💡 本文内容
记录了今日练习中的四道错题，每道题标注了薄弱知识点，并在最后整理了泰勒/麦克劳林公式速查表和综合复习清单。
如果你做完发现还有遗漏的知识点没被覆盖到，可以随时补充进来。
📋 本文导航
- 第一题：∞−∞ 型 · 倒代换 + 二项式展开
- 第二题：泰勒展开比阶 · √(1−x) 与 cos√x 的展开
- 第三题：泰勒展开 + 配凑技巧
- 第四题：三角化简 + 极限拆分
- 泰勒/麦克劳林公式速查表
- 综合复习清单
第一题
$$ \lim_{x \to +\infty} \left( \sqrt[3]{x^3 + 2x^2 + 1} - x e^{\frac{1}{x}} \right) $$解析
$$ \begin{aligned} \text{原式} &= \lim_{x\to+\infty} x \left( \sqrt[3]{1 + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^3}} - e^{\frac{1}{x}} \right)\\ &\text{令 } x = \frac{1}{t} \\ &= \lim_{t\to 0^+} \frac{\sqrt[3]{1 + 2t + t^3} - e^{t}}{t} \\ &= \lim_{t\to 0^+} \frac{(\sqrt[3]{1 + 2t + t^3} - 1) + (1 - e^{t})}{t}\\ &= \lim_{t\to 0^+} \frac{\sqrt[3]{1 + 2t + t^3} - 1}{t} - \lim_{t\to 0^+} \frac{e^{t} - 1}{t} \\ &= \lim_{t\to 0^+} \frac{\frac13(2t + t^3)}{t} - \lim_{t\to 0^+} \frac{t}{t} \\ &= \frac{2}{3} - 1 = -\frac13 \end{aligned} $$关键技巧
- 提取公因子：提出 $x$，把 $\sqrt[3]{x^3+2x^2+1}$ 写成 $x\cdot\sqrt[3]{1+2/x+1/x^3}$
- 倒代换：令 $t = 1/x$，将 $x\to\infty$ 转化为 $t\to 0$
- 加一减一法"拆"极限：把 $\sqrt[3]{1+2t+t^3} - e^{t}$ 拆成 $(\sqrt[3]{···}-1) + (1-e^{t})$
- 二项式展开/等价无穷小：$(1+u)^\alpha - 1 \sim \alpha u \quad (u\to 0)$
😅 薄弱点
对 二项式展开（等价无穷小形式） 不熟：
$$ > (1+u)^\alpha - 1 \sim \alpha u \quad (u \to 0) > $$这里 $\alpha = \frac13$，$u = 2t + t^3$，代入得 $\frac13(2t + t^3)$。
第二题
$$ \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1 - x}{\sqrt{1 - x} - \cos \sqrt{x}} $$解析
$$ \begin{aligned} \text{原式} &= \lim_{x \to 0} \frac{\frac12 x^2}{\left[1 + \frac12(-x) + \frac18(-x)^2 + o(x^2)\right] - \left[1 - \frac12 x + \frac1{24} x^2 + o(x^2)\right]} \\ &= \lim_{x \to 0} \frac{\frac12 x^2}{\frac16 x^2 + o(x^2)} = -3 \end{aligned} $$关键技巧
- 分子展开：$e^x = 1 + x + \dfrac{x^2}{2} + o(x^2)$，所以 $e^x - 1 - x \sim \dfrac{x^2}{2}$
- 分母展开（注意两颗展开）：
- $\sqrt{1-x}$ 用二项式展开：$(1-x)^{1/2} = 1 - \dfrac{x}{2} - \dfrac{x^2}{8} + o(x^2)$
- $\cos\sqrt{x}$ 用余弦展开：$\cos u = 1 - \dfrac{u^2}{2} + \dfrac{u^4}{24} - \cdots$，代 $u=\sqrt{x}$ 得 $\cos\sqrt{x} = 1 - \dfrac{x}{2} + \dfrac{x^2}{24} + o(x^2)$
- 分母中两项的 $x$ 项抵消，剩下 $x^2$ 项定阶数
😅 薄弱点
- $\sqrt{1-x}$ 的二项式展开（$x$ 项和 $x^2$ 项的系数容易算错）
