第二类换元法·基础题错题复盘

2026-07-27

本次学习地图

第二类换元法 基础题
├── 例3.11 — 已知积分解 f(x) → 代回目标积分
│   └── 翻车点：分母指数手写丢失
├── 例3.14 — √(a² - u²) 型三角换元
│   └── 翻车点：∫cos2t dt 系数 1/2 遗忘
├── 例3.16 — √[(1-x)/(1+x)] 有理化选择
│   └── 翻车点：根号放分母时代换√(1-x²) 错写成 sin t
├── 刷题 (2-3x)^{1/3} — 幂函数积分基础失误
│   └── 翻车点：指数加1取倒数，系数颠倒了
├── 刷题18 — 分清幂积分与对数积分
│   └── 翻车点：1/u² 当成 1/u 积成了 ln
└── tan√(1+x²) — 换元正确但多出多余系数
    └── 翻车点：配 du 后额外多了 1/2

本次需要重点关注的内容：

换元后积分的代数化简：cos²t 的因式分解技巧
∫cos2t 的系数不要忘：这是三角换元中的高频失分点
根号分式的两种有理化路径：放分子 vs 放分母，选哪条更好走
幂函数积分 vs 对数积分的边界：1/u² 是幂积分，不是 ln
换元后系数检查：配出 du 后检查有无多余系数

正题复盘

刷题1 ⭐ — 分式展开手瓢

题目

已知 $\displaystyle\int f(x)\,dx = x\arctan x + C$，求 $\displaystyle\int\frac{f(x)}{1+x^2}\,dx$。

错因诊断

计算失误 — 思路、公式全对，仅在展开分式时分母指数丢失。

知识定位

已知积分解 $f(x)$：对等式两边求导，$f(x) = \frac{d}{dx}\big(x\arctan x\big)$
乘积法则：$(uv)' = u'v + uv'$
换元积分法：令 $u = \arctan x$ 和 $u = 1+x^2$ 两个标准换元

正解重构

第一步：求 $f(x)$

$$ \begin{aligned} f(x) &= \frac{d}{dx}\big(x\arctan x\big) \\ &= 1\cdot\arctan x + x\cdot\frac{1}{1+x^2} \\ &= \arctan x + \frac{x}{1+x^2} \end{aligned} $$

✅ 求导过程正确。

第二步：代入目标积分并展开

$$ \int\frac{f(x)}{1+x^2}\,dx = \int\frac{\arctan x + \frac{x}{1+x^2}}{1+x^2}\,dx = \int\frac{\arctan x}{1+x^2}\,dx + \int\frac{x}{(1+x^2)^2}\,dx $$

Caution

此处是翻车点

第二个分式的分母原本是 $(1+x^2)^2$，手写时指数 2 被丢掉了，写成了 $(1+x)^2$ 或 $1+x^{?}$。

错：$\displaystyle\int\frac{x}{(1+x^2)}\,dx$（少了平方）

对：$\displaystyle\int\frac{x}{(1+x^2)^2}\,dx$

第三步：分别积分

左边：令 $u = \arctan x$，$du = \frac{dx}{1+x^2}$

$$ \int\frac{\arctan x}{1+x^2}\,dx = \int u\,du = \frac{u^2}{2} = \frac{(\arctan x)^2}{2} $$

右边：令 $u = 1+x^2$，$du = 2x\,dx$，$x\,dx = \frac{1}{2}du$

$$ \int\frac{x}{(1+x^2)^2}\,dx = \int\frac{1}{2}\cdot\frac{du}{u^2} = -\frac{1}{2u} = -\frac{1}{2(1+x^2)} $$

第四步：合并答案

$$ \int\frac{f(x)}{1+x^2}\,dx = \frac{(\arctan x)^2}{2} - \frac{1}{2(1+x^2)} + C $$

避免错误的要点

Important

展开多项式分式时，先写出分母的完整形式，再写分子，不要跳步。

$\displaystyle\frac{A + B/C}{D}$ 展开后是 $\displaystyle\frac{A}{D} + \frac{B}{CD}$，其中 $C$ 和 $D$ 各自的指数要逐项核对。

