定积分计算：从牛顿-莱布尼茨到对称性武器

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本次费曼主题：定积分计算——在定义、几何意义、性质之后正式进入"怎么算"。核心是牛顿-莱布尼茨公式（连接定积分与不定积分的桥），再加上定积分独有的对称性武器。

定积分计算
├── 牛顿-莱布尼茨公式
│   ├── 条件：可积 + 原函数存在（f 连续时自动满足）
│   └── ∫ₐᵇ f(x)dx = F(b) − F(a)
├── 换元法
│   ├── 换元必换限，换完不用回代
│   ├── 换元函数要单调（严格：单调 + 导数连续）
│   └── 三角代换三件套（主值区间）
├── 区间再现公式
│   ├── ∫ₐᵇ f(x)dx = ∫ₐᵇ f(a+b−x)dx
│   └── 证明：换元 + 两个负号抵消
├── 去 x 公式
│   ├── ∫₀^π x·f(sinx)dx = (π/2)·∫₀^π f(sinx)dx
│   └── 边界：cosx 只能以偶次方出现
├── 轮换对称公式
│   ├── ∫₀^(π/2) f(sinx,cosx)dx = ∫₀^(π/2) f(cosx,sinx)dx
│   └── 证明：区间再现 + 诱导公式
└── 华里士完整区间版
    ├── [0, π/2]：本体（偶乘 π/2，奇不乘）
    ├── [0, π]：sin 翻 2 倍、cos 奇归零
    └── [0, 2π]：奇归零、偶翻 4 倍

本次需要重点关注的内容：

• N-L 公式的两个前提：可积 + 原函数存在——f 连续时自动满足，第一类间断点时不能用（串起存在性定理）。
• 定积分换元最大不同：换元必换限、换完不用回代；换元函数必须单调。
• 区间再现是计算武器不是证明玩具——本课最大认知纠偏，识别信号要焊死。
• 华里士三个区间：奇偶性是总开关——奇数归零、偶数翻倍（[0,π] 翻 2、[0,2π] 翻 4）。

概念精拆

一、牛顿-莱布尼茨公式

Important

牛顿-莱布尼茨公式

设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，$F(x)$ 是 $f(x)$ 的一个原函数，则 $\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)$

条件拆解（两个前提）：这个公式要成立，其实需要两个条件同时满足：

1. 定积分存在（可积）——否则 ∫ₐᵇ 这个符号根本没有意义
2. 原函数存在——否则 F(b) − F(a) 无从谈起

$f$ 在 $[a,b]$ 上连续时，两个前提自动满足（连续 ⇒ 可积，连续 ⇒ 有原函数）。这正是昨天存在性定理的用武之地。

为什么第一类间断点不能整体用 N-L：f 有第一类间断点时（比如跳跃），定积分存在（可积），但原函数不存在——两个前提缺了一个，公式不能直接用，必须分段处理。这是考试爱挖的坑。

证明留待变限积分：N-L 公式的证明要用变上限积分这个工具（构造 $\int_a^x f(t)\,dt$ 证明它是原函数），本课先记公式、会用。

二、换元法

不定积分的计算方法（凑微分、分部积分）可以顺延到定积分，但定积分换元有独有规则：

Important

定积分换元三规则

1. 换元必换限：令 $x = \varphi(t)$，上下限要跟着换成 t 的对应值，换完不用回代
2. 换元函数要单调（严格说：单调 + 导数连续）——保证 t 和 x 一一对应，换限不乱套
3. 换完直接算，最后答案就是关于 t 的积分结果

对比不定积分：不定积分换元后要回代（把 t 换回 x），定积分换元换掉上下限后不用回代——这是最大区别，也是定积分换元更省事的地方。

三角代换三件套（主值区间决定单调性）：

• $\sqrt{a^2 - x^2}$ 型：令 $x = a\sin t$，主值区间 $t \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$
• $\sqrt{a^2 + x^2}$ 型：令 $x = a\tan t$，主值区间 $t \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$
• $\sqrt{x^2 - a^2}$ 型：令 $x = a\sec t$，主值区间 $t \in [0, \frac{\pi}{2}]$（$x \geqslant a$ 时）

