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训练说明

本练习基于上一次错题复盘中的薄弱点，按错误类型编排。每道题末尾标注了它针对的错误模式，做完后对照自查。

训练一：最大值原则 → 分段函数可导性

题目：

$$f(x)=\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\frac{1+|x|^{2n}}{1+|x|^{2}}}$$

讨论 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上的可导性，并指出不可导点的个数。

针对： 刷题77 卡壳——看到 $\displaystyle\lim\sqrt[n]{1+|x|^{kn}}$ 没想到最大值原则。

训练二：导数连续性——定义+公式双路验证

题目：

$$f(x)=\begin{cases} x^2\arctan\dfrac{1}{x}, & x\neq 0, \\[6pt] 0, & x=0 \end{cases}$$

判断以下四个结论：

  1. $\displaystyle\lim_{x\to0}f(x)$ 存在
  2. $f(x)$ 在 $x=0$ 处连续
  3. $f'(0)$ 存在
  4. $f'(x)$ 在 $x=0$ 处连续

针对： 刷题79 缺环——知道 $f'(0)$ 的存在性，但没有算 $\displaystyle\lim_{x\to0}f'(x)$ 就下结论。

训练三：$f''(0)=0$ + 凸性切线 综合

题目：

设函数 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内具有二阶导数，且对任意 $x$ 有 $f''(x)<0$，$f(0)=0$，$f'(0)=1$。

(1) 判断 $f(x)$ 与 $x$ 的大小关系。 (2) 设 $g(x)=f(x)-\ln(1+x)$，求 $g(0)$、$g'(0)$、$g''(0)$，并判断 $x=0$ 是否为 $g(x)$ 的极值点。

针对： 刷题84（$f''(0)=0$ 判断）+ 刷题88（凸性→切线）的综合训练。

训练四：取对数求导法辨识

题目：

求下列函数在指定点的导数：

(1) $f(x)=\sqrt[4]{\dfrac{(x+2)(x^2+1)}{(x-1)(x^2+4)}}$，求 $f'(0)$。

(2) $f(x)=\sqrt[5]{\dfrac{(x+1)^2(x^2+3)}{(x+3)(x^2+1)^2}}$，求 $f'(1)$。

提示： 先判断是否适合取对数求导——看三个特征中符合几个。

针对： 刷题92 暴力求导算崩——应该用取对数但不识别。

训练五：降幂公式 → 高阶导数通项

题目：

(1) 设 $f(x)=\sin^6x+\cos^6x$，求 $f^{(n)}(x)$ 的通项公式（$n$ 为正整数）。

(2) 设 $f(x)=\sin^2x\cos^2x$，求 $f^{(n)}(x)$ 的通项公式。

提示： $\sin^6x+\cos^6x$ 也可以通过立方和公式降幂。 $\sin^6x+\cos^6x = (\sin^2x+\cos^2x)(\sin^4x-\sin^2x\cos^2x+\cos^4x)$ $= \sin^4x+\cos^4x-\sin^2x\cos^2x$

针对： 高阶导数——不知道先降幂化简再求通项。

训练六：参数方程 + 反函数求导——代入数字防手滑

题目：

(1) 若 $y=y(x)$ 由参数方程 $x=e^{t}-t-1$，$t^{2}+y^{2}=1$ 确定，求 $\displaystyle\left.\frac{dy}{dx}\right|_{t=0}$。

(2) 设 $y=x+\arctan x$，求 $\displaystyle\left.\frac{dx}{dy}\right|_{y=0}$ 和 $\displaystyle\left.\frac{d^{2}x}{dy^{2}}\right|_{y=0}$。

针对： 刷题93（代入 $t=0$ 写成 $t=1$）+ 刷题94（$f''(\pi/2)$ 算错）——代入数值时的手滑问题。

训练七：极坐标 → 直角坐标切线方程

题目：

设曲线的极坐标方程为 $r = 1 + \cos\theta$，求 $\theta = \dfrac{\pi}{3}$ 处的切线和法线的直角坐标方程。

特别提醒： 写出切线方程时，斜率 = $\dfrac{dy}{dx}$ 的计算结果，不要和点坐标搞混。

针对： 刷题98 把点坐标当斜率写进切线方程。

参考答案与提示

Note

先自己做完再看答案，效果翻倍。

训练一 参考答案

$$f(x)=\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\frac{1+|x|^{2n}}{1+|x|^{2}}}=\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{1+|x|^{2n}}=\max\{1,x^2\}$$$$f(x)=\begin{cases} x^2, & x\le -1 \\ 1, & -1 < x < 1 \\ x^2, & x\ge 1 \end{cases}$$

检查 $x=-1$：

  • 左导：$\displaystyle\lim_{x\to-1^-}\frac{x^2-1}{x+1} = \lim_{x\to-1^-}(x-1)=-2$
  • 右导：$\displaystyle\lim_{x\to-1^+}\frac{1-1}{x+1}=0$
  • $-2\neq 0$ → 不可导 ✅