草稿每展开一步，回头看一眼分母的指数是否与上一步一致。

刷题2 ⭐⭐ — $\sin2t$ 系数幽灵

题目

求不定积分 $\displaystyle\int\sqrt{-x^2 + 2x + 1}\,dx$。

错因诊断

计算失误 — $\int\cos2t\,dt$ 的系数 $\frac12$ 被遗忘，导致最终答案的第二项翻倍。

知识定位

配方法：$-x^2 + 2x + 1 = -(x-1)^2 + 2$
三角换元：$\sqrt{a^2 - u^2}$ 型，令 $u = a\sin t$
倍角公式：$\cos^2 t = \frac{1+\cos2t}{2}$
反向代换：$\sin2t = 2\sin t\cos t$

正解重构

第一步：配方

$$ \begin{aligned} \sqrt{-x^2 + 2x + 1} &= \sqrt{-(x-1)^2 + 2} \\ &= \sqrt{(\sqrt2)^2 - (x-1)^2} \end{aligned} $$

✅ 配方正确，识别为 $\sqrt{a^2 - u^2}$ 标准型。

第二步：三角换元

令 $x-1 = \sqrt2\sin t$，则 $dx = \sqrt2\cos t\,dt$。

$$ \begin{aligned} \int\sqrt{2 - (x-1)^2}\,dx &= \int\sqrt{2 - 2\sin^2 t} \cdot \sqrt2\cos t\,dt \\ &= \int\sqrt{2\cos^2 t} \cdot \sqrt2\cos t\,dt \\ &= \int\sqrt2|\cos t| \cdot \sqrt2\cos t\,dt \\ &= 2\int\cos^2 t\,dt \quad (\text{$t$ 在第一象限，$\cos t > 0$}) \end{aligned} $$

✅ 前两步代换正确。

第三步：降幂积分

$$ \begin{aligned} 2\int\cos^2 t\,dt &= 2\int\frac{1+\cos2t}{2}\,dt \\ &= \int(1+\cos2t)\,dt \\ &= t + \int\cos2t\,dt \end{aligned} $$

Caution

此处是翻车点

$\int\cos2t\,dt$ 的标准结果是 $\frac12\sin2t + C$，不是 $\sin2t + C$。

记住：$\int\cos(kt)\,dt = \frac1k\sin(kt) + C$，这里的 $k=2$，系数是 $\frac12$。

正确：
$$ > t + \frac12\sin2t + C > $$

第四步：代回 $x$

$$ \frac12\sin2t = \frac12 \cdot 2\sin t\cos t = \sin t\cos t $$

由 $x-1 = \sqrt2\sin t$ 得 $\sin t = \frac{x-1}{\sqrt2}$，$t = \arcsin\frac{x-1}{\sqrt2}$。

$$ \cos t = \sqrt{1 - \frac{(x-1)^2}{2}} = \frac{\sqrt{2 - (x-1)^2}}{\sqrt2} $$

因此：

$$ \begin{aligned} \sin t\cos t &= \frac{x-1}{\sqrt2} \cdot \frac{\sqrt{2 - (x-1)^2}}{\sqrt2} \\ &= \frac{(x-1)\sqrt{2-(x-1)^2}}{2} \end{aligned} $$

✅ 代回过程无误（注意这里已经把 $\frac12$ 正确代入了）。

最终答案：

$$ \int\sqrt{-x^2+2x+1}\,dx = \arcsin\frac{x-1}{\sqrt2} + \frac{(x-1)\sqrt{2-(x-1)^2}}{2} + C $$

避免错误的要点

Important

处理 $\int\cos(kt)\,dt$ 时，在积分符号旁边直接写上系数，不要等代回了才想起来：
$$ > \int\cos2t\,dt \xrightarrow{\text{立刻写}} \frac12\sin2t + C > $$
养成习惯：看到 $\cos kt$ 或 $\sin kt$，自动在下一步写上 $\frac1k$。