以 $x = a\sin t$ 为例：主值区间 $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ 上 $\sin t$ 从 $-1$ 单调升到 $1$，每个 x 唯一对应一个 t——这正是"有反函数"的含义，换限才能正确对应。

三、区间再现公式

Important

区间再现公式

$\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx = \int_a^b f(a+b-x)\,dx$

完整证明：令 $x = a + b - t$，则 $dx = -dt$，且：

• $x = a$ 时，$t = b$
• $x = b$ 时，$t = a$

代入原积分：

关键：两个负号抵消——一个来自 $dx = -dt$，一个来自上下限交换 $\int_b^a \to \int_a^b$（交换变号）：

最后一步是哑变量替换（t 换成 x 不影响积分值）。证毕。

什么时候用（识别信号）：

Warning

本课最大认知纠偏：区间再现是计算武器，不是证明玩具。

• 信号 1：被积函数是"x × 某函数"，区间又有"中心"（如 $[0,\pi]$、$[0,\frac{\pi}{2}]$）——用区间再现把 x 翻成 $\pi - x$，两式相加消 x
• 信号 2：被积函数"看着难受"、区间两端 $a+b$ 是"好数"——翻一下经常能凑出漂亮组合（如 $\ln\sin x + \ln\cos x = \ln(\sin x\cos x)$）

四、去 x 公式（区间再现的直接应用）

Important

去 x 公式

$\displaystyle\int_0^\pi x\,f(\sin x)\,dx = \frac{\pi}{2}\int_0^\pi f(\sin x)\,dx$

完整推导：设 $I = \int_0^\pi x\,f(\sin x)\,dx$，用区间再现（令 $x = \pi - t$）：

用诱导公式 $\sin(\pi - t) = \sin t$，并注意 $f(\sin(\pi-t)) = f(\sin t)$（f 只依赖 $\sin$）：

两式相加：

两边除以 2：

证毕。几何直觉：$\sin x$ 在 $[0,\pi]$ 上关于 $\pi/2$ 对称，x 因子是唯一的"不对称源"，翻一下两式相加，x 被替换成常数 $\pi/2$。

边界条件（必须检查）：公式要求被积函数是 $x\cdot f(\sin x)$ 形式——里面 $\cos x$ 只能以偶次方出现（$\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$ 可以写成 $\sin x$ 的函数）。如果被积函数含 $\cos x$ 的奇次方（如 $\dfrac{x\cos x}{1+\sin^2 x}$），公式不适用——因为 $\cos(\pi - x) = -\cos x$，翻过去会变号，x 消不掉。用之前先检查：cosx 是不是只以偶次方出现。

五、轮换对称公式

Important

轮换对称公式

$\displaystyle\int_0^{\pi/2} f(\sin x, \cos x)\,dx = \int_0^{\pi/2} f(\cos x, \sin x)\,dx$

即被积函数是 $\sin x$、$\cos x$ 的表达式时，在 $[0, \frac{\pi}{2}]$ 上把两者位置互换，积分不变。

完整证明：用区间再现，令 $x = \frac{\pi}{2} - t$，则 $dx = -dt$，且：

• $x = 0$ 时，$t = \frac{\pi}{2}$
• $x = \frac{\pi}{2}$ 时，$t = 0$

代入并用诱导公式 $\sin(\frac{\pi}{2}-t) = \cos t$、$\cos(\frac{\pi}{2}-t) = \sin t$：

又是两个负号抵消（$dx = -dt$ 与上下限交换），最后哑变量替换得证。

经典应用（必考题）：求 $I = \int_0^{\pi/2} \dfrac{\sin x}{\sin x + \cos x}\,dx$。

轮换对称得 $I = \int_0^{\pi/2} \dfrac{\cos x}{\sin x + \cos x}\,dx$，两式相加：

所以 $I = \dfrac{\pi}{4}$。被积函数都不用化简，对称性直接出答案。

联系华里士：昨天背的"$\int_0^{\pi/2}\sin^n x\,dx = \int_0^{\pi/2}\cos^n x\,dx$"——就是轮换对称的特例。

