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本次复盘的题目按知识体系分为 7 组：
- 组 A：极限处理 → 分段函数 → 分段点可导性
- 最大值原则的应用（刷题77）
- 导数连续性的完整判断（刷题79）
- 组 B：凸性与切线关系（刷题88）
- 组 C：极值判定——$f''(0)=0$ 时的处理（刷题84）
- 组 D：极限与导数结合——用导数定义拆分复合极限（刷题89）
- 组 E：求导技巧
- 取对数求导法（刷题92）
- 降幂公式求高阶导数通项
- 组 F：隐函数/参数方程/反函数求导（刷题93、刷题94）
- 组 G：极坐标 → 直角坐标切线方程（刷题98）
组 A：极限处理 → 分段函数 → 分段点可导性
刷题77 ⭐⭐⭐ — 最大值原则与不可导点
题目：
设函数 $f(x)=\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{1+|x|^n}$，则 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上
A. 处处可导
B. 恰有一个不可导点
C. 恰有两个不可导点
D. 有三个不可导点
Warning
卡壳点：面对 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{1+|x|^n}$ 不知道如何化简，没触发最大值原则。
用最大值原则：
$$\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{1+|x|^n} = \max\{1,|x|\}$$分析：当 $|x|<1$ 时 $|x|^n\to0$，$\sqrt[n]{1}\to1$；当 $|x|=1$ 时 $\sqrt[n]{2}\to1$；当 $|x|>1$ 时 $\sqrt[n]{1+|x|^n}\sim\sqrt[n]{|x|^n}=|x|$。
所以：
$$f(x)=\max\{1,|x|\}= \begin{cases} -x, & x<-1 \\[4pt] 1, & -1\le x\le 1 \\[4pt] x, & x>1 \end{cases}$$检查分段点 $x=-1$：
左导：
$$\lim_{x\to-1^-}\frac{-x-1}{x+1} = -1$$右导：
$$\lim_{x\to-1^+}\frac{1-1}{x+1}=0$$$-1\neq 0$ → 不可导 ✅
检查分段点 $x=1$：
左导：
$$\lim_{x\to1^-}\frac{1-1}{x-1}=0$$右导：
$$\lim_{x\to1^+}\frac{x-1}{x-1}=1$$$0\neq 1$ → 不可导 ✅
结论：$x=\pm1$ 为不可导点，共两个，选 C ✅
Important
避免错误的要点
看到 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a^n+b^n}$ 或 $\sqrt[n]{1+|x|^{kn}}$ 类极限，第一反应触发最大值原则——开 $n$ 次方后，绝对值最大的项活下来。
刷题79 ⭐⭐⭐ — 导数在分段点处的连续性
题目：
$$f(x)=\begin{cases} x\arctan\dfrac{1}{x^2}, & x\neq 0, \\[6pt] 0, & x=0 \end{cases}$$A. $f(x)$ 在 $x=0$ 处极限不存在
B. $f(x)$ 在 $x=0$ 处极限存在但不连续
C. $f(x)$ 在 $x=0$ 处连续但不可导
D. $f'(x)$ 在 $x=0$ 处连续
✅ 你正确判断了连续性和一阶可导：
连续性：
$$\lim_{x\to0}x\arctan\frac1{x^2}=0\cdot\text{有界} = 0 = f(0) \quad\checkmark$$一阶导数定义：
$$f'(0)=\lim_{x\to0}\frac{x\arctan\frac1{x^2}-0}{x}=\lim_{x\to0}\arctan\frac1{x^2}=\frac\pi2 \quad\checkmark$$Warning
你漏掉的关键步骤
判断「导数在 $x=0$ 处连续」需要两步：
- $f'(0)$ 存在 ✅（你做了）
