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mindmap
root((🍹 6月9日费曼复习))
递推数列极限 例1.70
单调有界定理
极限方程 a = sin a
1^∞型极限
等价无穷小 vs 泰勒
泰勒展开专题
六大必背展开
减法替换禁区
ln系数是1/n
奇函数无偶次项
连续的定义
补充定义求极限
连续求参数a
复合等价无穷小
本次需要重点关注的内容
- 💥 tan x 展开写成了 x + x²/3（奇函数遗忘，考试致命坑）
- 💥 ln(1+x) 的系数分母记成阶乘（sin/cos 的 n! 污染到 ln 上）
- 💥 减法中逐项等价替换 → 直接归零（tan x - sin x 经典翻车现场）
- 💥 OCR 导致的笔误（$e^{-i}$ 写成 e 的虚数次幂）
概念精拆
一、单调有界定理（递推数列极限）
📖 定理（单调有界定理）
若数列 ${x_n}$ 单调递增且有上界（或单调递减且有下界），则 ${x_n}$ 收敛，即极限存在。
条件拆解
要判断递推数列 $x_{n+1} = f(x_n)$ 是否收敛，标准的解决流程是有界 → 单调 → 求极限：
条件1：有界性
- 含义：存在实数 $M$ 使得对所有 $n$ 有 $|x_n| \le M$
- 怎么证：数学归纳法（子子孙孙法）——先证首项有界，再证 $f$ 保界
- 没有它会怎样：增减但无限发散，极限不存在
条件2：单调性
- 含义：$x_{n+1} \ge x_n$（递增）或 $x_{n+1} \le x_n$（递减）
- 怎么证：作差法 $x_{n+1} - x_n$、作比法（正项数列）、求导法
- 没有它会怎样：有界但震荡，比如 ${(-1)^n}$ 有界但不单调，不收敛
条件3：极限方程
- 设 $\lim x_n = A$，对递推式两边取极限：$A = f(A)$
- 解出 $A$ 后，用有界性范围排除无效根
💡 注： $f’(x) > 0$ 不代表数列单调递增——它只保证"方向不翻转"。真正的方向由 $x_1$ 和 $x_2$ 的比较决定。这是所谓的"子子孙孙法"（序关系遗传）。
二、泰勒展开与等价无穷小（x→0 时）
六大必背展开
$$ \begin{aligned} \sin x &= x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots + \frac{(-1)^{n-1}x^{2n-1}}{(2n-1)!} + \cdots \\ \cos x &= 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots + \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!} + \cdots \\ e^x &= 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots + \frac{x^n}{n!} + \cdots \\ \ln(1+x) &= x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \cdots + \frac{(-1)^{n-1}x^n}{n} + \cdots \\ (1+x)^\alpha &= 1 + \alpha x + \frac{\alpha(\alpha-1)}{2!}x^2 + \cdots + \frac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)}{n!}x^n + \cdots \\ \tan x &= x + \frac{1}{3}x^3 + \frac{2}{15}x^5 + \cdots \quad (\text{奇函数，只有奇次幂}) \\ \frac{1}{1-x} &= 1 + x + x^2 + x^3 + \cdots + x^n + \cdots \end{aligned} $$📖 六大泰勒展开（麦克劳林公式）
条件拆解
条件：x→0
- 这些展开只在 $x \to 0$ 时成立。如果 $x \to a \neq 0$，需要先换元 $t = x - a$，使 $t \to 0$
条件：展开到合适的阶数
- 核心规律：分母是 $x^k$ 阶，分子就展开到 $k$ 阶。如果一次项相互抵消了，要继续展
条件：分母不是阶乘
- 💥 卡壳点：$\ln(1+x)$ 的展开式中，分母是 $n$，不是 $n!$
- 常见错误：受 $\sin x$ 和 $\cos x$ 的 $n!$ 污染，把 $\ln(1+x)$ 的系数也当成阶乘
条件：奇偶性约束
- 💥 卡壳点：奇函数（如 $\tan x$、$\sin x$）的展开只能有奇次幂，不能有 $x^2$、$x^4$ 等偶次项