六、华里士公式（完整区间版）

Important

华里士公式（点火公式）——完整区间版

以下三组公式中，$\int_0^{\pi/2}\sin^n x\,dx$ 与 $\int_0^{\pi/2}\cos^n x\,dx$ 结果完全相同。

区间一：$[0, \frac{\pi}{2}]$（本体）

• $n$ 为偶数：$\displaystyle\int_0^{\pi/2} \sin^n x\,dx = \frac{n-1}{n}\cdot\frac{n-3}{n-2}\cdots\frac{3}{4}\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{\pi}{2}$（乘到 $\frac{1}{2}$ 再乘 $\frac{\pi}{2}$，点火成功）
• $n$ 为奇数：$\displaystyle\int_0^{\pi/2} \sin^n x\,dx = \frac{n-1}{n}\cdot\frac{n-3}{n-2}\cdots\frac{4}{5}\cdot\frac{2}{3}$（乘到 $\frac{2}{3}$ 不乘 $\frac{\pi}{2}$，火没点着）

区间二：$[0, \pi]$

• $\displaystyle\int_0^{\pi} \sin^n x\,dx = 2\int_0^{\pi/2} \sin^n x\,dx$（$\sin x$ 在 $[0,\pi]$ 全程在 x 轴上方，两半相等）
• $n$ 为偶数：$\displaystyle\int_0^{\pi} \cos^n x\,dx = 2\int_0^{\pi/2} \cos^n x\,dx$（偶次方全在 x 轴上方）
• $n$ 为奇数：$\displaystyle\int_0^{\pi} \cos^n x\,dx = 0$（$\cos x$ 在 $[0,\pi]$ 上有正有负，奇次方正负抵消）

区间三：$[0, 2\pi]$

• $n$ 为奇数：$\displaystyle\int_0^{2\pi} \sin^n x\,dx = 0$，$\displaystyle\int_0^{2\pi} \cos^n x\,dx = 0$（正半波和负半波互为相反数）
• $n$ 为偶数：$\displaystyle\int_0^{2\pi} \sin^n x\,dx = 4\int_0^{\pi/2} \sin^n x\,dx$，$\displaystyle\int_0^{2\pi} \cos^n x\,dx = 4\int_0^{\pi/2} \cos^n x\,dx$（四个对称象限，每块全等）

验证 $[0,2\pi]$ 偶次：$\int_0^{2\pi}\sin^2 x\,dx = 4\cdot\frac{\pi}{4} = \pi$（$\sin^2$ 平均值 $\frac{1}{2}$ × 区间长 $2\pi$ = $\pi$，一致）。$[0,2\pi]$ 奇次：$\sin^3 x$ 前半个周期为正、后半个为负且互为相反数，和为 0。

口诀：区间越长，先看奇偶——奇数归零、偶数翻倍（[0,π] 翻 2、[0,2π] 翻 4），本质都是"把对称的全等块拼起来"。

题目实战

题 1：第一类间断点不能整体用 N-L

计算 $\displaystyle\int_{-1}^{1} \text{sgn}(x)\,dx$（$\text{sgn}$ 为符号函数：$x<0$ 取 $-1$，$x=0$ 取 $0$，$x>0$ 取 $1$）。

为什么不能直接用 N-L：$\text{sgn}(x)$ 在 $x=0$ 处有跳跃间断点（第一类）——定积分存在，但没有原函数（昨天：第一类必无原函数），找不到 F 代入端点。

正确做法：分段 + 几何意义。$\text{sgn}(x)$ 在 $[-1,0)$ 上是 $-1$（x 轴下方矩形，面积 $-1$），在 $(0,1]$ 上是 $+1$（x 轴上方矩形，面积 $+1$）：

本题知识点：牛顿-莱布尼茨公式、存在性对比（第一类能积不能当导数）

题 2：去 x 公式实战

计算 $\displaystyle\int_0^{\pi} \frac{x\sin x}{1+\cos^2 x}\,dx$。

第一步：检查边界。 被积函数是 $x \cdot \dfrac{\sin x}{1+\cos^2 x}$，其中 $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$ 可以写成 $\sin x$ 的函数——满足去 x 公式条件。