- $\displaystyle\lim_{x\to0} f'(x) = f'(0)$ ← 你跳过了这一步！
你当时的想法是"因为 $\arctan\frac1{x^2}\to\frac\pi2$ 所以 $\lim f'(x)=\frac\pi2$"，但没有计算 $x\neq 0$ 时 $f'(x)$ 是否还有其他项。
补上这一步：
$x\neq 0$ 时正常求导：
$$f'(x)=\arctan\frac1{x^2}+x\cdot\frac{1}{1+\frac1{x^4}}\cdot\left(-\frac{2}{x^3}\right)$$化简第二项：
$$x\cdot\frac{x^4}{x^4+1}\cdot\left(-\frac{2}{x^3}\right)=-\frac{2x^2}{x^4+1}$$所以：
$$f'(x)=\arctan\frac1{x^2}-\frac{2x^2}{x^4+1}$$取极限：
$$\lim_{x\to0} f'(x)=\frac\pi2-0=\frac\pi2=f'(0) \quad\checkmark$$结论：选 D ✅
Caution
你容易忽略的点
当你说"因为某部分趋于 $\pi/2$ 所以极限就是 $\pi/2$“时，要先确认导数表达式里没有其他非零项。如果 $-\dfrac{2x^2}{x^4+1}$ 不趋于 0 而趋于某个非零常数，你就掉坑了。
Important
避免错误的要点
判断「导数在某点连续」的完整流程：
- 用定义求出 $f'(x_0)$
- 用求导公式求出 $x\neq x_0$ 时 $f'(x)$ 的表达式
- 取极限 $\displaystyle\lim_{x\to x_0}f'(x)$ 并与 $f'(x_0)$ 比较
不要凭直觉跳过第 2 步。
组 B：凸性与切线关系
刷题88 ⭐⭐ — 上凸函数在切线下方
题目：
设函数 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内具有二阶导数，且 $f''(x)<0$，$f(1)=f'(1)=1$，则（ ）
A. $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内有 $f(x)\leqslant x$
B. $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内有 $f(x)\geqslant x$
C. $f(x)$ 在 $(-\infty,1)$ 内有 $f(x)\leqslant x$，在 $(1,+\infty)$ 内有 $f(x)\geqslant x$
D. $f(x)$ 在 $(-\infty,1)$ 内有 $f(x)\geqslant x$，在 $(1,+\infty)$ 内有 $f(x)\leqslant x$
Warning
卡壳点：看到 $f''(x)<0$ 和切线条件，但没有把它们串起来。
完整思路：
$f''(x)<0$ → 函数是上凸的（凸函数，图像向下弯）
上凸函数的几何性质：函数图像在任意一点切线的下方。
在 $x=1$ 处的切线：
$$y = f(1) + f'(1)(x-1) = 1 + (x-1) = x$$上凸 → 图像在切线下方 → 对所有 $x$：
$$f(x) \le x$$选 A ✅
代数构造法（答案写法）：
设 $g(x) = f(x) - x$：
- $g'(x) = f'(x) - 1$，$g''(x) = f''(x) < 0$
- $g'(x)$ 单调递减，且 $g'(1)=0$
- $x<1$ 时 $g'(x)>0$，$x>1$ 时 $g'(x)<0$
- $g(1)=0$ → $g(x)\le 0$ 恒成立 → $f(x)\le x$
Important
避免错误的要点
看到 $f''(x)$ 符号 + 给了一个点的函数值和导数值，第一反应就是构造这个点的切线，然后用凸性比大小。几何视角秒杀选填，代数构造法写证明题过程。
组 C：极值判定
刷题84 ⭐⭐⭐ — $f''(0)=0$ 时的极值判断
题目：
设函数 $f(x)=x\sin x+(1+\lambda)\cos x$，给出下列四个结论：
① $x=0$ 是 $f(x)$ 的驻点；
② 当 $\lambda>1$ 时，$x=0$ 是 $f(x)$ 的极大值点；