- 费曼复习中用户把 $\tan x$ 写成了 $x + \frac13 x^2 + \cdots$，多了 $x^2$ 项——考试中遇到 $\tan x - \sin x$ 时，这个错误会让结果完全不对
等价无穷小的本质
等价无穷小 = 泰勒展开的第一项（非零项）
| 等价无穷小 | 对应的泰勒展开 | 来源 |
|---|---|---|
| $\sin x \sim x$ | $\sin x = x - \frac{x^3}{6} + \cdots$ | 第一项 $x$ |
| $1 - \cos x \sim \frac12 x^2$ | $\cos x = 1 - \frac{x^2}{2} + \cdots$ | 第二项 $-\frac{x^2}{2}$ 取绝对值 |
| $\ln(1+x) \sim x$ | $\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \cdots$ | 第一项 $x$ |
| $e^x - 1 \sim x$ | $e^x = 1 + x + \cdots$ | 第一项 $x$（去掉常数 $1$） |
易错预警：减法中不能逐项等价替换
💡 注： 求 $\displaystyle\lim_{x\to 0} \frac{\tan x - \sin x}{x^3}$ 是经典翻车案例。
错误做法：$\tan x \sim x$，$\sin x \sim x$，所以 $\tan x - \sin x \sim x - x = 0$。
分子变成 0，分母 $x^3$ 也趋于 0，$\frac{0}{0}$ 不确定——因为同阶项抵消了，等价无穷小只取了第一项，看不出来剩下什么。
正确做法：泰勒展开到刚好不抵消的那一阶。
$$ \begin{aligned} \tan x &= x + \frac{1}{3}x^3 + O(x^5) \\ \sin x &= x - \frac{1}{6}x^3 + O(x^5) \\ \tan x - \sin x &= \left(\frac13 + \frac16\right)x^3 + O(x^5) = \frac12 x^3 + O(x^5) \end{aligned} $$所以极限为 $\dfrac12$。
三、函数在某点连续的定义
$$ \lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0) $$📖 定义（连续）
函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处连续，当且仅当
等价于：对任意 $\varepsilon > 0$，存在 $\delta > 0$，当 $|x - x_0| < \delta$ 时，有 $|f(x) - f(x_0)| < \varepsilon$。
条件拆解
条件1：$f(x)$ 在 $x_0$ 的某邻域内有定义
- 这才是"定义域"的门槛。对于分段函数在分段点处，两侧可能分别由不同表达式定义
条件2：极限存在
- 即 $\lim_{x \to x_0} f(x)$ 存在且有限
- 对于分段点，必要时分左极限和右极限
条件3：极限等于函数值
- 这是连续与"有极限"的区别
经典应用模式
两种常考题型：
- 已知连续求参数：$a = \lim_{x\to x_0} f(x)$（例1.71 就是这种）
- 补充定义使函数连续：补充 $f(x_0) = \lim_{x\to x_0} f(x)$（例1.75 就是这种）
💡 注： 补充定义的本质是"求极限的逆用"——先看极限是什么，再让函数值等于它。
题目实战
例题一：递推数列 $\sin$ 极限（例1.70）
✏️ 例题 1.70
设数列 ${x_n}$ 满足 $0 < x_1 < \pi$，$x_{n+1} = \sin x_n$（$n = 1, 2, \cdots$）。
(I) 证明 $\displaystyle\lim_{n\to\infty} x_n$ 存在，并求此极限；
(II) 求 $\displaystyle\lim_{n\to\infty} \left(\frac{x_{n+1}}{x_n}\right)^{\frac{1}{x_n^2}}$。
题目类型
(I) 单调有界定理 + 极限方程 (II) $1^\infty$ 型极限（化指数 + 等价无穷小/泰勒展开）
逐步拆解
(I) 证明极限存在并求值
Step 1：证明有界性（数学归纳法）
🎓 涉及知识点：单调有界定理
- $n = 1$ 时：$0 < x_1 < \pi$ 已知
- 假设 $0 < x_n < \pi$，则 $x_{n+1} = \sin x_n$
- 对 $x \in (0, \pi)$，$\sin x \in (0, 1]$，所以 $0 < x_{n+1} \le 1 < \pi$
- 因此对所有 $n$，$0 < x_n < \pi$ — 有下界 0，有上界 $\pi$
Step 2：证明单调性
🎓 涉及知识点：单调有界定理