第二步：套公式。 令 $f(\sin x) = \dfrac{\sin x}{1+\cos^2 x}$：

第三步：算剩下的积分。 令 $u = \cos x$，则 $du = -\sin x\,dx$；$x=0$ 时 $u=1$，$x=\pi$ 时 $u=-1$：

最终答案：$\dfrac{\pi}{2}\cdot\dfrac{\pi}{2} = \dfrac{\pi^2}{4}$。

本题知识点：去 x 公式、换元法（换限）

题 3：轮换对称实战

计算 $\displaystyle\int_0^{\pi/2} \frac{\sin x}{\sin x + \cos x}\,dx$。

第一步：设 I。 令 $I = \int_0^{\pi/2} \dfrac{\sin x}{\sin x + \cos x}\,dx$。

第二步：轮换对称。 $\sin x$ 与 $\cos x$ 互换，积分不变：

第三步：两式相加。

最终答案：$I = \dfrac{\pi}{4}$。

本题知识点：轮换对称公式

题 4：华里士综合

计算 $\displaystyle\int_0^{2\pi} \sin^4 x\,dx$。

第一步：看区间和奇偶。 区间 $[0, 2\pi]$，$n = 4$ 为偶数。

第二步：套区间三公式。

第三步：华里士本体（n=4 偶数）。

最终答案：$4\cdot\dfrac{3\pi}{16} = \dfrac{3\pi}{4}$。

本题知识点：华里士公式

费曼交锋实录

交锋一：N-L 公式的两个前提（本课亮点）

用户主动联系存在性定理：「条件要满足定积分存在定理和原函数存在定理。给出的条件是 fx 在区间 a 到 b 上连续，F(x) 是 fx 的一个原函数」。

搭档确认：完全正确。N-L 需要可积和原函数存在两个前提，f 连续时自动满足——这正是把昨天的存在性内容串起来了。反过来也解释：第一类间断点（可积但无原函数）不能整体用 N-L。

理解锚点：N-L 是桥，桥的两端（可积性、原函数）都要接地。

交锋二：区间再现"计算用得不多"？（本课最大纠偏）

用户的原始判断：「这个公式一般是做证明题的时候用，但其实计算用的不多吧」。

搭档的纠正：不——区间再现是计算常规武器。识别信号：

• 被积函数是"x × 某函数" + 区间有中心（$[0,\pi]$ 类）
• 被积函数"看着难受"、区间两端 $a+b$ 是好数

逻辑修正：光会公式不知道什么时候用 = 白会。做题时"x × 对称函数 + 对称区间"这个组合一出现，立刻想起区间再现。

理解锚点：区间再现 = 翻区间。翻一下，不对称的 x 变成 π−x，两式相加消 x。

交锋三：去 x 公式撞车与边界（友好事故）

撞车：用户正准备讲去 x 公式，搭档已提前讲了——用户大方接住，公式本身无误。

边界确认：公式要求 $\cos x$ 只能以偶次方出现（$\cos^2 x = 1-\sin^2 x$ 可转化）。奇次方时 $\cos(\pi-x) = -\cos x$ 会变号，x 消不掉，公式不适用。

理解锚点：用去 x 公式前先扫一眼 cosx——偶次放心用，奇次换路。

交锋四：华里士区间扩展

用户的完整表述：$[0,\pi]$ 上 sin 全程在上方翻 2 倍、cos 偶数翻 2 倍奇数归零；$[0,2\pi]$ 上奇数归零、偶数翻 4 倍。

搭档确认：全部正确，验证了 $[0,2\pi]$ 偶次的数值（$\sin^2$ 结果 $\pi$）。

理解锚点：区间越长先看奇偶——奇数归零、偶数翻倍。

漏洞表

Caution

本课公式全部正确，主要问题在"知道公式但不知道何时用"的认知层，以及语音口误。

本课固化口诀：

1. N-L 是桥，两端都要接地（可积 + 原函数存在；f 连续自动满足）
2. 定积分换元：换元必换限，换完不用回代
3. 区间再现 = 翻区间：x × 对称函数 + 对称区间，立刻想起它
4. 去 x 公式：先看 cosx 是不是偶次方——是就放心用，不是就换路
5. 华里士：奇数归零、偶数翻倍——[0,π] 翻 2、[0,2π] 翻 4