③ 当 $\lambda<1$ 时，$x=0$ 是 $f(x)$ 的极小值点；
④ 当 $\lambda=1$ 时，$x=0$ 是 $f(x)$ 的极小值点。
其中正确结论的个数是（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
你的计算（正确部分）：
$$f'(x)=x\cos x - \lambda\sin x,\quad f'(0)=0 \Rightarrow \text{① 驻点 ✅}$$$$f''(x)=\cos x - x\sin x - \lambda\cos x = (1-\lambda)\cos x - x\sin x$$
$$f''(0)=1-\lambda$$
② $\lambda>1$：$f''(0)=1-\lambda<0$ → 极大值点 ✅
③ $\lambda<1$：$f''(0)=1-\lambda>0$ → 极小值点 ✅
Warning
你犯的错
你算出了 $f''(0)=1-\lambda$，代入 $\lambda>1$ 得负 → 极大值 ✅，$\lambda<1$ 得正 → 极小值 ✅。但你在答案栏打了 ✗ ——把结论写反了。这是审题不仔细的粗心错误——正确结论①②③都是对的。
④ $\lambda=1$ 时 $f''(0)=0$ 失效：
Caution
你在这里翻车了
泰勒展开：
$$f(x)=x\sin x + 2\cos x$$$$=x\left(x-\frac{x^3}{6}+\cdots\right) + 2\left(1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}-\cdots\right)$$
$$=2 - \frac{x^4}{12} + \cdots$$
$f(x)-f(0) \approx -\dfrac{x^4}{12} \le 0$ → $x=0$ 是极大值点。
但你把结论写成了"极小值”——符号读对了，但结论写反了。
最终判断： ①✅、②✅、③✅、④❌，正确个数为 3，选 C。
Important
避免错误的要点
$f''(0)=0$ 时判断极值的三方法（按推荐顺序）：
- 泰勒展开（最通用）——展开到第一个非零项
- 定义法（$f'(x)$ 的符号判断）
- 高阶导数判别法（$f^{(n)}(0)$ 的奇偶性）
泰勒展开后，判断完 $f(x)-f(0)$ 的符号后，再读一遍结论——非正 → $x_0$ 为极大值点（山顶），非负 → 极小值点（谷底）。
组 D：极限与导数结合
刷题89 ⭐⭐ — 用导数定义拆分复合极限
题目：
设函数 $f(x)$ 满足 $f(1)=0$，$f'(1)=2$，则 $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{f(\sin^2x+\cos x)}{x^2+x\tan x}=$ ______
✅ 你的思路完全正确：
$$\lim_{x\to0}\frac{f(\sin^2x+\cos x)-f(1)}{\sin^2x+\cos x-1}\cdot\frac{\sin^2x+\cos x-1}{x^2+x\tan x}$$令 $u=\sin^2x+\cos x\to1$，第一项是导数定义：
$$=2\cdot\lim_{x\to0}\frac{\cos x(1-\cos x)}{x(x+\tan x)}$$Caution
你在这里手滑了
你把分母 $x+\tan x$ 写成了 $1+\tan x$，导致后续计算全部跑偏。
修正后的正确计算：
$$=2\cdot\lim_{x\to0}\frac{\cos x(1-\cos x)}{x(x+\tan x)} = 2\cdot\lim_{x\to0}\frac{\frac12x^2}{x\cdot 2x} = 2\cdot\frac14 = \frac12$$
答案：$\boxed{\dfrac12}$
Important
避免错误的要点
处理复合极限时，每化简一步用阶数检查兜底：
- 分母 $x^2+x\tan x$，$\tan x\sim x$ → 分母是 $x^2$ 阶
- 如果化简时分子跑到 $x$ 阶 → 说明你化简把阶数变低了，肯定是哪一步抄错了
- 这种检查只需 3 秒，能救下不少粗心分
组 E：求导技巧
刷题92 ⭐⭐⭐ — 取对数求导法
题目：
