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本次学习重点：
- 📚 原函数与不定积分基础
- 原函数定义（含任意常数 C）
- 不定积分的两个性质
- 📋 积分表（六大类）
- 幂指对 / 三角函数 / 含 a 分式根式 / sec·csc
- 🔄 第一类换元法（凑微分）
- 核心思想：f(框)d(框)
- 分子凑分母导数技巧（三角版 + 一般版）
- 🔄 第二类换元法
- 三种三角代换（sin/tan/sec）+ 取值范围
- 画三角形回代法
- 根式代换（能用三角就别用）
- 🔢 sinⁿx/cosⁿx 积分策略
- 奇次 → 凑微分
- 偶次 → 降幂公式
- ✂️ 分部积分法
- 公式推导 + 反对幂指三口訣
本次需要重点关注的内容
- 原函数不唯一（＋C）的本质含义
- 微分与积分的互逆性是验算依据
- 第一换元"选框"的眼力——为什么有些结构一眼就该凑
- 第二换元三种代换的对应关系不能搞反
- 分部积分中 u 和 dv 的选取逻辑
一、原函数与不定积分
$$ \int f(x)\,dx = F(x) + C $$Note
原函数定义
在区间 $I$ 上，若恒有 $F'(x)=f(x)$，则称 $F(x)$ 是 $f(x)$ 在区间 $I$ 上的一个原函数。
不定积分定义
$f(x)$ 在区间 $I$ 上的全体原函数称为 $f(x)$ 的不定积分，记作：
其中 $C$ 为任意常数（积分常数）。
条件拆解
graph LR A[原函数定义] --> B[F'x = fx] A --> C[区间 I 上] B --> D[原函数不唯一] D --> E[Fx + C 都是原函数] C --> F[不同区间可不同常数] C --> G[1/x 在正负区间可设不同C]
关键理解
- “一个"原函数——原函数不唯一。如果 $F$ 是原函数，那么 $F+C$（$C$ 为任意常数）也是，因为常数的导数为零。
- 区间 $I$ 的重要性——原函数与区间绑定。例如 $f(x)=\frac{1}{x}$ 在 $(-\infty,0)$ 和 $(0,+\infty)$ 上可以分别取不同的常数，写成 $\ln|x|+C_1$ 和 $\ln|x|+C_2$。
Warning
误区： 认为一个函数的原函数是唯一的。实际上原函数相差一个常数，不定积分必须带 $+C$。考试中去掉 $+C$ 直接扣分。
二、不定积分的两个基本性质
性质 1：线性性质（拆项与提系数）
若函数 $f(x)$ 和 $g(x)$ 的原函数都存在，则：
$$ \int [k_1 f(x) + k_2 g(x)]\,dx = k_1\int f(x)\,dx + k_2\int g(x)\,dx $$其中 $k_1,k_2$ 为常数。这意味着加减小括号、常数可外提，与求导的线性性质对应。
性质 2：微分与积分的互逆性
这是验算积分结果是否正确的核心工具：
-
先积后微（积分结果的导数等于被积函数）：
$$ \frac{d}{dx}\left[\int f(x)\,dx\right] = f(x) $$ -
先微后积（导数的积分等于原函数加任意常数 $C$）：
$$ \int F'(x)\,dx = F(x) + C \quad\text{或}\quad \int dF(x) = F(x) + C $$
Note
这两条性质揭示了不定积分的本质：微分和积分是一对互逆运算，不定积分就是微分的"逆操作”。做完积分题后，对结果求导看是否回到被积函数——这是最直接的检验手段。
三、积分表（六大类，务必熟记）
Important
积分表是凑微分法的基础。不背熟，凑微分时找不到"框"对应什么原函数。
一、幂函数与指数对数
- $\displaystyle\int x^n\,dx = \dfrac{x^{n+1}}{n+1} + C \quad (n\neq -1)$
- $\displaystyle\int \dfrac{1}{x}\,dx = \ln|x| + C \quad (n=-1)$
- $\displaystyle\int e^x\,dx = e^x + C$
- $\displaystyle\int a^x\,dx = \dfrac{a^x}{\ln a} + C \quad (a>0,\,a\neq1)$
二、三角函数（核心高频）
- $\displaystyle\int\sin x\,dx = -\cos x + C$
- $\displaystyle\int\cos x\,dx = \sin x + C$
- $\displaystyle\int\tan x\,dx = -\ln|\cos x| + C$
- $\displaystyle\int\cot x\,dx = \ln|\sin x| + C$
- $\displaystyle\int\sec^2 x\,dx = \tan x + C$ （❗不是 $\sec x$）