- 在 $(0, \pi)$ 上，恒有 $\sin x < x$（$y = x$ 和 $y = \sin x$ 的几何关系）
- 所以 $x_{n+1} = \sin x_n < x_n$，数列严格递减
Step 3：存在极限 + 求极限值
🎓 涉及知识点：极限方程
- 递减有下界 → 由单调有界定理，极限存在。设 $\lim_{n\to\infty} x_n = a$
- 对 $x_{n+1} = \sin x_n$ 两边取极限：$a = \sin a$
- 方程 $a = \sin a$ 在 $[0, \pi]$ 上只有解 $a = 0$（注意 $x_n > 0$，所以 $a \ge 0$；而 $x > 0$ 时 $\sin x < x$，所以只有 $a=0$）
- 因此 $\displaystyle\lim_{n\to\infty} x_n = 0$ ✅
(II) 求指数形式的极限
Step 1：化指数
🎓 涉及知识点：泰勒展开与等价无穷小
由 (I) 知 $x_n \to 0$，且 $x_{n+1} = \sin x_n$，所以
$$ \frac{x_{n+1}}{x_n} = \frac{\sin x_n}{x_n} $$待求极限写为
$$ L = \lim_{n\to\infty} \left(\frac{\sin x_n}{x_n}\right)^{\frac{1}{x_n^2}} $$令 $t = x_n \to 0^+$，问题化为
$$ L = \lim_{t\to 0^+} \left(\frac{\sin t}{t}\right)^{\frac{1}{t^2}} $$取对数：
$$ \ln L = \lim_{t\to 0^+} \frac{1}{t^2} \ln\left(\frac{\sin t}{t}\right) $$解法一：泰勒展开（更保险）
$$ \sin t = t - \frac{t^3}{6} + \frac{t^5}{120} - \cdots $$所以
$$ \frac{\sin t}{t} = 1 - \frac{t^2}{6} + \frac{t^4}{120} - \cdots $$令 $u = -\frac{t^2}{6} + \frac{t^4}{120} - \cdots$，则
$$ \ln\left(\frac{\sin t}{t}\right) = \ln(1+u) = u - \frac{u^2}{2} + \cdots $$代入 $u$：
$$ \ln\left(\frac{\sin t}{t}\right) = \left(-\frac{t^2}{6} + \frac{t^4}{120} - \cdots\right) - \frac12\left(\frac{t^4}{36} + \cdots\right) = -\frac{t^2}{6} + O(t^4) $$因此
$$ \ln L = \lim_{t\to 0^+} \frac{1}{t^2}\left(-\frac{t^2}{6} + O(t^4)\right) = \lim_{t\to 0^+} \left(-\frac{1}{6} + O(t^2)\right) = -\frac{1}{6} $$得 $L = e^{-1/6}$ ✅
解法二：等价无穷小（考场秒杀）
先化指数：
$$ L = e^{\lim_{n\to\infty} \frac{1}{x_n^2}\cdot\ln\frac{\sin x_n}{x_n}} $$用 $\ln(1+u) \sim u$（当 $u\to 0$）：
$$ \ln\frac{\sin x_n}{x_n} = \ln\left(1 + \frac{\sin x_n - x_n}{x_n}\right) \sim \frac{\sin x_n - x_n}{x_n} $$所以
$$ \ln L = \lim_{n\to\infty} \frac{1}{x_n^2} \cdot \frac{\sin x_n - x_n}{x_n} = \lim_{n\to\infty} \frac{\sin x_n - x_n}{x_n^3} $$再用等价无穷小 $\sin x_n - x_n \sim -\dfrac{1}{6}x_n^3$：
$$ \ln L = \lim_{n\to\infty} \frac{-\frac{1}{6}x_n^3}{x_n^3} = -\frac{1}{6} $$得 $L = e^{-1/6}$ ✅
最终答案
(I) $\displaystyle\lim_{n\to\infty} x_n = 0$ (II) $\displaystyle\lim_{n\to\infty} \left(\frac{x_{n+1}}{x_n}\right)^{\frac{1}{x_n^2}} = e^{-1/6}$
涉及知识点
例题二：连续求参数（例1.71）