设函数 $f(x)=\sqrt[3]{\dfrac{(x+1)(x^{2}+6)}{(x+2)(x^{2}+3)}}$，则极限 $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{f(x)-f(-x)}{x}=$ ______
✅ 你正确的转化：
$f(0)=1$，原式 $=2f'(0)$ ✅
Warning
卡壳点：暴力求导算崩了
你直接对 $f(x)=\left(\dfrac{x^3+x^2+6x+6}{x^3+2x^2+3x+6}\right)^{1/3}$ 求导，用商的导数 + 链式法则，5 层嵌套，最终数值算成了 $-\dfrac16$。
正确的做法——取对数求导：
$$\ln f(x)=\frac13\Big[\ln(x+1)+\ln(x^2+6)-\ln(x+2)-\ln(x^2+3)\Big]$$两边求导：
$$\frac{f'(x)}{f(x)}=\frac13\left[\frac1{x+1}+\frac{2x}{x^2+6}-\frac1{x+2}-\frac{2x}{x^2+3}\right]$$代入 $x=0$，$f(0)=1$：
$$f'(0)=\frac13\left[1+0-\frac12-0\right]=\frac13\cdot\frac12=\frac16$$原式 $=2\cdot\dfrac16=\dfrac13$ ✅
Important
避免错误的要点
识别"取对数求导"的三特征：
- ✅ 有根号/开方/幂次 → 指数变成系数
- ✅ 分子分母是多个括号的乘积 → 乘积变求和，商变差
- ✅ 只需求某一点的导数值 → 不用展开完整导数，代入即得
三条中符合两条 → 取对数求导就是最优路径。
高阶导数通项 ⭐⭐⭐ — 降幂公式
题目：
$$f(x)=\sin^4x+\cos^4x,\quad \text{若 }n\text{ 为大于 }1\text{ 的正整数，则 }f^{(n)}(x)=$$✅ 你正确求出了一阶导：
$$f'(x)=4\sin^3x\cos x - 4\cos^3x\sin x$$$$=-2\sin2x\cos2x = -\sin4x \quad\checkmark$$
❌ 然后你走弯路了：
你对 $-\sin4x$ 用了莱布尼茨公式展开组合数，其实是不必要的。
Important
更好的做法——先降幂化简 $f(x)$：
$$\sin^4x+\cos^4x = (\sin^2x+\cos^2x)^2 - 2\sin^2x\cos^2x = 1 - \frac12\sin^2 2x$$$$= 1 - \frac12\cdot\frac{1-\cos4x}{2} = \frac34 + \frac14\cos4x$$
然后直接写出通项：
$$f^{(n)}(x) = \frac14\cdot 4^n\cdot\cos\!\left(4x+\frac{n\pi}{2}\right) = 4^{\,n-1}\cos\!\left(4x+\frac{n\pi}{2}\right)$$
Warning
避免错误的要点
看到 $\sin^4x+\cos^4x$、$\sin^6x+\cos^6x$ 这类对称高次三角函数，第一反应是降幂公式，而不是直接求导。把 $f(x)$ 化成 $A+B\cos kx$ 的形式后，高阶导数通项直接秒出。
组 F：隐函数/参数方程/反函数求导
刷题93 ⭐⭐ — 参数方程求导
题目：
若 $y=y(x)$ 由参数方程 $\begin{cases} x+t(1-t)=0 \\ te^{y}+y+1=0 \end{cases}$ 确定，则 $\left.\dfrac{dy}{dx}\right|_{t=0}=$ ______
✅ 你正确的思路：
$$\left.\frac{dy}{dx}\right|_{t=0}=\frac{y'(0)}{x'(0)}$$Caution
计算错误
$x=t^2-t$，$x'(t)=2t-1$，$x'(0)=-1$ ✅
但你在代入时把 $t=0$ 代成了 $t=1$，得到 $x'(0)=1$，导致最终结果错误。
原方程 $te^{y}+y+1=0$，$t=0$ 时 $y=-1$。两边对 $t$ 求导：
$$e^{y}+te^{y}y'+y'=0$$代入 $t=0$，$y=-1$：