- $\displaystyle\int\csc^2 x\,dx = -\cot x + C$
- $\displaystyle\int\sec x\tan x\,dx = \sec x + C$
- $\displaystyle\int\csc x\cot x\,dx = -\csc x + C$
三、含 $a$ 的分式与根式（高频考点）
- $\displaystyle\int\frac{1}{x^2+a^2}\,dx = \frac{1}{a}\arctan\frac{x}{a} + C \quad (a>0)$
- $\displaystyle\int\frac{1}{x^2-a^2}\,dx = \frac{1}{2a}\ln\left|\frac{x-a}{x+a}\right| + C$
- $\displaystyle\int\frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}\,dx = \arcsin\frac{x}{a} + C \quad (a>0)$
- $\displaystyle\int\frac{1}{\sqrt{x^2\pm a^2}}\,dx = \ln\left|x + \sqrt{x^2\pm a^2}\right| + C$
四、正割余割的单独积分
- $\displaystyle\int\sec x\,dx = \ln|\sec x + \tan x| + C$
- $\displaystyle\int\csc x\,dx = \ln|\csc x - \cot x| + C$
Warning
容易记混的两组：
- $\int\sec^2 x\,dx = \tan x + C$，不是 $\sec x$！$\sec x$ 的积分是 $\ln|\sec x+\tan x|$。
- $\int\frac{1}{x^2-a^2}\,dx$ 和 $\int\frac{1}{\sqrt{x^2-a^2}}\,dx$ 结果完全不同——前者是 $\frac{1}{2a}\ln\left|\frac{x-a}{x+a}\right|$，后者是 $\ln|x+\sqrt{x^2-a^2}|$。
四、第一类换元法（凑微分）
$$ \int f(\varphi(x))\cdot\varphi'(x)\,dx = \int f(\varphi(x))\,d[\varphi(x)] = \int f(\text{框})\,d(\text{框}) $$Important
核心思想： 将积分表达式凑成 $f(\text{框})\,d(\text{框})$ 的结构，然后直接对 “框” 积分。
操作方法
步骤 1：选框——选出 φ(x)，它求导后在式子里有体现（或差个常系数）
步骤 2：换框——把 φ'(x)dx 写成 d[φ(x)]
步骤 3：积分——∫f(框)d(框) = F(框) + C
步骤 4：回代——将框 = φ(x) 代回
例题
求 $\displaystyle\int 2x e^{x^2}\,dx$
- 看到 $x^2$ 的导数是 $2x$，令 $\text{框} = x^2$
- $d(\text{框}) = 2x\,dx$
- 原式 $= \int e^{\text{框}}\,d(\text{框}) = e^{\text{框}} + C = e^{x^2} + C$
分子凑分母导数（进阶技巧）
当分母为特定结构（如 $\sin x \pm \cos x$ 或一般的二次有理式）时，可以将分子写成分母与分母导数的线性组合，拆成两部分：
- 第一部分 $\displaystyle\int\frac{D'}{D}\,dx = \ln|D| + C$
- 第二部分变成标准积分
三角版：$\displaystyle\int\frac{\sin x}{\sin x + \cos x}\,dx$
令 $D = \sin x + \cos x$，则 $D' = \cos x - \sin x$。
设 $\sin x = A(\sin x + \cos x) + B(\cos x - \sin x)$，比较系数：
- $\sin x$ 项：$1 = A - B$
- $\cos x$ 项：$0 = A + B$
解得 $A = \dfrac{1}{2},\; B = -\dfrac{1}{2}$。
于是：
$$ \begin{aligned} \int\frac{\sin x}{\sin x + \cos x}\,dx &= \int\frac{\frac{1}{2}D - \frac{1}{2}D'}{D}\,dx \\ &= \frac{1}{2}\int dx - \frac{1}{2}\int\frac{D'}{D}\,dx \\ &= \frac{1}{2}x - \frac{1}{2}\ln|\sin x + \cos x| + C \end{aligned} $$一般函数版：$\displaystyle\int\frac{x+3}{x^2+4x+5}\,dx$