- $\cos\sqrt{x}$ 的展开：注意是先展开 $\cos u$，再把 $u=\sqrt{x}$ 代入，逐项匹配 $x$ 的幂次
- 分母展开到多少阶？要看分子最低阶：分子是 $x^2$ 阶，分母就需要展开到 $x^2$ 阶为止
⚠️ 易错提醒
展开 $\sqrt{1-x} = (1+(-x))^{1/2}$ 时，$\alpha = 1/2$，$u = -x$：
$$ \sqrt{1-x} = 1 + \frac12(-x) + \frac{\frac12(-\frac12)}{2}(-x)^2 + o(x^2) = 1 - \frac{x}{2} - \frac{x^2}{8} + o(x^2) $$展开 $\cos\sqrt{x}$ 时：
$$ \cos u = 1 - \frac{u^2}{2} + \frac{u^4}{24} - \frac{u^6}{720} + \cdots $$代入 $u = \sqrt{x}$：
$$ \cos\sqrt{x} = 1 - \frac{x}{2} + \frac{x^2}{24} - \frac{x^3}{720} + \cdots $$第三题
$$ \lim_{x \to 0} \frac{1 + \frac12 x^2 - \sqrt{1 + x^2}}{(\cos x - e^{x^2}) \sin x^2} $$解析
$$ \begin{aligned} \text{原式} &= \lim_{x\to 0} \frac{1 + \frac12 x^2 - \sqrt{1 + x^2}}{(\cos x - e^{x^2}) x^2} = \lim_{x\to 0} \frac{1 + \frac12 x^2 - \sqrt{1 + x^2}}{[(\cos x - 1) + (1 - e^{x^2})] x^2} \\ &= \lim_{x\to 0} \frac{1 + \frac12 x^2 - \left[1 + \frac12 x^2 - \frac18 x^4 + o(x^4)\right]}{\left[-\frac12 x^2 + (-x^2)\right] \cdot x^2} \\ &= \lim_{x\to 0} \frac{\frac18 x^4 + o(x^4)}{-\frac32 x^4} = -\frac{1}{12} \end{aligned} $$关键技巧
- $\sin x^2 \sim x^2$：等价无穷小简化分母
- 分母拆分：$\cos x - e^{x^2} = (\cos x - 1) + (1 - e^{x^2})$，分别用等价无穷小
- 分子展开：$\sqrt{1+x^2}$ 用二项式展开到 $x^4$ 阶
😅 薄弱点
- $\sqrt{1+x^2}$ 的二项式展开到 $x^4$ 项：因为是二项式展开 $(1+u)^{1/2}$，$u=x^2$，需要展到 $u^2 = x^4$ 项
- $e^{x^2}$ 的展开：注意是复合函数，把 $t = x^2$ 代入 $e^t$ 的泰勒展开
- 确定展开阶数：分子要展到 $x^4$ 阶才能与分母的 $x^4$ 阶比
⚠️ 知识点提取
$\sqrt{1+x^2}$ 的展开（二次项到四次项）：
$(1+u)^{1/2}$ 中 $u = x^2$，需要展到 $u^2$ 项（即 $x^4$ 项）：
$$ \sqrt{1+x^2} = 1 + \frac12 x^2 + \frac{\frac12(-\frac12)}{2} x^4 + o(x^4) = 1 + \frac12 x^2 - \frac18 x^4 + o(x^4) $$$\cos x - 1$ 和 $1 - e^{x^2}$：
$$ \cos x - 1 \sim -\frac12 x^2, \qquad 1 - e^{x^2} \sim -x^2 $$注意 $e^{x^2}$ 展开到 $x^4$ 时：$e^{x^2} = 1 + x^2 + \frac{x^4}{2} + o(x^4)$，所以本题中只需要 $x^2$ 项就够了（因为 $(\cos x-1)+(1-e^{x^2})$ 中 $x^2$ 项非零，分母 $(\cos x - e^{x^2})x^2$ 最低阶就是 $x^4$）。
第四题
$$ \lim_{x\to 0} \cot^3 x \left( \frac{1 + \sin x \cos 2x}{1 + \sin x \cos 3x} - 1 \right) $$解析