刷题3 ⭐⭐ — 根号分式路径选择

题目

求不定积分 $\displaystyle\int\frac{1}{x}\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}\,dx$。

错因诊断

思路卡壳 + 计算失误 — 方向一做到 $\frac{\cos^2 t}{\sin t(1+\sin t)}$ 后卡住，未能识别 $\cos^2 t = (1-\sin t)(1+\sin t)$ 的因式分解。

方向二代换时 $\sqrt{1-x^2}$ 被误代成 $\sin t$ 而非 $\cos t$，导致后续积分路径扭曲。

知识定位

根号分式的两种有理化形式：
- 放分子：$\sqrt{\frac{1-x}{1+x}} = \frac{\sqrt{1-x^2}}{1+x}$
- 放分母：$\sqrt{\frac{1-x}{1+x}} = \frac{1-x}{\sqrt{1-x^2}}$
三角换元 $x = \sin t$ 下，$\sqrt{1-x^2} = \sqrt{1-\sin^2 t} = |\cos t|$
恒等式：$\cos^2 t = 1-\sin^2 t = (1-\sin t)(1+\sin t)$
$\int\csc t\,dt = \ln|\csc t - \cot t| + C$

正解重构

这里有两种可行的路径，殊途同归。

方向一（根号放分子）：

$$ \sqrt{\frac{1-x}{1+x}} = \frac{\sqrt{1-x^2}}{1+x} $$

令 $x = \sin t$，$dx = \cos t\,dt$：

$$ \begin{aligned} \int\frac{1}{x}\cdot\frac{\sqrt{1-x^2}}{1+x}\,dx &= \int\frac{1}{\sin t}\cdot\frac{\cos t}{1+\sin t}\cdot\cos t\,dt \\ &= \int\frac{\cos^2 t}{\sin t(1+\sin t)}\,dt \end{aligned} $$

✅ 前两步代换正确。

Warning

卡壳点：到这里就停住了

关键的一步：$\cos^2 t = 1 - \sin^2 t = (1 - \sin t)(1 + \sin t)$。

代入后分母的 $(1+\sin t)$ 直接约掉：
$$ > \int\frac{(1-\sin t)(1+\sin t)}{\sin t(1+\sin t)}\,dt > = \int\frac{1-\sin t}{\sin t}\,dt > = \int\left(\frac{1}{\sin t} - 1\right)dt > $$

$$ \begin{aligned} \int\left(\frac{1}{\sin t} - 1\right)dt &= \ln|\csc t - \cot t| - t + C \end{aligned} $$

代回 $x = \sin t$：

$$ t = \arcsin x,\quad \csc t = \frac{1}{x},\quad \cot t = \frac{\sqrt{1-x^2}}{x} $$

最终：

$$ \int\frac{1}{x}\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}\,dx = \ln\left|\frac{1 - \sqrt{1-x^2}}{x}\right| - \arcsin x + C $$

方向二（根号放分母）：

$$ \sqrt{\frac{1-x}{1+x}} = \frac{1-x}{\sqrt{1-x^2}} $$

令 $x = \sin t$，$dx = \cos t\,dt$：

Caution

此处是翻车点

$\sqrt{1-x^2}$ 代换为 $\sin t$ 是错误的。正确代换：

错：$\displaystyle\sqrt{1-x^2} = \sqrt{1-\sin^2 t} \to \sin t$

对：$\displaystyle\sqrt{1-x^2} = \sqrt{1-\sin^2 t} = \sqrt{\cos^2 t} = |\cos t|$

在第一象限，取 $\cos t$。

正确代换后：

$$ \begin{aligned} \int\frac{1}{x}\cdot\frac{1-x}{\sqrt{1-x^2}}\,dx &= \int\frac{1}{\sin t}\cdot\frac{1-\sin t}{|\cos t|}\cdot\cos t\,dt \\ &= \int\frac{1-\sin t}{\sin t}\,dt \quad (\cos t > 0\text{ 时约掉}) \\ &= \int\left(\frac{1}{\sin t} - 1\right)dt \end{aligned} $$