检查 $x=1$：

  • 左导：$\displaystyle\lim_{x\to1^-}\frac{1-1}{x-1}=0$
  • 右导：$\displaystyle\lim_{x\to1^+}\frac{x^2-1}{x-1}=\lim_{x\to1^+}(x+1)=2$
  • $0\neq 2$ → 不可导 ✅

结论：恰有两个不可导点 $x=\pm1$。

Warning

自检： 做这题时，你的第一反应是"用最大值原则化简"还是"不知道怎么处理"？如果是后者，说明这个模式还没刻进脑子里。练到看到 $\displaystyle\lim\sqrt[n]{a^n+b^n}$ 就条件反射想到 max 为止。

训练二 参考答案

① 极限存在：

$$\lim_{x\to0}f(x)=\lim_{x\to0}x^2\arctan\frac1x = 0 \text{（有界量 $\times$ 无穷小）}$$

由于 $\left|\arctan\frac1x\right|<\frac\pi2$ 有界，$x^2\to0$，故极限为 $0$ ✅

② 连续：

$\displaystyle\lim_{x\to0}f(x)=0=f(0)$ ✅

③ $f'(0)$ 存在（定义法）：

$$f'(0)=\lim_{x\to0}\frac{x^2\arctan\frac1x-0}{x}=\lim_{x\to0}x\arctan\frac1x=0 \quad\checkmark$$

④ $f'(x)$ 在 $x=0$ 处连续？

$x\neq0$ 时用求导公式：

$$f'(x)=2x\arctan\frac1x + x^2\cdot\frac{1}{1+\frac1{x^2}}\cdot\left(-\frac1{x^2}\right)$$

$$=2x\arctan\frac1x - \frac{x^2}{x^2+1}$$

Caution

注意 $\dfrac{d}{dx}\arctan\frac1x = -\dfrac{1}{x^2+1}$（不是 $-\dfrac{1}{x^2}$）！

求极限：

$$\lim_{x\to0}f'(x)=0-0=0 = f'(0)$$

所以 $f'(x)$ 在 $x=0$ 处连续 ✅，四个结论全对。

Warning

自检： 你的第一反应是只差第④步没做就下结论了？还是差点又在 $\arctan(1/x)$ 的导数上翻车？如果对 $\dfrac{d}{dx}\arctan\frac1x$ 不熟悉，建议拿个小本子记下来——它常出现在分段点导数连续性题里。

训练三 参考答案

(1) $f(x)$ 与 $x$ 的大小关系

$f''(x)<0$ → $f(x)$ 是上凸函数 → 图像在任意一点切线的下方。

在 $x=0$ 处切线：$y = f(0) + f'(0)(x-0) = 0 + 1\cdot x = x$

所以 $f(x) \le x$ 对所有 $x$ 成立 ✅

(2) $g(x)=f(x)-\ln(1+x)$ 的极值

$$g(0)=f(0)-\ln1=0$$

$$g'(x)=f'(x)-\frac1{1+x},\quad g'(0)=1-1=0 \Rightarrow \text{驻点}$$

$$g''(x)=f''(x)+\frac1{(1+x)^2},\quad g''(0)=f''(0)+1$$

$f''(0)<0$，但不知道具体数值——$f''(0)+1$ 的符号不确定，无法用二阶导判断！

需要用泰勒展开或定义法：

展开 $f(x)$ 到二阶（带 Peano 余项）：

$$f(x) = f(0)+f'(0)x+\frac{f''(0)}{2!}x^2+o(x^2) = x + \frac{f''(0)}{2}x^2 + o(x^2)$$

展开 $\ln(1+x)$：$\ln(1+x)=x-\dfrac{x^2}{2}+o(x^2)$

$$g(x) = \left[x+\frac{f''(0)}{2}x^2\right] - \left[x-\frac{x^2}{2}\right] + o(x^2) = \frac{f''(0)+1}{2}x^2 + o(x^2)$$
  • $f''(0)+1>0$ 时 $g(x)-g(0)\ge0$ → 极小值点
  • $f''(0)+1<0$ 时 $g(x)-g(0)\le0$ → 极大值点
  • $f''(0)+1=0$ 时需展开到更高阶

Warning

自检： 这题和第(1)问合在一起是要你区分两种不同的"二阶导信息"——(1) 问用 $f''(x)<0$ 的全局性得到凸性→切线下方；(2) 问只在 $x=0$ 这一点，$f''(0)$ 只是一个数值，不是全局条件。凸性是全局性质，$f''(0)$ 是局部信息，不要混用。