令 $D = x^2 + 4x + 5$，$D' = 2x + 4$。
由于 $D$ 是二次的，分子只有一次，所以设：
$$ x + 3 = A(2x + 4) + B $$比较系数：$2A = 1 \Rightarrow A = \frac{1}{2}$，$4A + B = 3 \Rightarrow B = 1$。
于是：
$$ \begin{aligned} \int\frac{x+3}{x^2+4x+5}\,dx &= \frac{1}{2}\int\frac{2x+4}{x^2+4x+5}\,dx + \int\frac{1}{x^2+4x+5}\,dx \\ &= \frac{1}{2}\ln|x^2+4x+5| + \int\frac{dx}{(x+2)^2+1} \\ &= \frac{1}{2}\ln(x^2+4x+5) + \arctan(x+2) + C \end{aligned} $$Note
两种版本的对比：
场景 分母 $D$ $D'$ 分解形式 三角版 $\sin x+\cos x$ $\cos x-\sin x$ $A\cdot D + B\cdot D'$ 一般版 $x^2+4x+5$ $2x+4$ $A\cdot D' + B$（因为分子一次） 本质一致： 把分子拆成"分母的导数 $\times$ 系数 + 尾巴"，第一坨积出 $\ln|D|$，第二坨化为标准积分。
五、第二类换元法
Important
核心思想： 当被积函数含有难缠的根号 $\sqrt{a^2-x^2}$、$\sqrt{a^2+x^2}$、$\sqrt{x^2-a^2}$ 时，主动换掉自变量 $x$，令 $x = \varphi(t)$，利用三角恒等式消去根号，积分完再回代。
第一换元是"凑框"（$u = \varphi(x)$），第二换元是"换人"（$x = \varphi(t)$）。
三种基本三角代换
| 根式类型 | 代换令 $x =$ | $t$ 取值范围 | 根号化为 | $dx$ |
|---|---|---|---|---|
| $\sqrt{a^2 - x^2}$ | $a\sin t$ (或 $a\cos t$) | $t\in[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]$ | $a\cos t$ | $a\cos t\,dt$ |
| $\sqrt{a^2 + x^2}$ | $a\tan t$ | $t\in(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})$ | $a\sec t$ | $a\sec^2 t\,dt$ |
| $\sqrt{x^2 - a^2}$ | $a\sec t$ | $t\in[0,\frac{\pi}{2})$ | $a\tan t$ | $a\sec t\tan t\,dt$ |
$t$ 取值范围的意义
每个代换的 $t$ 范围都是精心选过的，目的是确保开方出来的结果不带绝对值：
- $\sin t$ 在 $[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]$ 上 $\cos t \ge 0$ → $\sqrt{a^2-x^2}=a\cos t$ ✅
- $\tan t$ 在 $(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})$ 上 $\sec t > 0$ → $\sqrt{a^2+x^2}=a\sec t$ ✅
- $\sec t$ 在 $[0,\frac{\pi}{2})$ 上 $\tan t \ge 0$ → $\sqrt{x^2-a^2}=a\tan t$ ✅
回代方法：画直角三角形
积分完成后需要将 $t$ 的函数换回 $x$。画一个直角三角形，把 $t$ 放在一个锐角，标出三边，所有三角函数关系一目了然：
代换 1：$x = a\sin t$ ⇒ $\sin t = \dfrac{x}{a}$
/|
a / | x
/ |
/ t |
/____|
√(a²−x²)
- $\sin t = \dfrac{x}{a}$（对边 $= x$，斜边 $= a$）
- $\cos t = \dfrac{\sqrt{a^2-x^2}}{a}$
- $\tan t = \dfrac{x}{\sqrt{a^2-x^2}}$
代换 2：$x = a\tan t$ ⇒ $\tan t = \dfrac{x}{a}$
/|
/ |
√(a²+x²)/ | a
/ |
/ t |
/____|
x
- $\tan t = \dfrac{x}{a}$（对边 $= x$，邻边 $= a$）
- $\sec t = \dfrac{\sqrt{a^2+x^2}}{a}$
- $\sin t = \dfrac{x}{\sqrt{a^2+x^2}}$