与方向一汇合于同一积分，结果一致 ✅

两路对比

$$ \begin{aligned} \text{放分子：}&\quad \frac{\sqrt{1-x^2}}{1+x} \quad\to\quad \frac{\cos^2 t}{\sin t(1+\sin t)} \quad\xrightarrow{\cos^2 = (1-\sin)(1+\sin)}\quad \frac{1-\sin t}{\sin t} \\ \text{放分母：}&\quad \frac{1-x}{\sqrt{1-x^2}} \quad\to\quad \frac{1-\sin t}{|\cos t|}\cdot\cos t \quad\xrightarrow{\text{直接约掉}\ \cos t}\quad \frac{1-\sin t}{\sin t} \end{aligned} $$

方向二是更优选择 — 代入后 $\cos t$ 从分母和 $dx$ 中各出现一次，直接对消，少了一步因式分解的思考。

避免错误的要点

Important

遇到 $\sqrt{\frac{a-x}{a+x}}$ 型根号分式：

先写下两种有理化形式：$\frac{\sqrt{a^2-x^2}}{a+x}$ 与 $\frac{a-x}{\sqrt{a^2-x^2}}$

三角换元 $x = a\sin t$ 后，$\sqrt{a^2-x^2} = a\cos t$

选分母有 $\sqrt{a^2-x^2}$ 的那条路 — 因为 $dx = a\cos t\,dt$ 会和分母的 $\cos t$ 对消，少处理一层分式

$\sqrt{1-x^2}$ 换成 $x = \sin t$ 后永远是 $\cos t$，不是 $\sin t$。 如果代换成别的，八成是抄串了。

刷题4 ⭐ — 幂函数积分系数颠倒

题目

求不定积分 $\displaystyle\int (2-3x)^{\frac13}\,dx$。

错因诊断

计算失误 — 幂函数积分 $\int u^{\frac13}du$ 中指数加1得 $\frac43$，系数取倒数应为 $\frac34$，写成了 $\frac32$。

知识定位

幂函数积分公式：$\displaystyle\int u^n\,du = \frac{u^{n+1}}{n+1} + C \quad (n \neq -1)$
一次函数复合换元：令 $u = 2-3x$，$du = -3dx$

正解重构

第一步：换元

令 $u = 2-3x$，则 $du = -3\,dx$，$dx = -\frac13 du$：

$$ \int (2-3x)^{\frac13}\,dx = \int u^{\frac13} \cdot \left(-\frac13\right) du = -\frac13 \int u^{\frac13} du $$

✅ 代换系数正确。

第二步：幂函数积分

$$ \int u^{\frac13} du = \frac{u^{\frac13+1}}{\frac13+1} + C = \frac{u^{\frac43}}{\frac43} + C = \frac34 u^{\frac43} + C $$

Caution

此处是翻车点

指数加1：$\frac13+1 = \frac43$ ✅（不是 $\frac23$）

取倒数：$1 / (\frac43) = \frac34$ ✅（不是 $\frac32$）

你的错误版本二写的是 $-\frac13 \times \frac32 \, u^{\frac43} = -\frac12 u^{\frac43}$，这里 $\frac32$ 是 $\frac34$ 的分子分母颠倒。

第三步：合并与代回

$$ -\frac13 \cdot \frac34 \, u^{\frac43} = -\frac14 (2-3x)^{\frac43} + C $$

✅ 最终答案正确。

避免错误的要点

Important

处理分数指数幂函数积分时，两步走：

指数加1：$\frac13 \to \frac43$（通分：$\frac13 + \frac33 = \frac43$）

取倒数：$\frac{1}{4/3} = \frac34$（分子分母交换位置）

口诀：指数加一分之一，底倒写回分子去。

也可以在草稿上直接验证数值：假设 $u=1$，$u^{\frac13} = 1$ 积分区间 $[0,1]$ 的定积分应约为 $3/4$，如果算出 $3/2$ 明显偏大，说明系数错了。