$$ \begin{aligned} \text{原式} &= \lim_{x\to 0} \frac{\cos^3 x}{\sin^3 x} \cdot \frac{\sin x \cos 2x - \sin x \cos 3x}{1 + \sin x \cos 3x} \\ &= \lim_{x\to 0} \frac{\sin x (\cos 2x - \cos 3x)}{x^3} \quad (\because \sin x \sim x,\ \cos x \to 1, \text{分母}\to 1) \\ &= \lim_{x\to 0} \frac{\cos 2x - \cos 3x}{x^2} \quad (\because \sin x \sim x) \\ &= \lim_{x\to 0} \frac{(\cos 2x - 1) + (1 - \cos 3x)}{x^2} \\ &= \lim_{x\to 0} \frac{\cos 2x - 1}{x^2} + \lim_{x\to 0} \frac{1 - \cos 3x}{x^2} \\ &= \lim_{x\to 0} \frac{-\frac12 (2x)^2}{x^2} + \lim_{x\to 0} \frac{\frac12 (3x)^2}{x^2} \quad (\because 1-\cos ax \sim \frac12 a^2 x^2) \\ &= -2 + \frac92 = \frac52 \end{aligned} $$关键技巧
- $\cot x$ 化为 $\cos x / \sin x$：将 $\cot^3 x$ 展开
- 非零因子淡化：
- $\dfrac{\cos^3 x}{1 + \sin x \cos 3x} \xrightarrow{x\to 0} \dfrac{1}{1} = 1$，可先淡化
- $\sin x \sim x$，分母中的 $\sin x$ 换成 $x$
- 加一减一法：$\cos 2x - \cos 3x = (\cos 2x - 1) + (1 - \cos 3x)$，拆分后分别套 $1-\cos ax \sim \dfrac12 a^2 x^2$
- 极限拆分：拆成两项 $\dfrac{\cos 2x - 1}{x^2}$ 和 $\dfrac{1 - \cos 3x}{x^2}$，每项极限都存在
😅 知识点整理（你自己说不知道这题对应什么知识点）
涉及的核心知识点：
| 序号 | 知识点 | 在本体的应用 |
|---|---|---|
| ① | $\cot x$ 的化简 | $\cot^3 x = \dfrac{\cos^3 x}{\sin^3 x}$，$x\to 0$ 时 $\sin x \sim x$，$\cot x \sim \dfrac{1}{x}$ |
| ② | 非零因子淡化 | $\dfrac{\cos^3 x}{1 + \sin x \cos 3x} \to 1$，可先提出 |
| ③ | 等价无穷小 | $\sin x \sim x$，$1 - \cos ax \sim \dfrac12 a^2 x^2$ |
| ④ | 加一减一法 | $\cos 2x - \cos 3x = (\cos 2x - 1) + (1 - \cos 3x)$ |
| ⑤ | 极限拆分 | 拆成两项后各自极限存在，分别计算 |
| ⑥ | 弦的加法化积（备选） | 也可以 $\cos 2x - \cos 3x = -2\sin\frac{5x}{2}\sin\frac{-x}{2}$，然后用 $\sin u \sim u$ |
泰勒/麦克劳林公式速查表
这里列出你特别要求的二项式展开、$\dfrac1{1+x}$、$\dfrac1{1-x}$，以及极限计算中最常用的展开式。
二项式展开（通用形式）
$$ (1+u)^\alpha = 1 + \alpha u + \frac{\alpha(\alpha-1)}{2!} u^2 + \frac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)}{3!} u^3 + \cdots \quad (|u| < 1) $$等价无穷小形式（更重要，更常用）：
$$ (1+u)^\alpha - 1 \sim \alpha u \quad (u \to 0) $$常用特例：
$$ \begin{aligned} \sqrt{1+u} &= (1+u)^{1/2} = 1 + \frac12 u - \frac18 u^2 + \frac1{16} u^3 - \cdots \\ \frac{1}{\sqrt{1+u}} &= (1+u)^{-1/2} = 1 - \frac12 u + \frac38 u^2 - \frac{5}{16} u^3 + \cdots \end{aligned} $$$\dfrac1{1+x}$（几何级数）
$$ \frac1{1+x} = (1+x)^{-1} = 1 - x + x^2 - x^3 + x^4 - \cdots = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n x^n \quad (|x| < 1) $$$\dfrac1{1-x}$