$$ f(x) = \begin{cases} \dfrac{\ln\cos(x-1)}{1 - \sin\frac{\pi}{2}x}, & x \neq 1, \\ a, & x = 1 \end{cases} $$✏️ 例题 1.71
若函数
在 $x = 1$ 处连续，则 $a = _____$。
题目类型
连续定义 + $\frac{0}{0}$ 型极限 + 复合等价无穷小
逐步拆解
Step 1：连续定义转求极限
🎓 涉及知识点：连续的定义
函数在 $x = 1$ 处连续，意味着 $a = \displaystyle\lim_{x\to 1} f(x)$。核心就是求这个极限。
Step 2：换元到趋于 0
令 $t = x - 1$（这样 $t \to 0$，所有标准展开公式可用），$x = t + 1$：
分子：$\ln\cos(x-1) = \ln\cos t$
分母处理：先用诱导公式
$$ \sin\frac{\pi}{2}x = \sin\left(\frac{\pi}{2}(t+1)\right) = \sin\left(\frac{\pi}{2}t + \frac{\pi}{2}\right) $$诱导公式 $\sin(\alpha + \frac{\pi}{2}) = \cos\alpha$，所以分母变成
$$ 1 - \sin\frac{\pi}{2}x = 1 - \cos\frac{\pi}{2}t $$于是
$$ a = \lim_{t\to 0} \frac{\ln\cos t}{1 - \cos\frac{\pi}{2}t} $$Step 3：分子分母分别展开
🎓 涉及知识点：泰勒展开与等价无穷小
分子 $\ln\cos t$ 的处理分两步：
先展开 $\cos t = 1 - \frac{t^2}{2!} + \frac{t^4}{4!} - \cdots$
再取 $\ln$，用 $\ln(1+u) \sim u$（$u \to 0$）：
$$ \ln\cos t = \ln\left(1 - \frac{t^2}{2} + \cdots\right) \sim -\frac{t^2}{2} $$分母 $1 - \cos\frac{\pi}{2}t$ 直接用 $1 - \cos u \sim \frac{u^2}{2}$：
$$ 1 - \cos\frac{\pi}{2}t \sim \frac12 \left(\frac{\pi}{2}t\right)^2 = \frac{\pi^2 t^2}{8} $$Step 4：比系数
$$ a = \lim_{t\to 0} \frac{-\frac{t^2}{2}}{\frac{\pi^2 t^2}{8}} = -\frac{1}{2} \cdot \frac{8}{\pi^2} = -\frac{4}{\pi^2} $$最终答案
$$ a = -\frac{4}{\pi^2} $$涉及知识点
例题三：含 $\cos(xf(x))$ 的极限题
$$ \lim_{x\to 0} \frac{1 - \cos\bigl(xf(x)\bigr)}{(e^{x^2} - 1) f(x)} = 1 $$✏️ 补充题
已知函数 $f(x)$ 连续，且
则 $f(0) = _____$。
题目类型
复合等价无穷小 + 连续性代入
逐步拆解
Step 1：等价无穷小替换分子分母
🎓 涉及知识点：泰勒展开与等价无穷小
分子：$1 - \cos(xf(x)) \sim \frac12 (xf(x))^2 = \frac12 x^2 f^2(x)$
分母：$e^{x^2} - 1 \sim x^2$
代入极限：
$$ \lim_{x\to 0} \frac{\frac12 x^2 f^2(x)}{x^2 f(x)} = \lim_{x\to 0} \frac12 f(x) = \frac12 \lim_{x\to 0} f(x) $$注意这里分子约掉一个 $f(x)$ 后变成 $\frac12 f(x)$，不是 $\frac12 f^2(x)$。
Step 2：利用连续性
🎓 涉及知识点：连续的定义
$f(x)$ 在 $x = 0$ 处连续，所以 $\displaystyle\lim_{x\to 0} f(x) = f(0)$。
代入题目条件：
$$ \frac12 f(0) = 1 \quad\Rightarrow\quad f(0) = 2 $$最终答案
$$ f(0) = 2 $$涉及知识点
- 💡 等价无穷小 — Step 1：$1-\cos u \sim \frac12 u^2$，$e^{x^2}-1 \sim x^2$
- 📖 连续的定义 — Step 2：$\lim f(x) = f(0)$
💡 注： 这题还有一层隐藏验证——$f(0)$ 是否能为 0？如果 $f(0) = 0$，分子 $1-\cos(xf(x)) \sim \frac12 x^2 f^2(x)$ 比分母 $x^2 f(x)$ 多一个 $f(x)$，极限会趋于 0 而不是 1。所以 $f(0) \neq 0$ 自动保证，我们的展开全部合法。