$$e^{-1}+0+y'(0)=0 \Rightarrow y'(0)=-\frac1e$$$$\left.\frac{dy}{dx}\right|_{t=0}=\frac{-1/e}{-1}=\frac1e \quad\checkmark$$
Important
避免错误的要点
参数方程题，在求导前先把具体 $t$ 值圈出来写在 $x'(t)$ 旁边：
$$x'(t)=2t-1 \xrightarrow{\text{圈出 }t=0} x'(0)=-1$$不给"代入错误"留任何机会。
刷题94 ⭐⭐ — 反函数二阶导
题目：
设函数 $y=x-\sin x-\dfrac{\pi}{2}$，则 $\left.\dfrac{dx}{dy}\right|_{y=-1}$ 与 $\left.\dfrac{d^2x}{dy^2}\right|_{y=-1}$ 分别为 ______ 和 ______
✅ 你的公式完全正确：
$$\frac{dx}{dy}=\frac{1}{f'(x)}$$$$\frac{d^2x}{dy^2}=-\frac{f''(x)}{[f'(x)]^3}$$✅ 你正确找到了 $x_0=\pi/2$：
$$x_0-\sin x_0-\frac{\pi}{2}=-1 \Rightarrow x_0=\frac{\pi}{2}$$$f'(x)=1-\cos x$，$f'(\pi/2)=1-0=1$
Caution
计算错误
$f''(x)=\sin x$，$f''(\pi/2)=\sin\frac{\pi}{2}=1$
但你算成了 $2$（可能误以为 $f''(x)$ 还有别的项），导致：
你写的：
$$\frac{d^2x}{dy^2}=-\frac{2}{1^3}=-2$$正确的：
$$\frac{d^2x}{dy^2}=-\frac{1}{1^3}=-1$$
最终答案：$\boxed{1}$ 和 $\boxed{-1}$
Important
避免错误的要点
反函数二阶导公式：$\displaystyle\frac{d^2x}{dy^2}=-\frac{f''(x)}{[f'(x)]^3}$——注意这里是三次方，不是平方。代入时先算 $f'(x_0)$ 和 $f''(x_0)$，再一起代进公式，不要跳步。
组 G：极坐标 → 直角坐标切线方程
刷题98 ⭐⭐⭐ — 极坐标曲线的切线与法线
题目：
设曲线的极坐标方程是 $r=1-\cos\theta$，则该曲线上对应于 $\theta=\dfrac{\pi}{6}$ 处的切线与法线的直角坐标方程分别为 ______ 和 ______
✅ 你做对的步骤：
参数化：
$$\begin{cases} x = r\cos\theta = \cos\theta - \cos^2\theta \\ y = r\sin\theta = \sin\theta - \sin\theta\cos\theta \end{cases}$$代入 $\theta=\pi/6$：
$$\begin{cases} x = \dfrac{\sqrt3}{2} - \dfrac34 = \dfrac{2\sqrt3-3}{4} \\[4pt] y = \dfrac12 - \dfrac{\sqrt3}{4} = \dfrac{2-\sqrt3}{4} \end{cases}$$✅ $x'(\theta)$ 计算正确：
$$x'(\theta) = -\sin\theta + 2\cos\theta\sin\theta$$$$x'\left(\frac{\pi}{6}\right) = -\frac12 + 2\cdot\frac{\sqrt3}{2}\cdot\frac12 = \frac{\sqrt3-1}{2}$$
Caution
$y'(\pi/6)$ 算错了
你算成 $\dfrac{\sqrt3+1}{2}$，正确应为：
$$y = \sin\theta - \sin\theta\cos\theta = \sin\theta - \frac12\sin2\theta$$$$y'(\theta) = \cos\theta - \cos2\theta$$
$$y'\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt3}{2} - \frac12 = \frac{\sqrt3-1}{2}$$
但有意思的是，你知道 $\dfrac{dy}{dx}=1$ 这个正确结论——说明你意识层知道答案是对的，但中间 $y'$ 的数值写错了。