代换 3：$x = a\sec t$ ⇒ $\sec t = \dfrac{x}{a}$
/|
/ |
x/ | √(x²−a²)
/ t |
/____|
a
- $\sec t = \dfrac{x}{a}$（斜边 $= x$，邻边 $= a$）
- $\tan t = \dfrac{\sqrt{x^2-a^2}}{a}$
- $\sin t = \dfrac{\sqrt{x^2-a^2}}{x}$
Note
一句口诀： $t$ 的对边就是 $x$！画好三角形后，需要什么三角函数直接读边长即可，不用死记公式。
根式代换（备选方案）
当被积函数中有 $\sqrt{ax+b}$ 或 $\sqrt{\frac{ax+b}{cx+d}}$ 这类简单线性根式时，可直接令 $t = \sqrt{\dots}$ 消去根号。
例如 $\displaystyle\int x\sqrt{x+1}\,dx$，令 $t = \sqrt{x+1}$，则 $x = t^2-1$，$dx = 2t\,dt$，化为 $t$ 的多项式积分。
Caution
原则：能用三角代换的，就不要用根式代换。 比如 $\sqrt{x^2+a^2}$ 如果硬令 $t = \sqrt{x^2+a^2}$，反解出的表达式仍然带根号，运算复杂得多。三角代换一步到位，根号消得干净。
六、$\sin^n x$ 和 $\cos^n x$ 的积分策略
Important
核心判别：奇偶定策略
- 奇次（$n$ 为奇数）：留一个 $\sin x$（或 $\cos x$）凑微分，剩下的用 $\sin^2 x = 1-\cos^2 x$（或 $\cos^2 x = 1-\sin^2 x$）转化
- 偶次（$n$ 为偶数）：用降幂公式降低次数
- $\sin^2 x = \dfrac{1-\cos 2x}{2}$
- $\cos^2 x = \dfrac{1+\cos 2x}{2}$
例题
奇次： $\displaystyle\int\sin^5 x\,dx$
$$ \begin{aligned} \int\sin^5 x\,dx &= \int\sin^4 x\cdot\sin x\,dx \\ &= \int(1-\cos^2 x)^2\cdot\sin x\,dx \\ &\xrightarrow{u=\cos x} -\int(1-u^2)^2\,du \end{aligned} $$展开多项式即可积分。
偶次： $\displaystyle\int\sin^4 x\,dx$
$$ \begin{aligned} \int\sin^4 x\,dx &= \int\left(\frac{1-\cos 2x}{2}\right)^2 dx \\ &= \frac{1}{4}\int(1-2\cos 2x+\cos^2 2x)\,dx \\ &= \frac{1}{4}\int\left(1-2\cos 2x+\frac{1+\cos 4x}{2}\right)dx \\ &= \frac{1}{4}\left(\frac{3}{2}x - \sin 2x + \frac{1}{8}\sin 4x\right) + C \end{aligned} $$Warning
偶次降幂要降到底——有时需要多次使用降幂公式，直到全部化为一次为止。半途而废的结果是仍然积不出来。
七、分部积分法
$$ \int u\,dv = uv - \int v\,du $$Important
核心公式（乘积求导的逆运算）
本质理解
分部积分是解决两类不同函数相乘（如 $x\cdot e^x$、$x\cdot \ln x$）的核心武器。它的本质是**“把难求的积分转移给另一个函数”**。
从乘积求导公式 $(uv)' = u'v + uv'$ 移项可得：
$$ uv' = (uv)' - u'v $$两边积分即得分部积分公式。
选择 $u$ 和 $dv$ 的口诀：反对幂指三
反三角函数 → 对数函数 → 幂函数 → 指数函数 → 三角函数
选 $u$（求导）： 排名靠前的函数，因为它的导数会变"简单" 选 $dv$（积分）： 排名靠后的函数，因为它必须容易积分
| 常见组合 | $u$（求导） | $dv$（积分） | 理由 |
|---|---|---|---|
| $\displaystyle\int x e^x\,dx$ | $x$（幂） | $e^x\,dx$（指） | 幂在指前面 |
| $\displaystyle\int x\ln x\,dx$ | $\ln x$（对） | $x\,dx$（幂） | 对在幂前面 |
| $\displaystyle\int e^x\sin x\,dx$ | $e^x$（指） | $\sin x\,dx$（三） | 指在三前面 |
| $\displaystyle\int x\arctan x\,dx$ | $\arctan x$（反） | $x\,dx$（幂） | 反在最前 |