例题四：补充定义使函数连续（例1.75）
$$ f(x) = \frac{1}{\pi x} + \frac{1}{\sin\pi x} - \frac{1}{\pi(1-x)},\quad x \in \left[\frac12, 1\right) $$✏️ 例题 1.75
设
试补充定义 $f(1)$ 使得 $f(x)$ 在 $\left[\frac12, 1\right]$ 上连续。
题目类型
$\infty - \infty$ 型极限 + 补充定义 = 求极限的逆用
逐步拆解
Step 1：降维打击——连续定义告诉我该怎么补
🎓 涉及知识点：连续的定义
要补 $f(1)$ 使得函数连续，就得让 $f(1)$ 等于左极限：
$$ \text{补充 } f(1) = \lim_{x\to 1^-} f(x) $$Step 2：换元，让趋于 0
🎓 涉及知识点：泰勒展开与等价无穷小
令 $t = 1 - x$，则 $t \to 0^+$，$x = 1 - t$。
先处理 $\sin\pi x$：用诱导公式
$$ \sin\pi x = \sin(\pi(1-t)) = \sin(\pi - \pi t) = \sin(\pi t) $$三段分别变形：
$$ \frac{1}{\pi x} = \frac{1}{\pi(1-t)} = \frac1\pi\cdot\frac{1}{1-t} $$$$ \frac{1}{\sin\pi x} = \frac{1}{\sin(\pi t)} $$$$ \frac{1}{\pi(1-x)} = \frac{1}{\pi t} $$于是
$$ f(x) = \frac{1}{\pi(1-t)} + \frac{1}{\sin(\pi t)} - \frac{1}{\pi t} $$其中第一项 $\frac{1}{\pi(1-t)} \to \frac1\pi$ 当 $t \to 0$，不炸。真正需要处理的是 $\frac{1}{\sin(\pi t)} - \frac{1}{\pi t}$ 这个 $\infty - \infty$ 型。
Step 3：处理 $\infty - \infty$ 部分
通分：
$$ \frac{1}{\sin(\pi t)} - \frac{1}{\pi t} = \frac{\pi t - \sin(\pi t)}{\pi t \sin(\pi t)} $$再换一次元 $u = \pi t$，让分子分母都是标准形式：
$$ = \frac{u - \sin u}{u \sin u} $$$u \to 0$ 时，$\sin u \sim u - \frac{u^3}{6}$，所以
$$ u - \sin u \sim \frac{u^3}{6},\quad u\sin u \sim u^2 $$$$ \frac{u - \sin u}{u \sin u} \sim \frac{u^3/6}{u^2} = \frac{u}{6} \to 0 $$Step 4：合并结果
$$ \lim_{x\to 1^-} f(x) = \frac{1}{\pi} + 0 = \frac{1}{\pi} $$所以补充定义 $f(1) = \dfrac{1}{\pi}$，则 $f(x)$ 在 $[\frac12, 1]$ 上连续 ✅
最终答案
$$ f(1) = \frac{1}{\pi} $$涉及知识点
- 📖 连续的定义 — 核心思路
- 💡 泰勒展开 — $\sin u$ 展开
- 💡 [诱导公式] — $\sin(\pi - \theta) = \sin\theta$
- 💡 [两次换元] — $t = 1 - x$，$u = \pi t$
费曼交锋实录
交锋一：例1.70 的第二问——泰勒 vs 等价无穷小
我的原始直觉： 直接用泰勒展开到三阶，取对数，一步步算。
你的介入： 你给出了一个更快的解法——两次等价无穷小替换一把梭，考场标准写法。
你的解法回放：
$$ \begin{aligned} &\left(\frac{\sin x_n}{x_n}\right)^{\frac{1}{x_n^2}} \\ &= \exp\left( \frac{1}{x_n^2}\cdot\ln\frac{\sin x_n}{x_n} \right) \quad\text{(化指数)} \\ &\xrightarrow{\ln(1+u)\sim u} \exp\left( \frac{1}{x_n^2}\cdot\frac{\sin x_n - x_n}{x_n} \right) \quad\text{(等价替换)} \\ &\xrightarrow{\sin x_n - x_n \sim -\frac16 x_n^3} \exp\left( -\frac{1}{6} \right) \end{aligned} $$我的修正： 泰勒展开虽然步骤多，但更保险——你不用背一堆等价无穷小，只要展开到够用阶数就行。等价无穷小快，但要求对 $u \to 0$ 的条件有把握。你原话：「很多时候泰勒公式我觉得更加保险」。