刷题5 ⭐ — 误把幂积分当对数积分

题目

求不定积分 $\displaystyle\int\frac{dx}{(\arcsin x)^2\sqrt{1-x^2}}$。

错因诊断

概念混淆 — $\int\frac{1}{u^2}du$ 被误认为 $\int\frac{1}{u}du$，错用了 $\ln$ 公式。$\frac{1}{u^2} = u^{-2}$ 是幂函数积分（$n=-2$），不是对数积分。

知识定位

换元法：令 $u = \arcsin x$，$du = \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}$
幂函数积分公式：$\displaystyle\int u^n\,du = \frac{u^{n+1}}{n+1} + C$
区分：$\displaystyle\int u^{-1}du = \ln|u| + C$（特例，$n=-1$）vs $\displaystyle\int u^{-2}du = -u^{-1} + C$（一般幂积分，$n=-2$）

正解重构

第一步：换元

令 $u = \arcsin x$，则 $du = \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}$。

$$ \int\frac{dx}{(\arcsin x)^2\sqrt{1-x^2}} = \int\frac{du}{u^2} $$

✅ 换元正确。

第二步：积分

$$ \int\frac{du}{u^2} = \int u^{-2}\,du $$

Caution

此处是翻车点

你写成了 $\ln(\arcsin x) + C$，这是 $\int\frac{1}{u}du$ 的结果。

$\frac{1}{u^2}$ 的指数 $n = -2$，套幂积分公式：
$$ > \int u^{-2}\,du = \frac{u^{-2+1}}{-2+1} + C = \frac{u^{-1}}{-1} + C = -\frac{1}{u} + C > $$

最终答案：

$$ \int\frac{dx}{(\arcsin x)^2\sqrt{1-x^2}} = -\frac{1}{\arcsin x} + C $$

避免错误的要点

Important

根因很简单：$1/u$ 才出 $\ln$，$1/u^n$（$n\neq1$）都是幂积分。

写完 $\int\frac{1}{u^2}du$ 后停一秒，问自己：指数是几？

指数 $=-1$ → $\ln$

指数 $=-2$ 或其他 → 幂积分公式

对比记：

$\displaystyle\int\frac{1}{u}du = \ln|u| + C$

$\displaystyle\int\frac{1}{u^2}du = -\frac{1}{u} + C$

$\displaystyle\int\frac{1}{u^3}du = -\frac{1}{2u^2} + C$

刷题6 ⭐ — 换元后多出多余系数

题目

求不定积分 $\displaystyle\int \tan\sqrt{1+x^2} \cdot \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}\,dx$。

错因诊断

计算失误 — 换元 $u = \sqrt{1+x^2}$ 完全正确，$du = \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}dx$ 也对了，但配出 $du$ 后又凭空多乘了一个 $\frac12$。

知识定位

复合换元：令 $u = \sqrt{1+x^2}$，$du = \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}dx$
$\displaystyle\int\tan u\,du = \ln|\sec u| + C = -\ln|\cos u| + C$

正解重构

第一步：换元

令 $u = \sqrt{1+x^2}$，则 $du = \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}dx$。

因此原积分直接等于：

$$ \int \tan u \, du $$

Caution

此处是翻车点

你的第一步多写了 $\frac12$：

错：$\displaystyle\frac12\int\tan u\,du$

对：$\displaystyle\int\tan u\,du$

$du$ 本身已经完整包含了 $\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}dx$，不需要额外乘系数。

第二步：积分

$$ \int \tan u \, du = \ln|\sec u| + C = -\ln|\cos u| + C $$

Note

你的最终答案写了两个 $\ln$：$\frac12\ln|\sec u| - \frac12\ln|\cos u| + C$。

注意 $-\ln|\cos u| = \ln|\sec u|$，所以两个 $\frac12\ln$ 相加等于 $\ln|\sec u|$。

你多乘的 $\frac12$ 被两个 $\ln$ 的合并误打误撞抵消了，但这是巧合，不要依赖。

代回：

$$ \int \tan\sqrt{1+x^2} \cdot \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}\,dx = \ln|\sec\sqrt{1+x^2}| + C = -\ln|\cos\sqrt{1+x^2}| + C $$