| $\displaystyle\int x\cos x\,dx$ | $x$（幂） | $\cos x\,dx$（三） | 幂在三前面 |
逻辑解释
- 反函数和对数：求导后变"简单"（反函数→有理式，对数→幂函数），所以优先当 $u$（求导）
- 指数和三角函数：积分后还是自己附近的形式，所以优先当 $dv$（积分）
- 幂函数在中间：看对手是谁，往左还是往右
Note
特殊情况： $\displaystyle\int e^x\sin x\,dx$ 中，不管选谁当 $u$，都会出现"循环"——第二次分部积分后又出现原积分形式，此时移项解方程即可，不要怀疑自己做错了。
费曼交锋实录
🔴 漏洞 1：第二换元中 $t$ 的取值范围——正负号的隐蔽陷阱
对话还原：
我梳理完三种代换后追问：$\sqrt{x^2-a^2}$ 开方出来正负号的问题——当 $x > a$ 时开出来是 $a\tan t$（正），$x < -a$ 时呢？
纠正： 三种代换的 $t$ 取值是专门选过的，目的是让开方结果不带绝对值：
| 代换 | $t$ 范围 | 开方结果 |
|---|---|---|
| $x = a\sin t$ | $[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]$ | $\sqrt{a^2-x^2} = a\cos t,\;\cos t \ge 0$ |
| $x = a\tan t$ | $(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})$ | $\sqrt{a^2+x^2} = a\sec t,\;\sec t > 0$ |
| $x = a\sec t$ | $[0,\frac{\pi}{2})$ | $\sqrt{x^2-a^2} = a\tan t,\;\tan t \ge 0$ |
强化记忆： 考试中默认按这个约定取 $t$ 范围，就不用自己折腾正负号。
🔴 漏洞 2：根式代换 vs 三角代换的选择
对话还原：
我问：根式代换也能消根号，为什么优先用三角代换？
纠正： 根式代换用于 $\sqrt{ax+b}$ 这类简单线性根式时很好用。但遇到 $\sqrt{x^2+a^2}$ 这种——如果硬令 $t = \sqrt{x^2+a^2}$，反解出的表达式仍然带根号，来回倒腾的运算量远超三角代换。三角代换一步到位，根号消得干干净净。
强化记忆： “能用三角就不要用根式”。
🔴 漏洞 3：第一换元 vs 第二换元的区别
对话还原：
第一换元是"凑框"——令 $u = \varphi(x)$，把积分变成 $\int f(u)du$，框凑出来就完事。 第二换元是"换人"——反过来，令 $x = \varphi(t)$，把原始积分变成关于 $t$ 的积分，积分完再回代成 $x$。
强化记忆：
| 第一换元（凑微分） | 第二换元 | |
|---|---|---|
| 操作 | $u = \varphi(x)$ | $x = \varphi(t)$ |
| 方向 | 从 $x$ 到 $u$ | 从 $x$ 到 $t$ |
| 动机 | 凑出 $f(\text{框})d(\text{框})$ | 换掉 $x$ 消根号 |
| 回代 | 不用（$u$ 就是框） | 必须画三角形回代 |
漏洞表
| 编号 | 漏洞描述 | 涉及章节 | 巩固建议 |
|---|---|---|---|
| 1 | 第二换元三种代换的 $t$ 取值范围记混，导致开方正负号出错 | 第五·二 | 背诵取值表，理解每个范围下三角函数的符号 |
| 2 | 根式代换和三角代换混用，选了更复杂的解法 | 第五·三 | 牢记"能用三角就不要根式" |
| 3 | 第一第二换元的操作方向容易搞反 | 第四·五 | 对比记忆：第一换元是凑框，第二换元是换人 |
| 4 | 分部积分中 $u$ 和 $dv$ 选反 | 第七 | 默念"反对幂指三"口诀，越靠后越放进 $dv$ |
| 5 | $\sin^n x$ 偶次降幂没降到一次 | 第六 | 降一次不行就再降一次，直到出现 $\cos kx$ 的一次形式 |
| 6 | 做完积分忘记验证 | 所有 | 对结果求导，看是否回到被积函数——既验算又加深记忆 |
📝 配套练习题
Note
使用指南： 先看题目自己算，算完再翻到最后的「参考答案与解析」核对。题目按知识点分组，每组 3 题。
一、第一类换元法（凑微分）
1. $\displaystyle\int 2x\cos(x^2)\,dx$
2. $\displaystyle\int \frac{e^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}\,dx$
3. $\displaystyle\int \frac{\ln x}{x}\,dx$
二、分子凑分母导数
4. $\displaystyle\int \frac{\cos x}{\sin x + \cos x}\,dx$