最终共识：
- 考场时间紧 → 等价无穷小一把梭
- 不确定的时候 → 退回到泰勒展开，稳赢不输
我的理解锚点： 等价无穷小 = 泰勒展开的第一项。忘了等价无穷小时，把泰勒展开写出来，第一项就是。
交锋二：tan x 的展开写错阶数
我的原始记忆： $\tan x = x + \frac13 x^2 + \cdots$
你的纠正： $\tan x$ 是奇函数——$\tan(-x) = -\tan(x)$，展开只能有奇次幂（$x^1, x^3, x^5, \cdots$），不可能出现 $x^2$ 项。
正确形式： $\tan x = x + \dfrac13 x^3 + \dfrac{2}{15}x^5 + \cdots$
我的理解锚点： 奇函数无偶次项，偶函数无奇次项——展开前先看奇偶性，直接排除一半可能的错误。
交锋三：ln(1+x) 的系数分母
我的原始记忆： 把 $\ln(1+x)$ 的展开系数写成了 $x - \frac12 x^2$，后面接 $\cdots$，默认认为分母是阶乘（被 $\sin x$ 和 $\cos x$ 污染了）
你的纠正： $\ln(1+x)$ 的系数是 $\dfrac{(-1)^{n-1}}{n}$，分母是 $n$ 不是 $n!$。
对比一下：
| 函数 | 展开 | 分母模式 |
|---|---|---|
| $\sin x$ | $x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots$ | $(2n-1)!$ |
| $\cos x$ | $1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots$ | $(2n)!$ |
| $\ln(1+x)$ | $x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \cdots$ | $n$（不是 $n!$） |
我的理解锚点： $\ln(1+x)$ 是积分 $\int \frac{dx}{1+x}$ 的结果，$\frac{1}{1+x} = 1 - x + x^2 - x^3 + \cdots$ 逐项积分得 $x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \cdots$，积分会让分母加 1 而不是乘阶乘。
交锋四：减法中逐项等价替换的危险
触发场景： $\tan x - \sin x$ 在 $x \to 0$ 时的极限
我的原始直觉： 分别用 $\tan x \sim x$ 和 $\sin x \sim x$，差为 0。
你的追问： 零除以 $x^3$ 的极限怎么算？
逻辑修正： 减法里如果两项同阶，等价无穷小只取第一项，看不出抵消后剩什么。必须展开到刚好不抵消的那一阶。
以 $\tan x - \sin x$ 为例：
$$ \begin{aligned} \tan x &= x + \frac13 x^3 + \cdots \\ \sin x &= x - \frac16 x^3 + \cdots \\ \tan x - \sin x &= \frac12 x^3 + \cdots \end{aligned} $$展开到 $x^3$ 才揭示真相。
我的理解锚点： 加减法里的等价替换，就像两个人背书——都说第一句，但第二句不一样。只听第一句以为一样，听完整才知道差在哪。
交锋五：OCR 导致的笔误与纠正
事件： 在例1.70 的第二问中，你手写的 $e^{-1/6}$ 被 OCR 识别为 $e^{-i}$；指数 $\frac{1}{x_n^2}$ 被识别为 $\frac{1}{x_n}$。
我的反应： 我指出了这些"笔误"，没意识到是 OCR 的问题。
你的纠正： 这是 OCR 的问题，你下笔时写的是对的。
我的修正： 欠你一个道歉 🙈。以后再遇到类似情况，先问一句"是手写识别问题还是笔误"再下结论。
总结
这次费曼复习覆盖了考研数学中最常见的几类极限题型，核心脉络是：
| 题型 | 核心工具 | 易错点 |
|---|---|---|
| 递推数列极限 | 单调有界 + 极限方程 | 忘记先猜极限值再放缩 |
| $1^\infty$ 型极限 | 化指数 + 泰勒/等价无穷小 | 减法不能逐项替换 |
| 连续定义求参数 | 极限 = 函数值 | 换元到趋于 0 后忘了展开到同阶 |
| 补充定义使连续 | 求极限的逆用 | $\infty - \infty$ 型通分后要展到足够阶 |
| 泰勒展开记忆 | 六大必背 | $\tan x$ 奇函数无偶次项、$\ln(1+x)$ 分母是 $n$ |
💡 最后一句口诀： 泰勒展开才是底牌，等价无穷小是快攻。快攻卡壳了就退回去做底牌——永远不会错。
