\pm\infty}\frac{f(x)}{x},\quad b=\lim_{x\to\pm\infty}[f(x)-kx]$$

注意左右无穷可能不同，$k$ 和 $b$ 缺一不可。

五、组合题型：极限 + 导数定义

Important

核心技巧：从极限式里"揪出"导数定义

$$ \lim_{h\to0}\frac{f(x_0+ah)-f(x_0+bh)}{(a-b)h}=f'(x_0)\quad(a\neq b) $$

更通用的手法——补中间点拆成两个导数定义：

$$\frac{f(x_0+ah)-f(x_0+bh)}{h}= \frac{f(x_0+ah)-f(x_0)}{h}+\frac{f(x_0)-f(x_0+bh)}{h}$$

本质是"制造增量"： 看到差式 $f(\cdot)-f(\cdot)$，补上中间点 $f(x_0)$，拆成两个导数定义的和。

Warning

化简过程中用阶数检查兜底

每化简一步，花 3 秒估算一下分子分母的阶数：

  • 分母是 $x^2$ 阶 → 分子最终也应该是 $x^2$ 阶
  • 如果分子算成了 $x$ 阶 → 说明某步抄错了或者化简出问题了

这种检查花不了 5 秒，能救下不少粗心分。

六、整体薄弱点一览

优先级 薄弱点 具体表现
🔴 分段点可导性 用求导公式代替定义走左右导
🔴 导数连续性 算出 $f'(x_0)$ 就收工，没算 $\lim f'(x)$
🔴 $f''(x_0)=0$ 处理 二阶判别法失效后直接放弃
🟡 取对数/降幂识别 暴力求导，该用技巧时没触发
🟡 参数方程二阶导 忘掉除以 $\varphi'(t)$
🟢 辅助函数构造 记熟配对表，按结论形式选
🟢 阶数检查 化简时花 3 秒估算阶数兜底

费曼小记

这次复盘不是费曼对话，但有几个点值得自己记下来反复看：

1. “定义走左右导"这个流程要刻进本能

遇到分段点，不要思考"这个点能不能套公式”——直接上定义走左右导。走完再说话。

2. 判断导数连续性，心里永远有一个两步清单

$$f'(x_0)\ \text{存在} \xrightarrow{\text{多走一步}} \lim_{x\to x_0} f'(x) \stackrel{?}{=} f'(x_0)$$

3. $f''(x_0)=0$ 不要慌，还有两条路

先试泰勒展开（最强），不行用一阶变号法（更直观）。展开完确认结论读对——$f(x)-f(x_0)\leq 0$ 是极大值。

4. 组合极限题，先拆导数定义，再算极限

看到 $\dfrac{f(\cdot)-f(\cdot)}{\cdot}$ 形式 → 先写 $=f'(x_0)\times\dfrac{\text{增量差}}{x^k}$，再处理剩下的极限。