避免错误的要点

Important

配 $du$ 时，写完换元式和微分式后，逐项核对：

$du = \frac{d}{dx}\big(\sqrt{1+x^2}\big)\,dx = \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}\,dx$ ✅

$\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}\,dx$ 已经完整体现在被积函数中 → 直接换

不需要再额外乘 $\frac12$ 或其他系数

习惯：做完换元后，把原来积分中的 $dx$ 用 $du$ 的表达式完整替换，然后检查是否有剩余因子。如果没有剩余，系数就是 1。

如果有剩余因子（例如 $x$ 没消干净），才需要进一步处理——但本例没有。

薄弱点汇总

Warning

🔴 死穴一：分母指数/系数在代换展开时丢失

涉及题号：刷题1、刷题2、刷题6

表现：展开分式时分母指数掉了（刷题1）、$\int\cos2t$ 的 $\frac12$ 忘了（刷题2）、换元后多乘 $\frac12$（刷题6）

避免：每展开一步，回头看一眼分母指数与上一步是否一致；遇到 $\cos kt$ 直接在下一行写 $\frac1k\sin kt$；配出 $du$ 后检查有无剩余系数

复习间隔：1天后

Warning

🔴 死穴二：幂函数积分基础不牢

涉及题号：刷题4、刷题5

表现：分数指数加1后取倒数，分子分母颠倒（刷题4）；$1/u^2$ 当成 $1/u$ 积成了 $\ln$（刷题5）

避免：$\int u^{\frac{m}{n}}du$ 两步走——指数加1得 $\frac{m+n}{n}$，取倒数得 $\frac{n}{m+n}$；写完 $\int\frac{1}{u^n}du$ 先看指数是不是 $-1$，不是就用幂公式

复习间隔：1天后

Warning

🔴 死穴三：三角换元中 $\sqrt{1-x^2}$ 的代换取值错误

涉及题号：刷题3

表现：$x = \sin t$ 代换下，把 $\sqrt{1-x^2}$ 写成了 $\sin t$ 而不是 $\cos t$

避免：先写出 $x = a\sin t \Rightarrow \sqrt{a^2 - x^2} = a\cos t$ 这个对应关系，再代入表达式

复习间隔：3天后

Note

🟢 提醒：$\cos^2 t$ 因式分解的眼光

涉及题号：刷题3

表现：做完三角换元后卡在 $\frac{\cos^2 t}{\sin t(1+\sin t)}$，没看出 $\cos^2 t = (1-\sin t)(1+\sin t)$ 可以约分

避免：遇到 $\cos^2 t$ 和 $\sin t$ 的组合，脑子里过一遍 $\cos^2 t = 1-\sin^2 t$ 这个恒等式，看能不能因式分解

复习间隔：7天后

Note

🟢 提醒：分部积分后处理假分式的技巧

涉及题号：$\arctan\sqrt{x}$（你做对了 ✅）

表现：分部积分后遇到 $\frac{x}{1+x}$，没第一时间用「加一减一」拆成 $1 - \frac{1}{1+x}$

避免：分子分母同次时（$\frac{x}{1+x}$、$\frac{u^2}{1+u^2}$），加一项减一项拆成「$1 + $ 余项」是标准套路

复习间隔：7天后

建议复习内容

回顾 $\sqrt{a^2 - x^2}$、$\sqrt{a^2 + x^2}$、$\sqrt{x^2 - a^2}$ 三种三角换元的代换形式，建议写一张对照卡
回顾 $\int\cos kt\,dt$、$\int\sin kt\,dt$ 的系数公式，练 3-5 道含倍角公式的积分
重点训练幂函数分数指数积分：$\int x^{\frac12}dx$、$\int x^{\frac13}dx$、$\int x^{-\frac12}dx$ 等各练 1 道，直到闭着眼不出错
对比记忆：$\int\frac{1}{u}du = \ln|u|$ vs $\int\frac{1}{u^2}du = -\frac1u$，写对照卡贴在桌边