Caution
❗ 最大的丢分点：切线方程写错了
$\dfrac{dy}{dx}=1$，正确切线方程应为：
$$y-\frac{2-\sqrt3}{4} = 1\cdot\left(x-\frac{2\sqrt3-3}{4}\right)$$$$y = x + \frac{5-3\sqrt3}{4}$$
但你写成了：
$$y = \frac{2\sqrt3-3}{4}x + \frac{2+\sqrt3}{4}$$你把点坐标的 $x$ 分量 $(2\sqrt3-3)/4$ 当成斜率放进切线方程了。 法线同理，你应该用 $-1$ 作为斜率，而不是抄点坐标。
正确法线：
$$y = -x + \frac{\sqrt3-1}{4}$$
Important
避免错误的要点
写出切线方程的流程——列框架 → 填数字：
- 先写框架：$y-y_0 = k(x-x_0)$
- 再填数字：$k=\dfrac{dy}{dx}$（算出的斜率），$x_0$ 和 $y_0$ 是点坐标
- 写完后检查斜率位置——斜率一定是 $\dfrac{dy}{dx}$ 算出来的那个数，不会是点坐标。
法线同理，斜率 $k_{\perp}=-\dfrac{1}{k}$。
跨组关联
同一个根因：看到复杂结构的第一反应
刷题77（最大值原则没触发）、刷题92（应该取对数求导却暴力展开）、高阶导数题（应该降幂化简却用莱布尼茨公式展开）——这三个题本质是同一个问题：看到一个"看起来复杂"的结构，没有先找化简路径就直接上手算。
建议合并复习： 这三道题放在一起对比，核心训练是"停 3 秒，找化简路"的习惯。
另一个根因：惯性代入错误
刷题89（$x+\tan x$ 抄成 $1+\tan x$）、刷题93（$t=0$ 代成 $t=1$）、刷题98（把点坐标当斜率）——都是写着写着脑子跑偏，把上一个题的数字或者自己习惯的数值代入当前位置。
建议合并复习： 这类错唯一的解法就是分步检验——每写完一行，回头看一眼"我这个数字是哪里来的"，3 秒钟的扫视。
薄弱点汇总
Warning
🔴 死穴一：暴力求导，不先找化简路径
- 涉及题号：刷题77、刷题92、高阶导数题
- 表现：看到极限/函数表达式复杂，直接上手硬算，不知道先化简
- 避免：问自己三个问题——①有没有根号/开方？②分子分母是不是多个括号乘积？③我只要求某一点的值？两条以上用取对数/降幂/最大值原则
- 复习间隔：1天后
Warning
🔴 死穴二：导数连续性判断缺环
- 涉及题号：刷题79
- 表现：知道 $f'(0)$ 的定义值，就直接说导数连续，没有算 $\displaystyle\lim_{x\to0}f'(x)$
- 避免：判断"导数在某点连续"永远两步——定义法求 $f'(x_0)$ + 公式法求 $\displaystyle\lim_{x\to x_0}f'(x)$，缺一不可
- 复习间隔：3天后
Warning
🟡 注意：$f''(0)=0$ 的极值判断会读反符号
- 涉及题号：刷题84
- 表现：泰勒展开做对了，$f(x)-f(0)\le 0$ 读成"极小值"
- 避免：泰勒展开后，拿最后符号对照——$-\text{正项} \le 0$ → 极大值（山顶），$+\text{正项} \ge 0$ → 极小值（谷底）。写结论前再读一遍
- 复习间隔：1天后
Warning
🟡 注意：凸性+切线的几何直觉未建立
- 涉及题号：刷题88
- 表现：知道 $f''(x)<0$ 是上凸，但没有联想到"在切线下方"
- 避免：上凸函数 → 在切线下方；下凸函数 → 在切线上方。这是 $f''(x)$ 符号应用的最高频考法
- 复习间隔：3天后
Note
🟢 提醒：参数/极坐标代入值不要惯性手滑
- 涉及题号：刷题93、刷题98
- 表现：参数值代入时写错数字
- 避免：把参数具体值圈出来，写在导数表达式旁边立即代入
- 复习间隔：7天后
建议复习内容
进入下一章（第三章 不定积分）前，建议快速过一遍：
- 最大值原则再练 2-3 道题巩固模式识别
- 取对数求导法找 2 道题练手，形成肌肉记忆
- 降幂公式——$\sin^2x$、$\cos^2x$、$\sin^4x+\cos^4x$ 的降幂路径
- 导数连续性的完整判断流程——这个考得不多但考到必出区分度
- 粗心控制：分步检验的习惯（每行写完扫一眼数字来源）