$$ \frac1{1-x} = (1-x)^{-1} = 1 + x + x^2 + x^3 + x^4 + \cdots = \sum_{n=0}^\infty x^n \quad (|x| < 1) $$极限计算常用麦克劳林展开（$x \to 0$）
| 函数 | 展开式（到 $x^4$ 阶） | 等价无穷小 |
|---|---|---|
| $e^x$ | $1 + x + \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x^3}{6} + \dfrac{x^4}{24} + \cdots$ | $e^x - 1 \sim x$ |
| $\sin x$ | $x - \dfrac{x^3}{6} + \dfrac{x^5}{120} - \cdots$ | $\sin x \sim x$ |
| $\cos x$ | $1 - \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x^4}{24} - \dfrac{x^6}{720} + \cdots$ | $1 - \cos x \sim \dfrac12 x^2$ |
| $\ln(1+x)$ | $x - \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x^3}{3} - \dfrac{x^4}{4} + \cdots$ | $\ln(1+x) \sim x$ |
| $\arctan x$ | $x - \dfrac{x^3}{3} + \dfrac{x^5}{5} - \cdots$ | $\arctan x \sim x$ |
| $\tan x$ | $x + \dfrac{x^3}{3} + \dfrac{2x^5}{15} + \cdots$ | $\tan x \sim x$ |
| $(1+x)^\alpha$ | $1 + \alpha x + \dfrac{\alpha(\alpha-1)}{2} x^2 + \cdots$ | $(1+x)^\alpha - 1 \sim \alpha x$ |
⚠️ 重要：复合函数的展开
遇到 $e^{x^2}$、$\cos\sqrt{x}$、$\sqrt{1+x^2}$ 这种，先把内层看成 $u$，代入外层展开，再按 $x$ 的幂次整理：
例： $e^{x^2} = 1 + (x^2) + \dfrac{(x^2)^2}{2} + \cdots = 1 + x^2 + \dfrac{x^4}{2} + o(x^4)$
例： $\cos\sqrt{x}$ 中令 $u=\sqrt{x}$，展开 $\cos u = 1 - \dfrac{u^2}{2} + \dfrac{u^4}{24} - \cdots$，代入得 $1 - \dfrac{x}{2} + \dfrac{x^2}{24} - \cdots$
综合复习清单
🔴 优先级最高（今天做错的，必须立刻补）
- 二项式展开的等价无穷小形式：$(1+u)^\alpha - 1 \sim \alpha u$
- $\sqrt{1+u}$ 的二项式展开到 $u^2$ 项（系数 $\frac12$, $-\frac18$）
- $\cos u$ 展开及复合形式：$\cos \sqrt{x}$，$1 - \cos ax \sim \frac12 a^2 x^2$
🟡 第二优先级（出现频率高，不熟会卡死）
- 常用麦克劳林展开式（至少记到 $x^4$ 阶）：$e^x$, $\sin x$, $\cos x$, $\ln(1+x)$, $(1+x)^\alpha$
- 复合函数展开套路：如 $e^{x^2}$, $\cos\sqrt{x}$, $\sqrt{1+x^2}$ 的展开
- $\dfrac1{1+x}$ 和 $\dfrac1{1-x}$ 的级数展开（几何级数，系数正负交替规律）
- 加一减一法：把 $f_1 - f_2$ 拆成 $(f_1 - c) + (c - f_2)$，$c$ 是共同极限值
🟢 第三优先级（属于熟练度问题）
- 倒代换：$x \to \infty$ 时令 $t = 1/x$，转化为 $t \to 0$
- 非零因子淡化：看清楚是乘除结构还是加减结构
- $\cot x$ 的处理：$\cot x = \cos x / \sin x \sim 1/x$
- 三角恒等式：$\cos A - \cos B$ 的公式，$1 - \cos ax$ 的等价替换
- 极限拆分条件：拆出来的每一项极限必须都存在
📝 更新日志：
- 2026-06-03：首次整理，覆盖 4 道错题
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