训练四 参考答案

(1) $f(x)=\sqrt[4]{\dfrac{(x+2)(x^2+1)}{(x-1)(x^2+4)}}$，求 $f'(0)$

先检查特征：

  • ✅ 有根号（开4次方）
  • ✅ 分子分母是多个括号乘积
  • ✅ 只需求 $f'(0)$

取对数求导：

$$\ln f(x)=\frac14\Big[\ln(x+2)+\ln(x^2+1)-\ln(x-1)-\ln(x^2+4)\Big]$$$$\frac{f'(x)}{f(x)}=\frac14\left[\frac1{x+2}+\frac{2x}{x^2+1}-\frac1{x-1}-\frac{2x}{x^2+4}\right]$$

$f(0)=\sqrt[4]{\dfrac{2\cdot1}{(-1)\cdot4}}=\sqrt[4]{-\dfrac12}$——这里有陷阱！

$f(0)$ 是负数开偶次方根？在实数范围内 $f(0)$ 无定义。这说明这个函数定义域要检查。实际上 $x=0$ 时分母 $(0-1)(0+4)=-4$，分子 $2\cdot1=2$，比值为 $-\frac12$，开4次方在实数范围内无意义。

所以 $x=0$ 不在定义域内，$f'(0)$ 不存在。

Warning

取对数前先检查定义域！ 这是取对数求导最容易忽略的坑——$f(x)$ 可能在某点处不定义或为负。

(2) $f(x)=\sqrt[5]{\dfrac{(x+1)^2(x^2+3)}{(x+3)(x^2+1)^2}}$，求 $f'(1)$

检查：$f(1)=\sqrt[5]{\dfrac{2^2\cdot4}{4\cdot2^2}}=\sqrt[5]{\dfrac{4\cdot4}{4\cdot4}}=\sqrt[5]{1}=1$ ✅

取对数：

$$\ln f(x)=\frac15\Big[2\ln(x+1)+\ln(x^2+3)-\ln(x+3)-2\ln(x^2+1)\Big]$$$$\frac{f'(x)}{f(x)}=\frac15\left[\frac{2}{x+1}+\frac{2x}{x^2+3}-\frac1{x+3}-\frac{4x}{x^2+1}\right]$$

代入 $x=1$，$f(1)=1$：

$$f'(1)=\frac15\left[\frac{2}{2}+\frac{2}{4}-\frac1{4}-\frac{4}{2}\right]=\frac15\left[1+\frac12-\frac14-2\right]$$$$=\frac15\left[\frac{4}{4}+\frac{2}{4}-\frac{1}{4}-\frac{8}{4}\right]=\frac15\cdot\left(-\frac34\right)=-\frac{3}{20}$$

Warning

自检： 你做 (1) 的时候有没有先检查定义域？做 (2) 的时候有没有先判断"三个特征符合几个"？如果有，说明取对数求导的模式识别已经刻进习惯了 ✅

训练五 参考答案

(1) $f(x)=\sin^6x+\cos^6x$

$$\sin^6x+\cos^6x = (\sin^2x+\cos^2x)(\sin^4x-\sin^2x\cos^2x+\cos^4x)$$

$$= \sin^4x+\cos^4x-\sin^2x\cos^2x$$

再用 $\sin^4x+\cos^4x = 1-\dfrac12\sin^2 2x$：

$$= 1-\frac12\sin^2 2x - \frac14\sin^2 2x = 1 - \frac34\sin^2 2x$$$$= 1 - \frac34\cdot\frac{1-\cos4x}{2} = \frac58 + \frac38\cos4x$$

所以：

$$f^{(n)}(x) = \frac38\cdot4^n\cdot\cos\!\left(4x+\frac{n\pi}{2}\right)$$

Note

对比刷题中 $\sin^4x+\cos^4x$ 的结果 $f^{(n)}(x)=4^{n-1}\cos(4x+n\pi/2)$——注意系数差异。降幂的路径是一样的，只是系数不同。

(2) $f(x)=\sin^2x\cos^2x = \dfrac14\sin^2 2x = \dfrac14\cdot\dfrac{1-\cos4x}{2} = \dfrac18 - \dfrac18\cos4x$

$$f^{(n)}(x) = -\frac18\cdot4^n\cdot\cos\!\left(4x+\frac{n\pi}{2}\right)$$

验算：

  • $n=1$：$f'(x)=-\frac18\cdot4\cdot\cos(4x+\pi/2)=\frac12\sin4x$ 直接求导：$f'(x)=\frac14\cdot2\sin2x\cos2x\cdot2=\sin2x\cos2x=\frac12\sin4x$ ✅