5. $\displaystyle\int \frac{x+1}{x^2+2x+2}\,dx$
6. $\displaystyle\int \frac{2x+3}{x^2+3x+5}\,dx$
三、第二类换元法（三角代换）
7. $\displaystyle\int \sqrt{4-x^2}\,dx$ （提示：令 $x=2\sin t$）
8. $\displaystyle\int \frac{dx}{x^2\sqrt{x^2+4}}$
9. $\displaystyle\int \frac{\sqrt{x^2-9}}{x}\,dx$ （设 $x>3$，提示：令 $x=3\sec t$）
四、$\sin^n x$ 和 $\cos^n x$ 的积分
10. $\displaystyle\int \sin^3 x\,dx$
11. $\displaystyle\int \cos^4 x\,dx$
12. $\displaystyle\int \sin^2 x\cos^3 x\,dx$
五、分部积分法
13. $\displaystyle\int x e^{2x}\,dx$
14. $\displaystyle\int x^2 \ln x\,dx$
15. $\displaystyle\int e^x \sin x\,dx$
参考答案与解析
Tip
做完前 不要往下翻！先自己动手算，算完再对答案。
一、第一类换元法
1. $\displaystyle\int 2x\cos(x^2)\,dx$
令 $u = x^2$，则 $du = 2x\,dx$
$$ \int 2x\cos(x^2)\,dx = \int \cos u\,du = \sin u + C = \sin(x^2) + C $$2. $\displaystyle\int \frac{e^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}\,dx$
令 $u = \sqrt{x}$，则 $du = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}\,dx$，所以 $\dfrac{dx}{\sqrt{x}} = 2\,du$
$$ \int \frac{e^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}\,dx = \int e^u \cdot 2\,du = 2e^u + C = 2e^{\sqrt{x}} + C $$3. $\displaystyle\int \frac{\ln x}{x}\,dx$
令 $u = \ln x$，则 $du = \dfrac{1}{x}\,dx$
$$ \int \frac{\ln x}{x}\,dx = \int u\,du = \frac{1}{2}u^2 + C = \frac{1}{2}(\ln x)^2 + C $$二、分子凑分母导数
4. $\displaystyle\int \frac{\cos x}{\sin x + \cos x}\,dx$
令 $D = \sin x + \cos x$，$D' = \cos x - \sin x$。
设 $\cos x = A(\sin x + \cos x) + B(\cos x - \sin x)$
比较系数：
$$ \begin{cases} \sin x\text{ 项}: & 0 = A - B \\ \cos x\text{ 项}: & 1 = A + B \end{cases} \Rightarrow A = \frac{1}{2},\; B = \frac{1}{2} $$$$ \begin{aligned} \int\frac{\cos x}{\sin x + \cos x}\,dx &= \frac{1}{2}\int\frac{D + D'}{D}\,dx \\ &= \frac{1}{2}\int dx + \frac{1}{2}\int\frac{D'}{D}\,dx \\ &= \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}\ln|\sin x + \cos x| + C \end{aligned} $$5. $\displaystyle\int \frac{x+1}{x^2+2x+2}\,dx$
令 $D = x^2+2x+2$，$D' = 2x+2$。
分子恰是 $\dfrac{1}{2}D'$：
$$ \int \frac{x+1}{x^2+2x+2}\,dx = \frac{1}{2}\int\frac{2x+2}{x^2+2x+2}\,dx = \frac{1}{2}\ln|x^2+2x+2| + C $$（配方法：$x^2+2x+2 = (x+1)^2+1$，这里不需要额外项因为分子刚好是 $D'$ 的一半）
6. $\displaystyle\int \frac{2x+3}{x^2+3x+5}\,dx$