Warning

自检： 做这题时，你是先降幂还是直接暴力用莱布尼茨公式？如果你第一时间尝试了降幂，说明刷题92的教训已经转化成了新习惯 💪

训练六 参考答案

(1) 参数方程求导

$$\begin{cases} x = e^t - t - 1 \\ t^2 + y^2 = 1 \end{cases}$$

$x'(t)=e^t-1$，$x'(0)=1-1=0$。

$t=0$ 时，$0^2+y^2=1\Rightarrow y=\pm1$（两个分支）。

对 $t^2+y^2=1$ 两边对 $t$ 求导：

$$2t + 2yy' = 0 \Rightarrow y' = -\frac{t}{y}$$

$t=0$ 时 $y'(0)=0$。

$$\left.\frac{dy}{dx}\right|_{t=0}=\frac{y'(0)}{x'(0)}=\frac{0}{0}$$

导数不存在（$x'(0)=0$ 导致切线垂直）。

Caution

注意： $x'(t_0)=0$ 时参数方程在该点有竖直切线，不能用 $\dfrac{y'}{x'}$ 直接求值，需要单独讨论。

(2) 反函数求导

$y = x + \arctan x$，求 $\left.\dfrac{dx}{dy}\right|_{y=0}$ 和 $\left.\dfrac{d^2x}{dy^2}\right|_{y=0}$。

$y=0$ 时，$x+\arctan x=0 \Rightarrow x=0$。

$$f(x)=x+\arctan x,\quad f'(x)=1+\frac1{1+x^2},\quad f''(x)=-\frac{2x}{(1+x^2)^2}$$$$\frac{dx}{dy}=\frac1{f'(x)} \Rightarrow \left.\frac{dx}{dy}\right|_{y=0}=\frac1{f'(0)}=\frac1{1+1}=\frac12$$$$\frac{d^2x}{dy^2}=-\frac{f''(x)}{[f'(x)]^3} \Rightarrow \left.\frac{d^2x}{dy^2}\right|_{y=0}=-\frac{0}{2^3}=0$$

Warning

自检： (1) 中你有没有先圈出 $t=0$ 再代入？有没有发现 $x'(0)=0$ 的特例？(2) 中反函数二阶导公式有没有记成 $-\dfrac{f''(x)}{[f'(x)]^2}$（三次方不是平方）？这些都是刷题93/94 翻车的直接对应点。

训练七 参考答案

极坐标 $r=1+\cos\theta$，$\theta=\dfrac{\pi}{3}$ 处：

参数化：

$$\begin{cases} x = r\cos\theta = \cos\theta + \cos^2\theta \\ y = r\sin\theta = \sin\theta + \sin\theta\cos\theta \end{cases}$$

代入 $\theta=\dfrac{\pi}{3}$：

$$\begin{cases} x = \dfrac12 + \dfrac14 = \dfrac34 \\[4pt] y = \dfrac{\sqrt3}{2} + \dfrac{\sqrt3}{4} = \dfrac{3\sqrt3}{4} \end{cases}$$

求导：

$$x'(\theta) = -\sin\theta - 2\cos\theta\sin\theta = -\sin\theta - \sin2\theta$$

$$y'(\theta) = \cos\theta + \cos2\theta$$$$x'\left(\frac{\pi}{3}\right) = -\frac{\sqrt3}{2} - \frac{\sqrt3}{2} = -\sqrt3$$

$$y'\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac12 + \left(-\frac12\right) = 0$$$$\frac{dy}{dx} = \frac{y'(\pi/3)}{x'(\pi/3)} = \frac{0}{-\sqrt3} = 0$$

切线方程（水平切线）：

$$y = \frac{3\sqrt3}{4}$$

法线方程（竖直直线）：

$$x = \frac34$$

Warning

自检： 你写出切线方程的时候，有没有在草稿纸上先写框架 $y-y_0 = k(x-x_0)$，再代入 $k=0$、$x_0=3/4$、$y_0=3\sqrt3/4$？还是直接开始抄数字？

如果 $\dfrac{dy}{dx}=0$ 你写成了 $y=0x+\dfrac{3\sqrt3}{4}$ 也是对的（但没必要写斜率项了），最怕你把 $\dfrac{3\sqrt3}{4}$ 当成斜率放进 $x$ 的系数位置。

做题后自查清单

题号 训练重点 做对了吗？ 如果有错，错因是什么？
一 最大值原则 → 分段函数 ✅ / ❌
二 导数连续性定义+公式双路 ✅ / ❌
三 $f''(0)=0$ 极值 + 凸性切线 ✅ / ❌
四 取对数求导特征识别 ✅ / ❌
五 降幂公式 → 高阶通项 ✅ / ❌
六 参数/反函数代入防手滑 ✅ / ❌
七 极坐标切线框架填数 ✅ / ❌

Important

如何使用这个清单：

  1. 做完对照自查，❌ 的题号对应的薄弱点需要当天立即回顾
  2. ✅ 的题号也不能掉以轻心——3 天后用同一个清单再测一次，确认不是短期记忆
  3. 如果连续两次 ✅ → 该薄弱点已转化，可以调为 7 天后再复查一次