令 $D = x^2+3x+5$，$D' = 2x+3$。
分子恰好等于 $D'$：
$$ \int \frac{2x+3}{x^2+3x+5}\,dx = \int\frac{D'}{D}\,dx = \ln|x^2+3x+5| + C $$（判别式 $\Delta = 9-20 = -11 < 0$，分母恒正，绝对值可去掉）
三、第二类换元法
7. $\displaystyle\int \sqrt{4-x^2}\,dx$
令 $x = 2\sin t$，$t\in[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]$，则 $dx = 2\cos t\,dt$，$\sqrt{4-x^2} = 2\cos t$
$$ \begin{aligned} \int\sqrt{4-x^2}\,dx &= \int 2\cos t \cdot 2\cos t\,dt = 4\int\cos^2 t\,dt \\ &= 4\int\frac{1+\cos 2t}{2}\,dt = 2t + \sin 2t + C \\ &= 2t + 2\sin t\cos t + C \end{aligned} $$画三角形回代：$\sin t = \dfrac{x}{2}$，$\cos t = \dfrac{\sqrt{4-x^2}}{2}$
$$ \int\sqrt{4-x^2}\,dx = 2\arcsin\frac{x}{2} + \frac{x\sqrt{4-x^2}}{2} + C $$8. $\displaystyle\int \frac{dx}{x^2\sqrt{x^2+4}}$
令 $x = 2\tan t$，$t\in(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})$，则 $dx = 2\sec^2 t\,dt$，$\sqrt{x^2+4} = 2\sec t$
$$ \begin{aligned} \int\frac{dx}{x^2\sqrt{x^2+4}} &= \int\frac{2\sec^2 t\,dt}{4\tan^2 t \cdot 2\sec t} = \frac{1}{4}\int\frac{\sec t}{\tan^2 t}\,dt \\ &= \frac{1}{4}\int\frac{\cos t}{\sin^2 t}\,dt = \frac{1}{4}\int\frac{d(\sin t)}{\sin^2 t} \\ &= -\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{\sin t} + C \end{aligned} $$画三角形回代：$\tan t = \dfrac{x}{2}$，斜边 $= \sqrt{x^2+4}$，$\sin t = \dfrac{x}{\sqrt{x^2+4}}$
$$ \int\frac{dx}{x^2\sqrt{x^2+4}} = -\frac{\sqrt{x^2+4}}{4x} + C $$9. $\displaystyle\int \frac{\sqrt{x^2-9}}{x}\,dx\quad(x>3)$
令 $x = 3\sec t$，$t\in[0,\frac{\pi}{2})$，则 $dx = 3\sec t\tan t\,dt$，$\sqrt{x^2-9} = 3\tan t$
$$ \begin{aligned} \int\frac{\sqrt{x^2-9}}{x}\,dx &= \int\frac{3\tan t}{3\sec t}\cdot 3\sec t\tan t\,dt \\ &= 3\int\tan^2 t\,dt = 3\int(\sec^2 t - 1)\,dt \\ &= 3(\tan t - t) + C \end{aligned} $$画三角形回代：$\sec t = \dfrac{x}{3}$，$\tan t = \dfrac{\sqrt{x^2-9}}{3}$
$$ \int\frac{\sqrt{x^2-9}}{x}\,dx = \sqrt{x^2-9} - 3\arccos\frac{3}{x} + C $$也可写作 $\sqrt{x^2-9} - 3\arctan\frac{\sqrt{x^2-9}}{3} + C$（两者等价，差一个常数）。
四、$\sin^n x$ 和 $\cos^n x$
10. $\displaystyle\int \sin^3 x\,dx$
奇次，留一个 $\sin x$ 凑微分：
$$ \begin{aligned} \int\sin^3 x\,dx &= \int\sin^2 x\cdot\sin x\,dx = \int(1-\cos^2 x)\sin x\,dx \\ &\xrightarrow{u=\cos x} -\int(1-u^2)\,du = -u + \frac{u^3}{3} + C \\ &= -\cos x + \frac{1}{3}\cos^3 x + C \end{aligned} $$11. $\displaystyle\int \cos^4 x\,dx$
偶次，降幂公式：
$$ \begin{aligned} \cos^4 x &= \left(\frac{1+\cos 2x}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}(1 + 2\cos 2x + \cos^2 2x) \\ \cos^2 2x &= \frac{1+\cos 4x}{2} \end{aligned} $$$$ \begin{aligned} \int\cos^4 x\,dx &= \frac{1}{4}\int\left(1 + 2\cos 2x + \frac{1+\cos 4x}{2}\right)dx \\ &= \frac{1}{4}\int\left(\frac{3}{2} + 2\cos 2x + \frac{1}{2}\cos 4x\right)dx \\ &= \frac{1}{4}\left(\frac{3}{2}x + \sin 2x + \frac{1}{8}\sin 4x\right) + C \\ &= \frac{3}{8}x + \frac{1}{4}\sin 2x + \frac{1}{32}\sin 4x + C \end{aligned} $$12. $\displaystyle\int \sin^2 x\cos^3 x\,dx$
$\cos^3 x$ 是奇次，留一个 $\cos x$ 凑微分：
$$ \begin{aligned} \int\sin^2 x\cos^3 x\,dx &= \int\sin^2 x\cos^2 x\cdot\cos x\,dx = \int\sin^2 x(1-\sin^2 x)\cos x\,dx \\ &\xrightarrow{u=\sin x} \int u^2(1-u^2)\,du = \int(u^2 - u^4)\,du \\ &= \frac{u^3}{3} - \frac{u^5}{5} + C = \frac{1}{3}\sin^3 x - \frac{1}{5}\sin^5 x + C \end{aligned} $$五、分部积分法
13. $\displaystyle\int x e^{2x}\,dx$
“反对幂指三”：幂在指前面，$u = x$（求导），$dv = e^{2x}dx$（积分）
$$ \begin{aligned} \int x e^{2x}\,dx &= \frac{1}{2}x e^{2x} - \int\frac{1}{2}e^{2x}\,dx \\ &= \frac{1}{2}x e^{2x} - \frac{1}{4}e^{2x} + C \\ &= \frac{1}{4}e^{2x}(2x - 1) + C \end{aligned} $$14. $\displaystyle\int x^2 \ln x\,dx$
“反对幂指三”：对在幂前面，$u = \ln x$（求导变简单），$dv = x^2\,dx$（积分）
$$ \begin{aligned} \int x^2 \ln x\,dx &= \frac{x^3}{3}\ln x - \int\frac{x^3}{3}\cdot\frac{1}{x}\,dx \\ &= \frac{x^3}{3}\ln x - \frac{1}{3}\int x^2\,dx \\ &= \frac{x^3}{3}\ln x - \frac{x^3}{9} + C \end{aligned} $$15. $\displaystyle\int e^x \sin x\,dx$
“反对幂指三”：指在三前面，$u = e^x$，$dv = \sin x\,dx$
$$ \begin{aligned} \int e^x \sin x\,dx &= -e^x\cos x + \int e^x\cos x\,dx \\ &= -e^x\cos x + \left(e^x\sin x - \int e^x\sin x\,dx\right) \\ &= -e^x\cos x + e^x\sin x - \int e^x\sin x\,dx \end{aligned} $$移项解方程：
$$ 2\int e^x \sin x\,dx = e^x(\sin x - \cos x) + C $$$$ \int e^x \sin x\,dx = \frac{1}{2}e^x(\sin x - \cos x) + C $$Warning
循环分部积分的关键： 第二次分部积分后出现原积分形式，不要慌，移项到等式左边解出即可。注意两边要加同一个 $C$。
做完了就对答案，有卡住的题明天练的时候带来问我 👊
